1、藝緣藝校輔導(dǎo)講義一元二次函數(shù)解法講義【知識(shí)梳理】1.定義：一般地，如果,那么2.二次函數(shù)(配方得：的形式，其中 3.拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).的符號(hào)決定拋物線的開口方向：(1)當(dāng)時(shí)，開口向上；頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，當(dāng) ,y值最小，最小值為 (2)當(dāng)時(shí)，開口向下；頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，當(dāng) ,y值最大，最大值為 (3)相等，拋物線的開口大小、形狀相同.平行于y軸（或重合）的直線記作.特別地，y軸記作直線.4.頂點(diǎn)決定拋物線的位置:幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂

2、點(diǎn)的位置不同.5.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法（1）公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線.（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸是直線.（3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱點(diǎn)的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失.6.拋物線 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.（2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置:由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，故：時(shí)，對(duì)稱軸為軸 >0（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè).（3）的大小決

3、定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）：，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則.7.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.（3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，通常選用交點(diǎn)式：.8.直線與拋物線的交點(diǎn)（1）軸與拋物線得交點(diǎn)為.（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,).（3）拋物線與軸的交點(diǎn):二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的

4、交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切；沒有交點(diǎn)拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)：同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)； 方程組無解時(shí)與沒有交點(diǎn).（6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于是方程的兩個(gè)根，故 經(jīng)典例題： yx例1圖 -11O【例1】二次函

5、數(shù)的圖像如圖所示，那么、這四個(gè)代數(shù)式中，值為正的有（ ）A、4個(gè) B、3個(gè) C、2個(gè) D、1個(gè)21世紀(jì)教育網(wǎng)解析：1 0答案：A評(píng)注：由拋物線開口方向判定的符號(hào)，由對(duì)稱軸的位置判定的符號(hào)，由拋物線與軸交點(diǎn)位置判定的符號(hào)。由拋物線與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判定的符號(hào)，若軸標(biāo)出了1和1，則結(jié)合函數(shù)值可判定、的符號(hào)?！纠?】已知，0，把拋物線向下平移1個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位所得到的新拋物線的頂點(diǎn)是（2，0），求原拋物線的解析式。分析：由可知：原拋物線的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，0）；新拋物線向右平移5個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位即得原拋物線。解：可設(shè)新拋物線的解析式為，則原拋物線的解析式為，又易知原拋物線過點(diǎn)（1，0）

6、，解得原拋物線的解析式為：評(píng)注：解這類題的關(guān)鍵是深刻理解平移前后兩拋物線間的關(guān)系，以及所對(duì)應(yīng)的解析式間的聯(lián)系，并注意逆向思維的應(yīng)用。另外，還可關(guān)注拋物線的頂點(diǎn)發(fā)生了怎樣的移動(dòng)，常見的幾種變動(dòng)方式有：開口反向（或旋轉(zhuǎn)1800），此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，只是反號(hào)；兩拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，反號(hào)；兩拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱；探索與創(chuàng)新：21世紀(jì)教育網(wǎng)【問題】已知，拋物線（、是常數(shù)且不等于零）的頂點(diǎn)是A，如圖所示，拋物線的頂點(diǎn)是B。（1）判斷點(diǎn)A是否在拋物線上，為什么？（2）如果拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，求的值；這條拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)和它的頂點(diǎn)A能否構(gòu)成直角三角形？若能，求出它的值；若不能

7、，請(qǐng)說明理由。 解析：（1）拋物線的頂點(diǎn)A（，），而當(dāng)時(shí)，所以點(diǎn)A在拋物線上。（2）頂點(diǎn)B（1，0），；設(shè)拋物線與軸的另一交點(diǎn)為C，B（1，0），C（，0），由拋物線的對(duì)稱性可知，ABC為等腰直角三角形，過A作AD軸于D，則ADBD。當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左邊時(shí)，解得或（舍）；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊時(shí)，解得或（舍）。故。評(píng)注：若拋物線的頂點(diǎn)與軸兩交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形時(shí)，它必是等腰直角三角形，常用其“斜邊上的中線（高）等于斜邊的一半”這一關(guān)系求解有關(guān)問題。針對(duì)練習(xí)：一填空題1.把拋物線向左平移2個(gè)單位得拋物線 ，接著再向下平移3個(gè)單位，得拋物線 .2.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是 ，最大值是 .3.正方形邊長(zhǎng)

8、為3，如果邊長(zhǎng)增加x面積就增加y，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系是 .4.二次函數(shù)，通過配方化為的形為 .5.二次函數(shù)（c不為零），當(dāng)x取x1，x2（x1x2）時(shí)，函數(shù)值相等，則x1與x2的關(guān)系是 .6.拋物線當(dāng)b=0時(shí)，對(duì)稱軸是 ，當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸 側(cè)，當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸 側(cè).7.拋物線開口 ，對(duì)稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 .如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是 .8.若a<0，則函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第 象限；當(dāng)x>時(shí)，函數(shù)值隨x的增大而 .9.二次函數(shù)（a0）當(dāng)a>0時(shí)，圖象的開口a<0時(shí)，圖象的開口 ，頂點(diǎn)坐是 .10.拋物線，開口 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，對(duì)

9、稱是 .11.二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，-2）.12.已知，當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)值隨x的增大而減小.13.已知直線與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k= ，交點(diǎn)坐標(biāo)為 .14.用配方法將二次函數(shù)化成的形式是 .15.如果二次函數(shù)的最小值是1，那么m的值是 .二、選擇題：16.在拋物線上的點(diǎn)是（ ） A.（0，-1） B. C.（-1，5） D.（3，4）17.直線與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ） A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.互相重合的兩個(gè)18.關(guān)于拋物線（a0），下面幾點(diǎn)結(jié)論中，正確的有（ ） 當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊y隨x的增大而減小，對(duì)稱軸右邊y隨x的增大而增大，當(dāng)a<0時(shí)，情況相反.

10、 拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)都是指拋物線的頂點(diǎn). 只要解析式的二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值相同，兩條拋物線的形狀就相同. 一元二次方程（a0）的根，就是拋物線與x 軸 交點(diǎn)的橫坐標(biāo). A. B. C. D.19.二次函數(shù)y=(x+1)(x-3)，則圖象的對(duì)稱軸是（ ） A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-320. 圖象的頂點(diǎn)為(-2，-2 )，且經(jīng)過原點(diǎn)的二次函數(shù)的關(guān)系式是（ ） A.y=(x+2 )2 -2 B.y=(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2 -221.若拋物線的對(duì)稱軸是則（ ） A.2 B. C.4 D.22.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

11、1，-2），那么拋物線的性質(zhì)說得全對(duì)的是（ ）A. 開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，圖象與正半y軸相交B. 開口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，圖象與正半y軸相交C. 開口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，圖象與負(fù)半y軸相交D. 開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，圖象與負(fù)半y軸相交23.二次函數(shù)中，如果b+c=0，則那時(shí)圖象經(jīng)過的點(diǎn)是（ ） A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1）24.函數(shù)與（a<0）在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ）25.如圖，拋物線與y軸交于A點(diǎn)，與x軸正半軸交于B，C兩點(diǎn)，且BC=3，SABC=6，則b的值是（ ） A.b=5 B.b=-5 C.b=±5 D.b=426.二次函數(shù)（a<0），若要使函數(shù)值永遠(yuǎn)小于零，則自變量x的取值范圍是（ ） AX取任何實(shí)數(shù) B.x<0 C.x>0 D.x<0或x>027.拋物線向左平移1個(gè)單位，向下平移兩個(gè)單位后的解析式為（ ） A. B. C. D.28.二次函數(shù)（k>0）圖象的頂點(diǎn)在（ ） A.y軸的負(fù)半軸