1、結(jié)構(gòu)隨機振動讀書筆記一：導(dǎo)論 現(xiàn)代交通運輸工具、能源動力裝置,航空航天飛行器以及各類建筑物等,在使用中大多會產(chǎn)生或經(jīng)受復(fù)雜的振動激勵,特別是隨機振動激勵,由之會引起相關(guān)的振動環(huán)境問題,即設(shè)適應(yīng)性與人員舒適性、可靠性問題,及結(jié)構(gòu)振動疲勞與耐久性問題等。為了在設(shè)計中對這些問題加以分析預(yù)計并進行必要的驗證性試驗,往往需要對有關(guān)機械結(jié)構(gòu)或其部件進行隨機振動響應(yīng)分析；隨機振動（Random vibration）分為確定性振動和隨機振動兩類，本課程主要講解了隨機激勵和確定結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的隨即反應(yīng)，隨機的振源一般有地震、風(fēng)、海浪、路面、大氣氣流等等，從力學(xué)上講，隨機振動是結(jié)構(gòu)動力學(xué)的一個分支，是對傳統(tǒng)振動的發(fā)展。

2、從數(shù)學(xué)上講，隨機振動是隨機過程在結(jié)構(gòu)個分支，是對傳統(tǒng)振動的發(fā)展。從數(shù)學(xué)上講，隨機振動是隨機過程在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的應(yīng)用。研究隨機振動的目的，是研究結(jié)構(gòu)在隨機激勵下隨機響應(yīng)的概率特性；從工程觀點來看，其最終目的分析結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在隨機激勵下，研究結(jié)構(gòu)在其使用期內(nèi)的功能和可靠度。所以，在隨機振動理論分析中，將荷載(外加激勵)系統(tǒng)作為隨機過程加以模型化，并用概率論來定量評價結(jié)構(gòu)(機械)系統(tǒng)具有何種程度的可靠度(安全度)。 工程中的隨機振動問題包括振動預(yù)測（正問題）、振動環(huán)境預(yù)測（反問題之一）、系統(tǒng)識別（反問題之二）三種，振動預(yù)測是指已知輸入的統(tǒng)計量，求輸出的統(tǒng)計量，已知輸入的統(tǒng)計量，求輸出的統(tǒng)計量，進而確定系

3、統(tǒng)的動力可靠度；振動環(huán)境預(yù)測已知系統(tǒng)的參數(shù)和輸出，求輸入，比如地震反演分析；系統(tǒng)識別是指輸入、輸出已知，求系統(tǒng)（參數(shù)）識別系統(tǒng)的物理參數(shù)，如結(jié)構(gòu)的剛度、系統(tǒng)（參數(shù)）識別系統(tǒng)的物理參數(shù)，如結(jié)構(gòu)的剛度、阻尼、質(zhì)量等。本課程主要講解了正問題。 本課程的主要內(nèi)容包括：一，隨機過程相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；二，結(jié)構(gòu)動力學(xué)相關(guān)知識；三，線性系統(tǒng)的隨機振動；四，非線性系統(tǒng)的隨機振動；五，動力可靠性理論。結(jié)構(gòu)隨機振動這一理論體系發(fā)展的現(xiàn)狀敘述如下：線性系統(tǒng)較為完善，非線性系統(tǒng)從上個世界60年代成為熱點，非平穩(wěn)理論還處于研究的初級階段，隨機系統(tǒng)的靜力問題有一些研究隨機有限元法隨機系統(tǒng)的振動問題 研究幾乎看不到，動力可靠性

4、理論目前研究并不多。二：隨機振動的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.1 概率論中的基本概念 2.1.1 隨機試驗、事件、概率空間隨機試驗E的一個可能結(jié)果叫做基本事件，也稱為樣本點。所有基本事件的集合，叫做基本事件空間，也稱樣本空間，以記之。個隨機試驗的描述應(yīng)該包括基本事件空間，事件體B和概率P(A)。這三個要素應(yīng)該看成一個統(tǒng)一的整體，構(gòu)成與隨機試驗有關(guān)的所謂概率空間(、B、P)。可見概率空間(、B、P)是隨機試驗的數(shù)學(xué)描述。 2.1.2 條件獨立 設(shè)是一概率空間，而且，則在發(fā)生之下，的條件概率：其中是、同時出現(xiàn)的概率。由上式可以得到 (1.1-2)這個式子有時稱為概率的乘法定理。若，則有此時稱事件與獨立，否則稱與

5、相關(guān)。 2.1.3 隨機變量 設(shè)是一概率空間。以R1表示實軸，如果對中的每個樣本點，有一實數(shù)和它對應(yīng)，我們就得到定義在上實值點函數(shù)。如果對每一，集合是域中的事件即我們就稱為隨機變量。 2.1.4 概率分布 對于給定的實數(shù)x，是一個事件，它的概率是一個依賴于x的函數(shù)： (1.1-11) 稱為隨機變量X的分布函數(shù)。它在區(qū)間都有定義，是x的非減函數(shù)，即對有，而且有，而且，。 如果隨機變量X的分布函數(shù)是連續(xù)的，且?guī)缀跆幪幙晌?，我們稱X為連續(xù)型隨機變量。對于連續(xù)型隨機變量，導(dǎo)數(shù) (1.1-12)稱為隨機變量X的密度函數(shù)，又稱概率密度。 下面給出幾個具體的分布形式：1. 正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)為， (

6、1.1-26a)其中，與分別為的數(shù)學(xué)期望和方差（其意義見例1.1-10）。特殊情況下，當(dāng)，時，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。稱為變異系數(shù)。2. 指數(shù)分布指數(shù)分布的密度函數(shù)為 (1.1-26b)式中大于零的常數(shù)。3. Rayleigh分布Rayleigh分布密度函數(shù)為， (1.1-26c)其中為常數(shù)。4. 多維隨機分布常見的多維隨機向量有狀態(tài)分布，其密度函數(shù)形式為： (1.1-26d)其中：，是的數(shù)學(xué)期望。是協(xié)方差矩陣， ,表示的逆矩陣，表示轉(zhuǎn)置。 2.1.5 數(shù)字特征 在實際中，隨機變量最有用的數(shù)字特征是它的一些矩，特別是一階和二階矩。隨機變量的階原點矩和階中心矩分別定義為： (1.1-27) (1.1-

7、28)式中：隨機變量的密度函數(shù)； (1.1-29)稱為隨機變量的數(shù)學(xué)期望，是的階原點矩，它反映隨機變量平均數(shù)大小的量。二階原點矩稱為隨機變量的均方值。隨機變量的二階中心矩稱為方差，而方差的算術(shù)平方根，稱為均方差。即 (1.1-30) (1.1-31)類似地可以定義多個隨機變量的聯(lián)合矩。例如，隨機變量和的、階聯(lián)合原點矩和中心矩分別定義為： (1.1-32)二階中心矩和分別是和的方差，即 (1.1-33)另一個二階中心矩 (1.1-34)稱為和的協(xié)方差。二階原點矩 (1.1-35)稱為和的相關(guān)矩。容易證明它和協(xié)方差有如下的關(guān)系式 (1.1-36)對于單個隨機變量，由式（1.1-36）得 (1.1-

8、37)方差是反映隨機變量關(guān)于數(shù)學(xué)期望離散程度的特性。通過條件密度函數(shù)可以定義條件數(shù)字特征： 三：隨機過程 3.1 基本概念 隨機過程是一個所有可能出現(xiàn)的樣本函數(shù)，的集合；一個隨機過程，對于固定的是一個隨機變量。一簇隨機變量，的總體定義了隨機過程。一個隨機過程等價于一個隨機變量的無限集。隨機變量的數(shù)學(xué)定義：如果對的每個有限集，有相應(yīng)的隨機變量集合，它們有聯(lián)合概率分布函數(shù)，則這簇聯(lián)合分布函數(shù)定義了一個隨機過程，。這簇聯(lián)合分布函數(shù)必須滿足下面Kolmogorov相容條件。1） 對于mn，2) 3.2 描述方式隨機過程可以有三種描述方式：（1）幅域：隨機過程的概率特征，“矩”；（2）時域：一個隨機過程

9、在任意不同時刻取值得相關(guān)性，“相關(guān)函數(shù)”；（3）頻域：隨機過程的頻率結(jié)構(gòu)，“功率譜密度函數(shù)”。 3.3 隨機過程的期望、矩及特征函數(shù) 設(shè)X(t)、Y(s)為兩個隨機過程，設(shè)f(x(t) 及f(x(t).y(t) 兩個隨機過程函數(shù)，可得 令f(x(t)=xn(t)隨機過程在時刻t的n階矩：當(dāng)時表示均值函數(shù)，當(dāng)時表示均方值函數(shù)，令在時刻t的n階中心矩： 3.4 隨機過程自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù) 3.4.1自相關(guān)函數(shù) 定義一個隨機過程X(t)在兩個不同時刻t1和t2的聯(lián)合矩 當(dāng)n=m=1時有自相關(guān)函數(shù) 定義自協(xié)方差函數(shù)自相關(guān)系數(shù)函數(shù) 3.4.2互相關(guān)函數(shù) 設(shè)X(t)、Y(t)為兩個隨機過程，互相關(guān)函數(shù)

10、為互協(xié)方差函數(shù)互相關(guān)系數(shù)函數(shù) 3.4.3互相關(guān)函數(shù)基本性質(zhì)(1)對稱性；(2)由Schwarz不等式可以得到，；(3)設(shè)及為二個隨機過程，有(4)一個隨機過程加上一個確定性函數(shù)之后，并不改變它的協(xié)方差函數(shù)。設(shè)為隨機過程，為一個確定性函數(shù)，也是個隨機過程，則，因此，在討論一個隨機過程的自協(xié)方差函數(shù)時，可以不失一般地假定它有一個零均值。 3.5 隨機過程的分類 隨機過程的性質(zhì)是由它的概率分布所決定的。因此，分類的一種方法是基于在整個指標(biāo)基上，按過程的統(tǒng)計規(guī)律性來分類。 按統(tǒng)計規(guī)律性，隨機過程可以分為兩類：平穩(wěn)過程和非平穩(wěn)過程。 隨機過程叫做平穩(wěn)或嚴(yán)格平穩(wěn)的，如果它的所有階概率分布不隨時間原點的平移

11、而變化，即過程和的任意階概率分布是相同的。這個性質(zhì)用分布函數(shù)來表示就是： (1.4-1)式中是任意給定的，若令，可見概率分布只與時間差（）有關(guān)，與時間的絕對原點無關(guān)。 如果式（1.4-1）不是對任何的成立，而僅對（有限的正整數(shù)）成立，則稱過程是有限階平穩(wěn)的。若過程的概率分布不滿足式（1.4-1），條件，則過程是非平穩(wěn)的。 3.6 平穩(wěn)過程的相關(guān)分析和功率譜分析自然界中的許多物理現(xiàn)象和工程領(lǐng)域中的許多實際問題，都可以用平穩(wěn)隨機過程的數(shù)學(xué)模型來描述。一個隨機現(xiàn)象，我們可以從幅域概率分布，時延域相關(guān)分析和頻域功率譜分析等三方面進行描述。 3.6.1 相關(guān)分析 相關(guān)函數(shù)有兩方面的應(yīng)用，其一，它是衡量兩

12、個過程與之間線性相關(guān)性的一種度量，當(dāng)時，它是過程前后取值線性相關(guān)性的一種描述；其二，在頻域上研究過程的自相關(guān)函數(shù)，我們可以得到過程頻率結(jié)構(gòu)的某些重要信息，因此相關(guān)函數(shù)是隨機過程重要的數(shù)字特征。下面我們討論它的性質(zhì)。 首先給出連續(xù)型平穩(wěn)過程在無限區(qū)間上，即：的一階和二階矩。這包含：數(shù)學(xué)期望 (1.7-1)自相關(guān)函數(shù)自協(xié)方差對于兩個聯(lián)合平穩(wěn)過程和，它們聯(lián)合二階矩是：互相關(guān)函數(shù) (1.7-2)互協(xié)方差 (1.7-3) 3.6.2 功率譜分析 在確定性時間函數(shù)分析中，我們知道無論從數(shù)學(xué)觀點還是從物理觀點來看，頻域中的Fourier分析是有力的工具。在隨機過程的分析中，功率譜起著同樣的作用。一個過程的功

13、率譜或稱譜密度是它的自相關(guān)函數(shù)的Fourier變換： (1.7-12)上式稱為Wiener-Khintchine公式。兩個過程和的互功率譜是它們互相關(guān)函數(shù)的Fourier變換： (1.7-13) 3.6.3 四種類型的功率譜1、 寬帶平穩(wěn)隨機過程：它的功率譜密度函數(shù)在相對多的頻域范圍內(nèi)具有較大的值；2、 窄帶平穩(wěn)隨機過程：它的功率譜密度函數(shù)在很窄的頻域范圍內(nèi)具有較大的值；3、 白噪聲：寬帶過程的理想化，。4、 帶寬限制的白噪聲：，5、周期性振動：Fourier展開成一系列簡諧振動之和設(shè)隨機過程為一零均值，并能用簡諧振動展開，得到的自協(xié)方差函數(shù)令t1=t2=t得到隨機過程離散能量譜 3.6.4

14、各態(tài)歷經(jīng)過程 時間平均的概念：如果一個平穩(wěn)隨機過程，滿足條件，稱在均值意義上是各態(tài)歷經(jīng)的；再如果滿足，則稱在自相關(guān)意義上是各態(tài)歷經(jīng)的。各態(tài)歷經(jīng)性質(zhì)指集合平均與時間平均相等。 3.6.5 幾種常見的隨機過程（1）Gauss隨機過程（正態(tài)過程）（2）Poisson（泊松）隨機過程（3）Markov（馬爾科夫）過程四：線性系統(tǒng)的隨機振動 線性系統(tǒng)隨機振動分析的目標(biāo)是已知輸入統(tǒng)計量求輸出統(tǒng)計量，主要通過脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)來表達。 4.1 線性系統(tǒng)在單個隨機激勵下的響應(yīng) 假定為平穩(wěn)隨機過程，系統(tǒng)為線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。設(shè)已知系統(tǒng)的、，求解響應(yīng)的統(tǒng)計特性。響應(yīng)的均值函數(shù)響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)響應(yīng)的自功率譜密度函

15、數(shù)響應(yīng)的均方值當(dāng)為白噪聲時， 響應(yīng)與激勵之間的互相關(guān)函數(shù)（？）當(dāng)激勵為白噪聲時，則。響應(yīng)與激勵之間的互功率譜密度函數(shù)當(dāng)激勵為白噪聲時，。激勵與響應(yīng)過程的相干性函數(shù)（凝聚函數(shù)）上式適用于理想常系數(shù)的線性系統(tǒng)。如果與完全無關(guān)，則；如果，則存在以下的可能：1、非線性因素；2、有外界噪聲的干擾。4.2 線性系統(tǒng)在多個激勵下的單個響應(yīng) 假定兩個隨機激勵、為平穩(wěn)隨機過程，系統(tǒng)為線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。已知系統(tǒng)的、，響應(yīng)已進入了平穩(wěn)階段。響應(yīng)的均值函數(shù)響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)響應(yīng)的自功率譜密度函數(shù)響應(yīng)的均方值激勵與響應(yīng)之間的互相關(guān)函數(shù)、互功率譜密度函數(shù) 1、當(dāng)與不相關(guān)時，可得到 2、當(dāng)兩個輸入有時，式中為常數(shù)，可得到3、當(dāng)兩

16、個輸入之間具有時滯時，即時，可得到4.3 單自由度線性系統(tǒng)的隨機響應(yīng)分析基本約定1、所討論的問題是在系統(tǒng)的支配方程中除了外加激勵是非確定性的以外，其他參數(shù)或初始條件均認為是確定的；2、支配微分方程是隨機微分方程在方程中出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)在這里理解為均方意義下的導(dǎo)數(shù)；3、解方程中出現(xiàn)的積分，在被積函數(shù)為隨機函數(shù)時，應(yīng)理解為均方積分；4、假定均方導(dǎo)數(shù)和均方積分均存在?？紤]一單自由度系統(tǒng)的隨機振動方程，激勵看作隨機過程，假定隨機激勵在時開始，上式的解為SDOF線性系統(tǒng)在弱平穩(wěn)隨機激勵下的響應(yīng)自相關(guān)函數(shù)：系統(tǒng)平穩(wěn)響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為： （2）函數(shù)叫做傳遞函數(shù)，其物理意義是，在各種不同頻率下，有多少百分比的激勵能

17、量是通過系統(tǒng)來傳遞的，換言之，有的激勵能量被過濾掉了。引入函數(shù)得到：當(dāng)時，得到：激勵為白噪聲激勵時單自由度系統(tǒng)的平穩(wěn)響應(yīng)。1、響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)，式中，則2、響應(yīng)的方差與均方值：3、速度響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)4、位移和速度之間的互相關(guān)函數(shù)5、速度響應(yīng)的方差：傳遞函數(shù)的特性：對于阻尼比很小的系統(tǒng)，傳遞函數(shù)在處有尖銳的峰值，且。單自由度線形系統(tǒng)在非平穩(wěn)隨機激勵下的響應(yīng)譜密度函數(shù)非平穩(wěn)隨機響應(yīng)分析的基本思路將非平穩(wěn)激勵表達成一非平穩(wěn)的確定性函數(shù)與平穩(wěn)隨機過程的乘積式中，為非平穩(wěn)確定性函數(shù)，為平穩(wěn)隨機過程。得到響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)為由Wiener-Khintchine關(guān)系式，可得式中，。其物理意義是，等價于單自由度

18、系統(tǒng)，其輸入是及零初始條件的響應(yīng)。4.4 多自由度線性系統(tǒng)的隨機響應(yīng)分析多自由度線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機響應(yīng)分析1、確定性問題運動方程為， （1）頻率響應(yīng)矩陣設(shè)（1）式可以解耦，則可用模態(tài)矩陣作坐標(biāo)變換，即 （2）將（2）式代入（1）式，并用左乘，得到，根據(jù)模態(tài)的正交性，上式可寫成，廣義的頻響函數(shù)矩陣為平穩(wěn)隨機響應(yīng)分析基本關(guān)系式在方程（1）中，為零均值平穩(wěn)隨機激勵，則由維拉-辛欽關(guān)系式可推導(dǎo)得，振型分析法設(shè)為系統(tǒng)的振型矩陣，為隨機廣義坐標(biāo)列矢量，響應(yīng)可按下式作振型展開， 令，（8a）將（8a）代入（1）式，并用左乘方程兩邊，同時利用（8b），得到可推導(dǎo)得，因為，則響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)矩陣和譜密度函數(shù)矩陣分別

19、為，式中，第一腳標(biāo)表示坐標(biāo)位置，第二腳標(biāo)表示振型號。當(dāng)考慮小阻尼時，如果不同振型的相應(yīng)頻率間隔不過小的話，則上式中頻響函數(shù)交叉項之和中可以忽略不計，則當(dāng)時，則有Monte-Carlo法基本思路功率譜密度函數(shù)為，則地震動加速度時程的一種表達式可寫成，令則滿足零均值各態(tài)歷經(jīng)且其功率譜密度函數(shù)為的條件，上式中為離散圓頻率，、分別為頻率上限和下限，為在間均勻分布，相互獨立的隨機變量。五： 動力可靠度分析基本概念結(jié)構(gòu)動力可靠性，是指承受動荷載的結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時間內(nèi)，在規(guī)定的條件下完成預(yù)定功能的特性。結(jié)構(gòu)的動力可靠性的測度是動力可靠度：承受動態(tài)作用的結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時間內(nèi)，在規(guī)定的條件下完成預(yù)定功能的概率。可靠性用概念表示時稱可靠度。破壞機制：1、首次超越破壞準(zhǔn)則；2、疲勞破壞準(zhǔn)則首次超越破壞準(zhǔn)則結(jié)構(gòu)的破壞以其動力反應(yīng)首次