1、學生： 科目： 數 學 教師： 課 題函數的綜合壓軸題型歸類教學目標1、 要學會利用特殊圖形的性質去分析二次函數與特殊圖形的關系2、 掌握特殊圖形面積的各種求法重點、難點1、 利用圖形的性質找點2、 分解圖形求面積教學內容 一、二次函數和特殊多邊形形狀二、二次函數和特殊多邊形面積三、函數動點引起的最值問題四、常考點匯總4、二次函數與軸的交點為整數點問題。（方法同上） 例：若拋物線與軸交于兩個不同的整數點，且為正整數，試確定此拋物線的解析式。5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下： 已知關于的方程（為實數），求證：無論為何值，方程總有一個固定的根。解：當時，； 當時，

2、、；綜上所述：無論為何值，方程總有一個固定的根是1。6、函數過固定點問題，舉例如下：已知拋物線（是常數），求證：不論為何值，該拋物線總經過一個固定的點，并求出固定點的坐標。解：把原解析式變形為關于的方程； ，解得：； 拋物線總經過一個固定的點（1，1）。（題目要求等價于：關于的方程不論為何值，方程恒成立）小結：關于的方程有無數解7、路徑最值問題（待定的點所在的直線就是對稱軸）（1）如圖，直線、，點在上，分別在、上確定兩點、，使得之和最小。（2）如圖，直線、相交，兩個固定點、，分別在、上確定兩點、，使得之和最小。（3）如圖，是直線同旁的兩個定點，線段，在直線上確定兩點、（在的左側 ），使得四邊形

3、的周長最小。 8、在平面直角坐標系中求面積的方法：直接用公式、割補法三角形的面積求解常用方法：如右圖，SPAB=1/2 PMx=1/2 ANy9、函數的交點問題：二次函數（）與一次函數（） （1）解方程組可求出兩個圖象交點的坐標。 （2）解方程組，即，通過可判斷兩個圖象的交點的個數 有兩個交點 僅有一個交點 沒有交點 10、方程法 （1）設：設主動點的坐標或基本線段的長度 （2）表示：用含同一未知數的式子表示其他相關的數量 （3）列方程或關系式11、幾何分析法特別是構造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時，利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何要求幾何

4、分析涉及公式應用圖形跟平行有關的圖形平移、平行四邊形矩形梯形跟直角有關的圖形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補等直角三角形直角梯形矩形跟線段有關的圖形利用幾何中的全等、中垂線的性質等。等腰三角形全等等腰梯形跟角有關的圖形利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補等【例題精講】OxyABCD 一 基礎構圖：y=（以下幾種分類的函數解析式就是這個）和最小，差最大 在對稱軸上找一點P，使得PB+PC的和最小，求出P點坐標 在對稱軸上找一點P，使得PB-PC的差最大，求出P點坐標OxyABCD求面積最大 連接AC,在第四象限找一點P，使得面積最大，求出P坐標OxyABCD 討論直角三

5、角 連接AC,在對稱軸上找一點P，使得為直角三角形，求出P坐標或者在拋物線上求點P，使ACP是以AC為直角邊的直角三角形 討論等腰三角 連接AC,在對稱軸上找一點P，使得為等腰三角形，求出P坐標OxyABCD 討論平行四邊形 1、點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上，且以B，A，F，E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標二 綜合題型 例1 (中考變式）如圖，拋物線與x軸交與A(1,0),B(-3，0)兩點，頂點為D。交Y軸于C(1)求該拋物線的解析式與ABC的面積。(2)在拋物線第二象限圖象上是否存在一點M，使MBC是以BCM為直角的直角三角形，若存在，求出點P的坐標。若沒有，請說明

6、理由(3)若E為拋物線B、C兩點間圖象上的一個動點(不與A、B重合)，過E作EF與X軸垂直，交BC于F，設E點橫坐標為x.EF的長度為L，求L關于X的函數關系式？關寫出X的取值范圍？當E點運動到什么位置時，線段EF的值最大，并求此時E點的坐標？(4)在（5）的情況下直線BC與拋物線的對稱軸交于點H。當E點運動到什么位置時,以點E、F、H、D為頂點的四邊形為平行四邊形？(5)在（5）的情況下點E運動到什么位置時，使三角形BCE的面積最大？ 例2 考點： 關于面積最值 如圖，在平面直角坐標系中，點A、C的坐標分別為(1，0)、(0，)，點B在x軸上已知某二次函數的圖象經過A、B、C三點，且它的對稱

7、軸為直線x1，點P為直線BC下方的二次函數圖象上的一個動點（點P與B、C不重合），過點P作y軸的平行線交BC于點FyxBAFPx1CO（1）求該二次函數的解析式；（2）若設點P的橫坐標為m，試用含m的代數式表示線段PF的長；（3）求PBC面積的最大值，并求此時點P的坐標例3 考點：討論等腰如圖，已知拋物線yx 2bxc與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點A的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，1）（1）求拋物線的解析式；（2）點E是線段AC上一動點，過點E作DEx軸于點D，連結DC，當DCE的面積最大時，求點D的坐標；BCOA備用圖yx（3）在直線BC上是否存在一點P，使ACP為等腰三角形，

8、若存在，求點P的坐標，若不存在，說明理由DBCOAyxE例4考點：討論直角三角 如圖，已知點A（一1，0）和點B（1，2），在坐標軸上確定點P，使得ABP為直角三角形，則滿足這樣條件的點P共有（ ）(A）2個 （B）4個 （C） 6個（D）7個 已知：如圖一次函數yx1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B；二次函數yx 2bxc的圖象與一次函數yx1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標為（1，0）（1）求二次函數的解析式；（2）求四邊形BDEC的面積S；OAByCxDE2（3）在x軸上是否存在點P，使得PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點P，若不存在，請說明

9、理由例5 考點：討論四邊形已知：如圖所示，關于x的拋物線yax 2xc（a0）與x軸交于點A（2，0），點B（6，0），與y軸交于點C（1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；（2）在拋物線上有一點D，使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點D的坐標，并求出直線AD的解析式；（3）在（2）中的直線AD交拋物線的對稱軸于點M，拋物線上有一動點P，x軸上有一動點Q是否存在以A、M、P、Q為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由BAyOCx綜合練習：1、平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于點A、點B，與y軸的正半軸交于點C，點 A的坐標為(1, 0)，OBOC，拋物

10、線的頂點為D。 (1) 求此拋物線的解析式； (2) 若此拋物線的對稱軸上的點P滿足APBACB，求點P的坐標； (3) Q為線段BD上一點，點A關于AQB的平分線的對稱點為，若，求點Q的坐 標和此時的面積。2、在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖像與軸交于點，與軸交于A、B兩點，點B的坐標為。（1） 求二次函數的解析式及頂點D的坐標；（2） 點M是第二象限內拋物線上的一動點，若直線OM把四邊形ACDB分成面積為1 ：2的兩部分，求出此時點的坐標；（3） 點P是第二象限內拋物線上的一動點，問：點P在何處時的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點P的坐標。3、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸

11、負半軸交于點，頂點為，且對稱軸與軸交于點。（1）求點的坐標（用含的代數式表示）；（2）為中點，直線交軸于，若（0，2），求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點在直線上，且使得的周長最小，在拋物線上，在直線上，若以為頂點的四邊形是平行四邊形，求點的坐標。4、已知關于的方程。（1） 若方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍；（2） 若正整數滿足，設二次函數的圖象與軸交于兩點，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象；請你結合這個新的圖象回答：當直線與此圖象恰好有三個公共點時，求出的值（只需要求出兩個滿足題意的k值即可）。5如圖，拋物線y=ax2+2ax+c

12、（a0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A（4，0）和B（1）求該拋物線的解析式；（2）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QEAC，交BC于點E，連接CQ當CEQ的面積最大時，求點Q的坐標；（3）平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（2，0）問是否有直線l，使ODF是等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由三、中考二次函數代數型綜合題題型一、拋物線與x軸的兩個交點分別位于某定點的兩側例1已知二次函數yx 2(m1)xm2的圖象與x軸相交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且x1x2（1）若x1x20，且m為正整數，求該二次函數的表達式

13、；（2）若x11，x21，求m的取值范圍；（3）是否存在實數m，使得過A、B兩點的圓與y軸相切于點C（0，2），若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；（4）若過點D（0，）的直線與（1）中的二次函數圖象相交于M、N兩點，且 ，求該直線的表達式題型二、拋物線與x軸兩交點之間的距離問題例2 已知二次函數y= x 2+mx+m-5，（1）求證：不論m取何值時，拋物線總與x軸有兩個交點；（2）求當m取何值時，拋物線與x軸兩交點之間的距離最短題型三、拋物線方程的整數解問題例1 已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標均為整數，且m5，則整數m的值為_例2已知二次函數yx 22mx4m8（1）當x2時，函數

14、值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；AOxy（2）以拋物線yx 22mx4m8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內接正（M，N兩點在拋物線上），請問：AMN的面積是與m無關的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；（3）若拋物線yx 22mx4m8與x軸交點的橫坐標均為整數，求整數m的值題型四、拋物線與對稱，包括：點與點關于原點對稱、拋物線的對稱性、數形結合例1已知拋物線（其中b0，c0）與y軸的交點為A，點A關于拋物線對稱軸的對稱點為B(m,n)，且AB=2.(1)求m,b的值(2)如果拋物線的頂點位于x軸的下方，且BO=。求拋物線所對應的函數關系式（友情提醒：請畫圖思考）題型五、拋

15、物線中韋達定理的廣泛應用（線段長、定點兩側、點點關于原點對稱、等等）例1已知：二次函數的圖象與x軸交于不同的兩點A（，0）、B（，0）（），其頂點是點C，對稱軸與x軸的交于點D（1）求實數m的取值范圍；（2）如果（+1）（+1）=8，求二次函數的解析式；（3）把（2）中所得的二次函數的圖象沿y軸上下平移，如果平移后的函數圖象與x軸交于點、，頂點為點C1，且是等邊三角形，求平移后所得圖象的函數解析式綜合提升1已知二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，4），且| AB|2 ，圖象的對稱軸為x1（1）求二次函數的表達式；（2）若二次函數的圖象都在直線yxm的下方，求m的取值范圍2已

16、知二次函數yx 2mxm2（1）若該二次函數圖象與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側，并且AB ，求m的值；（2）設該二次函數圖象與y軸的交點為C，二次函數圖象上存在關于原點對稱的兩點M、N，且SMNC 27，求m的值3. 已知關于x的一元二次方程x 22(k1)xk 20有兩個整數根，k5且k為整數（1）求k的值；（2）當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數yx 22(k1)xk 2的圖象沿x軸向左平移4個單位，求平移后的二次函數圖象的解析式；（3）根據直線yxb與（2）中的兩個函數圖象交點的總個數，求b的取值范圍4已知二次函數的圖象經過點A（1，0）和點B（2，1），且與y軸交

17、點的縱坐標為m（1）若m為定值，求此二次函數的解析式；（2）若二次函數的圖象與x軸還有異于點A的另一個交點，求m的取值范圍；（3）若二次函數的圖象截直線yx1所得線段的長為2 ，求m的值四、中考二次函數定值問題1. （2012江西南昌8分）如圖，已知二次函數L1：y=x24x+3與x軸交于AB兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C（1）寫出二次函數L1的開口方向、對稱軸和頂點坐標；（2）研究二次函數L2：y=kx24kx+3k（k0）寫出二次函數L2與二次函數L1有關圖象的兩條相同的性質；若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點，問線段EF的長度是否發生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會

18、，請說明理由2. （2012山東濰坊11分）如圖，已知拋物線與坐標軸分別交于A(2，O)、B(2，0)、C(0，l)三點，過坐標原點O的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點分別過點C、D(0，2)作平行于x軸的直線、 (1)求拋物線對應二次函數的解析式； (2)求證以ON為直徑的圓與直線相切； (3)求線段MN的長(用k表示)，并證明M、N兩點到直線的距離之和等于線段MN的長3. （2012浙江義烏12分）如圖1，已知直線y=kx與拋物線交于點A（3，6）（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；（2）點P為拋物線第一象限內的動點，過點P作直線PM，交x軸于點M（點M、O不重合），交直線OA于點Q，再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；（3）如圖2，若點B為拋物線上對稱軸右側的點，點E在線段OA上（與點O、A不重合），點D（m，0）是x軸正半軸上的動點，且滿足BAE=BED=AOD繼續探究：m在什么范圍時，符合條件的E點的