1、矩陣的有定性及其應(yīng)用摘 要： 矩陣的有定性是矩陣論中的一個(gè)重要概念, 二次型的正定(負(fù)定)、半正定(半負(fù)定)統(tǒng)稱為二次型及其矩陣的有定性，而在本文中，主要討論闡述的是實(shí)矩陣的正定性，半正定性以及它們的實(shí)際應(yīng)用.本文在介紹實(shí)矩陣的正定性，半正定性的定義及其判別方法后，簡單的舉了一些實(shí)例來闡述實(shí)矩陣正定性及半正定性的應(yīng)用.全文分三章,第一章,矩陣的正定性及半正定性的定義在第二章,正定性矩陣和半正定性矩陣的判別方法,第三章，在本文的最后給出了幾個(gè)正定性矩陣的應(yīng)用實(shí)例 關(guān)鍵字：矩陣 實(shí)矩陣 正定性 半正定性 應(yīng)用 1 / 11一、二次型有定性的概念設(shè)是一個(gè)數(shù)域, , 個(gè)文字的二次齊次多項(xiàng)式 稱為數(shù)域上

2、的一個(gè)元二次型, 簡稱二次型. 當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí), 稱為實(shí)二次型. 當(dāng)為復(fù)數(shù)時(shí), 稱為復(fù)二次型. 如果二次型中只含有文字的平方項(xiàng), 即稱為標(biāo)準(zhǔn)型.定義1二次型可唯一的表示成其中, , 為對(duì)稱矩陣, 稱上式二次型的矩陣形式, 稱為二次型的矩陣(都是對(duì)稱矩陣), 稱的秩為二次型的秩.定義2 具有對(duì)稱矩陣之二次型(1) 如果對(duì)任何非零向量, 都有 （或）成立，則稱為正定（負(fù)定）二次型，矩陣稱為正定矩陣（負(fù)定矩陣）.(2) 如果對(duì)任何非零向量, 都有 （或）成立，且有非零向量，使，則稱為半正定（半負(fù)定）二次型，矩陣稱為半正定矩陣（半負(fù)定矩陣）.二次型的正定(負(fù)定)、半正定(半負(fù)定)統(tǒng)稱為二次型及其矩陣的有定

3、性.不具備有定性的二次型及其矩陣稱為不定的.二次型的有定性與其矩陣的有定性之間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此,二次型的正定性判別可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱矩陣的正定性判別.二、矩陣正定性及半正定性的一些判定方法1）矩陣正定性的一些判別方法定理 1設(shè)為正定矩陣,若,則也是正定矩陣.定理2 對(duì)角矩陣正定的充分必要條件是.定理3 對(duì)稱矩陣為正定的充分必要條件是它的特征值全大于零.定理4 為正定矩陣的充分必要條件的正慣性指數(shù)定理5 矩陣為正定矩陣的充分必要條件矩陣是：存在非奇異矩陣, 使.即合同。推論1 若為正定矩陣, 則.定理6 秩為的元實(shí)二次型, 設(shè)其規(guī)范形為則：(1) 負(fù)定的充分必要條件是且 (即負(fù)定二次型,其規(guī)范形

4、為)(2) 半正定的充分必要條件是 (即半正定二次型的規(guī)范形為)(3) 半負(fù)定的充分必要條件是 (即)(4) 不定的充分必要條件是 (即)定義2 階矩陣的個(gè)行標(biāo)和列標(biāo)相同的子式稱為的一個(gè)階主子式.而子式稱為的階順序主子式.定理7 階矩陣為正定矩陣的充分必要條件是的所有順序主子式.注：(1) 若是負(fù)定矩陣，則為正定矩陣,。(2) 是負(fù)定矩陣的充要條件是：其中是的階順序主子式.(3) 對(duì)半正定（半負(fù)定）矩陣可證明以下三個(gè)結(jié)論等價(jià):a. 對(duì)稱矩陣是半正定（半負(fù)定）的;b. 的所有主子式大于（小于）或等于零；c. 的全部特征值大于（小于）或等于零.以上是幾種常規(guī)的判別正定矩陣的方法，在這里還要介紹一種

5、利用矩陣分解法判定矩陣正定性的方法：先給出幾個(gè)引理及其證明, 然后在此基礎(chǔ)上逐步得到一種形式較簡便的判斷實(shí)對(duì)稱矩陣是否正定的方法, 并推出了將n階實(shí)對(duì)稱矩陣A分解為特殊三角矩陣與對(duì)角矩陣的乘積的具體計(jì)算公式。 引理 1 任一正定對(duì)稱矩陣的順序主子矩陣也是正定對(duì)稱矩陣。 證:設(shè) n 階正定實(shí)對(duì)稱矩陣為A,它的s階順序主子矩 陣為AS(1sn)易知 AS是一對(duì)稱方陣。再設(shè)X是任一s維零實(shí)向量, N維向量 Y=X,O.易XASX=YAY 因?yàn)锳是正定實(shí)對(duì)稱矩陣并且Y0,從而有XASX=YAY0又X是任一s維非零實(shí)向量,所以知AS也是正定對(duì)稱矩陣。引理 2 設(shè) s(或t)特殊下(或上) 三角方陣 P

6、左(或右)乘一個(gè)st階矩陣A得矩陣B,則矩陣A, B的r階(1r sin( m, n) )順序主子式相等。引理 3 設(shè)n階對(duì)稱矩陣A的順序主子式均不為零，則存在特殊下三角方針P和主對(duì)角線上元素均不為零的對(duì)角矩陣D使得A=PDP由以上三個(gè)引理立刻得到下面非常有用的結(jié)論:定理 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充要條件是存在特殊上或下三角方陣P, 主對(duì)角線上元素均為正數(shù)的對(duì)角矩陣D,使得A=PDP證明 先證必要性.因?yàn)锳是n階正定實(shí)對(duì)稱矩陣,由引理1知,它的各階順序主子矩陣也是正定對(duì)稱矩陣.又任一正定實(shí)對(duì)稱矩陣都是非奇異的,所以A的各階順序主子式均不為零并且均大于零。由引理3知,對(duì)于對(duì)稱矩陣A一定存在特殊下

7、三角方陣P,主對(duì)角線上元素均不為零的對(duì)角矩陣D,使得A=PDP并由引理2知D的主對(duì)角線上所有元素di0( i=1,2 ,n)再證充分性.假設(shè)對(duì)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A,存在一特殊下三角方陣P以及主對(duì)角一上元素均為正數(shù)的對(duì)角矩陣D,使得A=PDP則因D的主對(duì)角線上元素di0( i=1,2, ,n)，從而由引理2知A的各階順序主子式均大一地零,所以知A是一n階正定實(shí)對(duì)稱矩陣。由此定理可得到一種判定一 n階實(shí)對(duì)稱矩陣A是否正定的方法:將 A 分解成上述定理中形式, 即 A=PDP然后, 觀察 D的主對(duì)角線是否全為正數(shù).若是, 則 A 正定;又由引理2知,若D 的主對(duì)角線上元素全為負(fù)數(shù), 則 A 負(fù)定。2）矩

8、陣半正定性的一些判別方法1n階對(duì)稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數(shù)等于它的秩。2 n階對(duì)稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全大于等于零，但至少有一個(gè)特征值等于零。3n階對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的各階主子式全大于等于零，但至少有一個(gè)主子式等于零。注：3中指的是主子式而不是順序主子式，實(shí)際上，只有順序主子式大于等于零并不能保證A是半正定的。三、矩陣正定性及半正定性的應(yīng)用實(shí)矩陣的正定性及半正定性在實(shí)際生活中及理論研究中都有著重要的實(shí)際應(yīng)用，以下是對(duì)實(shí)矩陣正定性及半正定性應(yīng)用的一些簡單介紹：1）一些基本例子例1 設(shè)M是n階實(shí)對(duì)稱矩陣, 則必存在正實(shí)數(shù)t, 使得

9、tI+M為正定陣，其中I是單位矩陣。證明：矩陣正定的充要條件: 對(duì)任意x不等于0向量,有XMX0，X(TI+M)X = TXX+XMX， 在所有的X中選一個(gè)X,使XMX的值最小,XMX = -MAX,其中 MAX0，而這時(shí)對(duì)應(yīng)的XX的值為K,且K肯定大于0， 又K,MAX都是常數(shù),則必存在常數(shù)T,使TK-MAX0，即X(TI+M)X=TXX+XMX0 故TI + M正定.例 2 設(shè)二次型 問l取何值時(shí), f為正定二次型？ 解 f的矩陣為 f正定的充要條件是A的順序主子式全大于零. 事實(shí)上, A的順序主子式為： 于是, f正定的充要條件是且. 聯(lián)解不等式組：可得. 當(dāng)時(shí), f正定. 2）在實(shí)際問

10、題中經(jīng)常要遇到求三元以上函數(shù)的極值問題，對(duì)此可由二次型的正定性加以解決.定義3 設(shè)元函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 記, 稱為函數(shù)在點(diǎn)處的梯度.定義4 滿足的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).定義5 稱為函數(shù)在點(diǎn)處的黑塞矩陣。顯然是由的個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的階實(shí)對(duì)稱矩陣.定理8(極值存在的必要條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處存在一階偏導(dǎo)數(shù)，且為該函數(shù)的極值點(diǎn)，則.定理9(極值的充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)具有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且則 : (1)當(dāng)為正定矩陣時(shí)，為的極小值; (2)當(dāng)為負(fù)定矩陣時(shí)，為的極大值; (3)當(dāng)為不定矩陣時(shí)，不是的極值。應(yīng)注意的問題： 利用二次型的正定性來判斷多元函數(shù)的極值雖然是一個(gè)

11、很好的方法,但也有一定的局限性,因?yàn)槌浞謼l件對(duì)正定和負(fù)定的要求是很嚴(yán)格的,若條件不滿足,那結(jié)論就不一定成立. 例3求三元函數(shù)的極值.解先求駐點(diǎn)，由 得所以駐點(diǎn)為.再求(Hessian)黑塞矩陣因?yàn)?所以，可知是正定的，所以在點(diǎn)取得極小值：.當(dāng)然，此題也可用初等方法求得極小值，結(jié)果一樣.3）控制系統(tǒng)穩(wěn)定性與正定矩陣穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最重要的問題,也是對(duì)系統(tǒng)最起碼的要求。1877年Routh,1895年Hurwitz分別研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性與特征方程系數(shù)的關(guān)系,并分別給出了線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù), 至今仍有廣泛應(yīng)用。若系統(tǒng)特征方程為an sn + an - 1 sn - 1 + a1 s + a0=

12、 0，則系統(tǒng)的 Hurwitz矩陣H由特征方程的系數(shù)按下述規(guī)則構(gòu)成:主對(duì)角線上元素為特征方程自an - 1至a0的系數(shù)，每行以主對(duì)角線上的系數(shù)為準(zhǔn)，若向左，則系統(tǒng)的注腳號(hào)碼一次下降，若向右,系數(shù)的注腳號(hào)碼則一次上升，注腳號(hào)碼若大于n或者小于零，此時(shí)系數(shù)為0.Hurw itz判據(jù)為:系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是an 0的情況下,對(duì)角線上所有順序主子式均大于零。當(dāng)系統(tǒng)的Hurwitz矩陣的階數(shù)n較大時(shí),應(yīng)用Hurwitz判據(jù)比較麻煩,故它常應(yīng)用于n較小的場合。在這里我們改進(jìn)了Hurwitz判據(jù) ,避免了計(jì)算Hurwitz矩陣所有的順序主子式,使其對(duì)于較大的n也是很方便的。4）正定矩陣在三維空間里的圖形

13、變換應(yīng)用正定矩陣在對(duì)三維空間里的圖形進(jìn)行線性變換時(shí)不改變圖形的形狀，這就是它的最大意義例如：任意一個(gè)向量x，跟他垂直的超平面把空間分成兩部分，一部分和x在同一側(cè)，即滿足和x的內(nèi)積為正的那側(cè)，一部分在異側(cè)，內(nèi)積為負(fù)。由定義，正定的線性變換把任意一個(gè)向量x都變到x的同側(cè)。如果它有實(shí)特征值，必定是正數(shù)，否則的話它會(huì)把這特征向量變到另側(cè)。一個(gè)線性變換把一組幺正基e1,.,en變到另一組向量v1,.,vn，這n個(gè)新向量的端點(diǎn)和原點(diǎn)一起構(gòu)成一個(gè)多面體。這多面體的體積就是線性變換的行列式。對(duì)正定變換來說，其行列式為正，所以這個(gè)多面體非退化，且v1,.,vn確定的定向和e1,.,en確定的定向相同。補(bǔ)充:不會(huì)

14、保持形狀不變.保持不變的必須是等距,就是說,必須是正交變換O(n).正定變換一般最常見的情況是正定對(duì)稱變換.正定對(duì)稱變換最常見的情況是用來定義內(nèi)積.即定義 = xAy為x,y的內(nèi)積.歐氏空間的內(nèi)積用I來定義,即=xy。5）利用半正定二次型的性質(zhì)證明不等式定理10 二次型半正定的充分必要條件是它的標(biāo)準(zhǔn)型的所有系數(shù)都是非負(fù)的.證明 充分性 設(shè). 若,則, 即二次型是半正定的. 必要性 若二次型是半正定的, 而對(duì)于某個(gè)有, 則令這時(shí)可以找到變量的一組適當(dāng)值,使得則與此假設(shè)矛盾,所以.定理11 設(shè)實(shí)二次型, 若為實(shí)可逆方陣，則半正定等價(jià)于半正定; 換句話說, 經(jīng)過非退化線性變換后, 半正定的二次型仍然

15、是半正定的.證明 由有, 并且易知, 于是, 對(duì)任意的, 則, 因此則半正定.反之, , 因此, .則半正定.定義6 形如子式的級(jí)子式稱為矩陣的級(jí)主子式, 其中.定理11實(shí)二次型=半正定的充要條件是矩陣的一切級(jí)主子式非負(fù).證明 必要性 設(shè)二次型是半正定的, 則存在對(duì)角矩陣. 其中是變二次型的標(biāo)準(zhǔn)型的變量變換矩陣, . 再由定理1知, . 因此, . 又已知其中, 同時(shí), 若二次型是半正定的, 則所有二次型都是半正定的, 因此所有級(jí)主子式非負(fù).充分性 已知的一切級(jí)主子式非負(fù), 設(shè)為的級(jí)順序主子式, 則對(duì)于任意正實(shí)數(shù), 有 (2.4.1) = ()其中.由(2.4.1)式知, , 又, 所以矩陣的

16、一切順序主子式全都大于零, 所以矩陣是正定矩陣.設(shè)為的特征值, 則, 所以,所以, 是矩陣的特征值, 因?yàn)榫仃囀钦ň仃? 所以, , 取為任意小的正數(shù), 則, 再根據(jù)定理: 矩陣是半正定的充要條件是的特征值非負(fù). 所以, 為半正定矩陣.6）利用二次型半正定性證明不等式.其證明思路是: 首先構(gòu)造二次型, 然后利用二次型半正定性的定義或等價(jià)條件, 判斷該二次型（矩陣）為半正定, 從而得到不等式.例3（不等式）設(shè)為任意實(shí)數(shù), 則.證明 記因?yàn)閷?duì)于任意, 都有, 故關(guān)于的二次型是半正定的.因而定理1知, 該二次型矩陣的行列式大于或等于0, 即. 故得.例4 證明 證明 記, 其中將矩陣的第2,3,列分別加到第一列,再將第2,3, 行減去第1行,得,于是的特征值為0, 由定理可知, 為半正定矩陣, 即二次型是半正定的, 從而得, 即結(jié)論得證.例5 設(shè)是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角, 證明對(duì)任意實(shí)數(shù),都有.證明 記，其中對(duì)做初等行變換得: , 于是的特征值為0, 1, , 從而得二次型是半正定的, 即對(duì)于任意實(shí)數(shù), 得證.例6 設(shè)為階半正定矩陣, 且, 證明.證明 設(shè)的全部特征值為, 則的全部特征值為. 因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱矩陣, 所以存在正交矩陣, 使得 由于為半正定矩陣, 且, 則是半正定的, 且其中至少有一個(gè), 同時(shí)至少有一個(gè)