1、人教版九年級數學上冊第二十三章 旋轉 壓軸題專題練習1如圖1，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中ONM30°，OCD45°（1）觀察猜想將圖1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至圖的位置，使得點O與點N重合，CD與MN相交于點E，則CEN°（2）操作探究將圖1中的三角尺OCD繞點O按順時針方向旋轉，使一邊OD在MON的內部，如圖3，且OD恰好平分MON，CD與NM相交于點E，求CEN的度數；（3）深化拓展將圖1中的三角尺OCD繞點O按沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，當邊OC旋轉°時，邊CD恰好與邊MN平行（直接寫出結果）2問題：如圖，在等邊三

2、角形ABC內有一點P，且PA2，PB，PC1，求BPC的度數和等邊三角形ABC的邊長李明同學的思路是：將BPC繞點B逆時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形（如圖），連接PP，可得PPB是等邊三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），可得APB°，所以BPCAPB°，還可證得ABP是直角三角形，進而求出等邊三角形ABC的邊長為，問題得到解決（1）根據李明同學的思路填空：APB°，BPCAPB°，等邊三角形ABC的邊長為（2）探究并解決下列問題：如圖，在正方形ABCD內有一點P，且PA，PB，PC1求BPC的度數和正方形ABCD的邊長3

3、在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，3），點B和點D的坐標分別為（m，0），（n，4），且m0，四邊形ABCD是菱形（1）如圖，當四邊形ADCD為正方形時，求m，n的值（2）探究：當m為何值時，菱形ABCD的對角線AC的長度最短，并求出AC的最小值4問題的提出：如果點P是銳角ABC內一動點，如何確定一個位置，使點P到ABC的三頂點的距離之和PA+PB+PC的值為最小？問題的轉化：把APC繞點A逆時針旋轉60度得到APC，連接PP，這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問題轉化成確定BP+PP+PC的最小值的問題了，請你利用圖1證明：PA+PB+PCBP+PP+PC問題的解決：當點P到銳角AB

4、C的三頂點的距離之和PA+PB+PC的值為最小時，請你用一定的數量關系刻畫此時的點P的位置問題的延伸：如圖2是有一個銳角為30°的直角三角形，如果斜邊為2，點P是這個三角形內一動點，請你利用以上方法，求點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值5在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上（1）小明發現DGBE，請你幫他說明理由；（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長6如圖，已知BADBCE，BADBCE90

5、°，ABDBEC30°，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N（1）如圖1，當A，B，E三點在同一直線上時，判斷AC與CN數量關系為；（2）將圖1中BCE繞點B逆時針旋轉到圖2位置時，（1）中的結論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由；（3）將圖1中BCE繞點B逆時針旋轉一周，旋轉過程中CAN能否為等腰直角三角形？若能，直接寫出旋轉角度；若不能，說明理由7將兩塊全等的含30°角的直角三角板按圖1的方式放置，已知BACB1A1C30°，AB2BC（1）固定三角板A1B1C，然后將三角板ABC繞點C順時針方向旋轉至圖2的位置，

6、AB與A1C、A1B1分別交于點D、E，AC與A1B1交于點F填空：當旋轉角等于20°時，BCB1度；當旋轉角等于多少度時，AB與A1B1垂直？請說明理由（2）將圖2中的三角板ABC繞點C順時針方向旋轉至圖3的位置，使ABCB1，AB與A1C交于點D，試說明A1DCD8在ABC中，ACB90°，ACBC，直線MN經過點C，且ADMN于D，BEMN于E，（1）當直線MN繞點C旋轉到圖（1）的位置時，顯然有：DEAD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，求證：DEADBE；（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請直

7、接寫出這個等量關系9如圖，在三角形ABC中，ABAC，點D在ABC內，且ADB90°（1）如圖1，若BAD30°，AD3，點E、F分別為AB、BC邊的中點，連接EF，求線段EF的長；（2）如圖2，若ABD繞頂點A逆時針旋轉一定角度后能與ACG重合，連接GD并延長交BC于點H，連接AH，求證：DAHDBH10如圖，ABC中，ABAC，BAC36°，將ABC繞點A按逆時針旋轉角度（0°180°）得到ADE，連接CE，BD，BD與AC交于點F（1）求證：BDCE；（2）當等于多少度時，四邊形AFDE是平行四邊形？并說明理由11如圖，在等邊BCD中，D

8、FBC于點F，點A為直線DF上一動點，以B為旋轉中心，把BA順時針方向旋轉60°至BE，連接EC（1）當點A在線段DF的延長線上時，求證：DACE；判斷DEC和EDC的數量關系，并說明理由；（2）當DEC45°時，連接AC，求BAC的度數12已知如圖，ADC和BDE均為等腰三角形，CADDBE，ACAD，BDBE，連接CE，點G為CE的中點，過點E作AC的平行線與線段AG延長線交于點F（1）當A，D，B三點在同一直線上時（如圖1），求證：G為AF的中點；（2）將圖1中BDE繞點D旋轉到圖2位置時，點A，D，G，F在同一直線上，點H在線段AF的延長線上，且EFEH，連接AB，

9、BH，試判斷ABH的形狀，并說明理由13如圖，將矩形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉，得到矩形AEFG，E點正好落在邊CD上，連接BE，BG，且BG交AE于P（1）求證：CBEBAE；（2）求證：BG2PB；（3）若AB，BC3，直接寫出BG的長14.如圖，ABC中，ACBC，A30°，點D在AB邊上且ADC45°（1）求BCD的度數；（2）將圖中的BCD繞點B順時針旋轉得到BCD當點D恰好落在BC邊上時，如圖所示，連接CC并延長交AB于點E求CCB的度數；求證：CBD'CAE15如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB、AE（ABAE）在一條直線上，正方形AE

10、FG以點A為旋轉中心逆時針旋轉，設旋轉角為在旋轉過程中，兩個正方形只有點A重合，其它頂點均不重合，連接BE、DG（1）當正方形AEFG旋轉至如圖2所示的位置時，求證：BEDG；（2）如圖3，如果45°，AB2，AE4，求點G到BE的距離16如圖，矩形ABCD中，點E在AD邊上，過點E作AB的平行線，交BC于點F，將矩形ABFE繞著點E逆時針旋轉，使點F的對應點落在邊CD上，點B的對應點N落在邊BC上（1）求證：BFNF；（2）已知AB2，AE1，求EG的長；（3）已知MEF30°，求的值參考答案1如圖1，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中ONM30°，OC

11、D45°（1）觀察猜想將圖1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至圖的位置，使得點O與點N重合，CD與MN相交于點E，則CEN105°（2）操作探究將圖1中的三角尺OCD繞點O按順時針方向旋轉，使一邊OD在MON的內部，如圖3，且OD恰好平分MON，CD與NM相交于點E，求CEN的度數；（3）深化拓展將圖1中的三角尺OCD繞點O按沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，當邊OC旋轉75或255°時，邊CD恰好與邊MN平行（直接寫出結果）【解答】解：（1）ECN45°，ENC30°，CEN105°故答案為：105°（2）OD平分MO

12、N，DONMPN×90°45°，DOND45°，CDAB，CEN180°MNO180°30°150°；（3）如圖1，CD在AB上方時，設OM與CD相交于F，CDMN，OFDM60°，在ODF中，MOD180°DOFD，180°45°60°，75°，當CD在AB的下方時，設直線OM與CD相交于F，CDMN，DFOM60°，在DOF中，DOF180°DDFO180°45°60°75°，旋轉角為75&#

13、176;+180°255°，綜上所述，當邊OC旋轉75°或255°時，邊CD恰好與邊MN平行故答案為：75或2552問題：如圖，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA2，PB，PC1，求BPC的度數和等邊三角形ABC的邊長李明同學的思路是：將BPC繞點B逆時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形（如圖），連接PP，可得PPB是等邊三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），可得APB150°，所以BPCAPB150°，還可證得ABP是直角三角形，進而求出等邊三角形ABC的邊長為，問題得到解決（1）根據李明同學的思路填空：

14、APB150°，BPCAPB150°，等邊三角形ABC的邊長為（2）探究并解決下列問題：如圖，在正方形ABCD內有一點P，且PA，PB，PC1求BPC的度數和正方形ABCD的邊長【解答】解：（1）根據旋轉可知：APB150°，BPCAPB150°，等邊三角形ABC的邊長為故答案為150°、150°、（2）解：將BPC繞點B逆時針旋轉90°，得BPA，則BPCBPAAPPC1，BPPB連接PP，如圖在RtBPP中，PBBP，PBP90°，PP2，BPP45°在APP中，AP1，PP2，PA，12+22（）2

15、，即AP2+PP2PA2，APP是直角三角形，即APP90°APB135°，BPCAPB135°過點B作BEAP，交AP的延長線于點E，則BEP是等腰直角三角形，EPB45°又BP，EPBE1，AE2在RtABE中，BE1，AE2，由勾股定理，得AB綜上可得，BPC135°，正方形ABCD的邊長為答：BPC的度數為135°，正方形ABCD的邊長為3在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，3），點B和點D的坐標分別為（m，0），（n，4），且m0，四邊形ABCD是菱形（1）如圖，當四邊形ADCD為正方形時，求m，n的值（2）探究：當m為何

16、值時，菱形ABCD的對角線AC的長度最短，并求出AC的最小值【解答】解：（1）如圖1中，作DFy軸于F四邊形ABCD是正方形，ADAB，DABDFAAOB90°，DAF+OAB90°，OAB+ABO90°，DAFABO，DFAAOB（AAS），DFAB，AFOB，A（0，3），D（n，4），OA3，OF4，AF1，DF3，OB1，m1，n3（2）如圖2中，作DFy軸于F，CEx軸于E四邊形ABCD是菱形，ADBC，ADBC，DFBE，ADFCBE，AFDCEB90°，DFABEC（AAS），ECAF1，點C的運動軌跡是直線y1，由題意m0，觀察圖形可知當

17、點B與原點重合時，AC的值最小，此時菱形的邊長3，作CHOA于H則CH2，AC2，AC的最小值為24問題的提出：如果點P是銳角ABC內一動點，如何確定一個位置，使點P到ABC的三頂點的距離之和PA+PB+PC的值為最??？問題的轉化：把APC繞點A逆時針旋轉60度得到APC，連接PP，這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問題轉化成確定BP+PP+PC的最小值的問題了，請你利用圖1證明：PA+PB+PCBP+PP+PC問題的解決：當點P到銳角ABC的三頂點的距離之和PA+PB+PC的值為最小時，請你用一定的數量關系刻畫此時的點P的位置APBAPC120°問題的延伸：如圖2是有一個銳角為

18、30°的直角三角形，如果斜邊為2，點P是這個三角形內一動點，請你利用以上方法，求點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值【解答】解：問題的轉化：如圖1，由旋轉得：PAP'60°，PAP'A，APP'是等邊三角形，PP'PA，PCP'C，PA+PB+PCBP+PP+PC問題的解決：滿足：APBAPC120°時，PA+PB+PC的值為最??；理由是：如圖2，把APC繞點A逆時針旋轉60度得到APC，連接PP，由“問題的轉化”可知：當B、P、P'、C'在同一直線上時，PA+PB+PC的值為最小，APB120°

19、;，APP'60°，APB+APP'180°，B、P、P'在同一直線上，由旋轉得：AP'C'APC120°，AP'P60°，AP'C'+AP'P180°，P、P'、C'在同一直線上，B、P、P'、C'在同一直線上，此時PA+PB+PC的值為最小，故答案為：APBAPC120°；問題的延伸：如圖3，RtACB中，AB2，ABC30°，AC1，BC，把BPC繞點B逆時針旋轉60度得到BPC，連接PP，當A、P、P'、C

20、'在同一直線上時，PA+PB+PC的值為最小，由旋轉得：BPBP'，PBP'60°，PCP'C'，BCBC'，BPP是等邊三角形，PP'PB，ABCAPB+CBPAPB+C'BP'30°，ABC'90°，由勾股定理得：AC'，PA+PB+PCPA+PP'+P'C'AC'，則點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值為5在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線

21、上，AB與AG在同一直線上（1）小明發現DGBE，請你幫他說明理由；（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長【解答】解：（1）如圖1，延長EB交DG于點H，ABCD和AEFG為正方形，在RtADG和RtABE中，RtADGRtABE，AGDAEB，HBGEBA，HGB+HBG90°，DGBE； （2）如圖2，過點A作APBD交BD于點P，ABCD和AEFG為正方形，在DAG和BAE中，DAGBAE（SAS），DGBE，APD90°，APDP，AG2，PG，DGDP+PG+，DGBE，BE+6如圖，已知BADBC

22、E，BADBCE90°，ABDBEC30°，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N（1）如圖1，當A，B，E三點在同一直線上時，判斷AC與CN數量關系為ACCN；（2）將圖1中BCE繞點B逆時針旋轉到圖2位置時，（1）中的結論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由；（3）將圖1中BCE繞點B逆時針旋轉一周，旋轉過程中CAN能否為等腰直角三角形？若能，直接寫出旋轉角度；若不能，說明理由【解答】解：（1）AC與CN數量關系為：ACCN理由如下：BADBCE，BCAD，ECABENAD，MENMDA在MEN與MDA中，MENMDA（ASA），ENAD

23、，ENBC在ABC與CEN中，ABCCEN（SAS），ACCN（2）結論仍然成立理由如下：與（1）同理，可證明MENMDA，ENBC設旋轉角為，則ABC120°+，DBE360°DBAABCCBE360°30°（120°+）60°150°BDBE，BEDBDE（180°DBE）15°+ENAD，MENMDAADB+BDE60°+（15°+）75°+CENCEB+BED+MEN30°+（15°+）+（75°+）120°+，ABCCEN在A

24、BC與CEN中，ABCCEN（SAS），ACCN（3）CAN能成為等腰直角三角形，此時旋轉角為60°如下圖所示：此時旋轉角為60°或240°，點A、B、C在一條直線上，點N、E、C在一條直線上7將兩塊全等的含30°角的直角三角板按圖1的方式放置，已知BACB1A1C30°，AB2BC（1）固定三角板A1B1C，然后將三角板ABC繞點C順時針方向旋轉至圖2的位置，AB與A1C、A1B1分別交于點D、E，AC與A1B1交于點F填空：當旋轉角等于20°時，BCB1160度；當旋轉角等于多少度時，AB與A1B1垂直？請說明理由（2）將圖2中的

25、三角板ABC繞點C順時針方向旋轉至圖3的位置，使ABCB1，AB與A1C交于點D，試說明A1DCD【解答】解：（1）由旋轉的性質得，ACA120°，BCDACBACA190°20°70°，BCB1BCD+A1CB1，70°+90°，160°；ABA1B1，A1DE90°B1A1C90°30°60°，ACA1A1DEBAC60°30°30°，旋轉角為30°；（2）ABCB1，ADC180°A1CB1180°90°90&

26、#176;，BAC30°，CDAC，又由旋轉的性質得，A1CAC，A1DCD8在ABC中，ACB90°，ACBC，直線MN經過點C，且ADMN于D，BEMN于E，（1）當直線MN繞點C旋轉到圖（1）的位置時，顯然有：DEAD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，求證：DEADBE；（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系【解答】解：（1）ABC中，ACB90°，ACD+BCE90°，又直線MN經過點C，且ADMN于D，BEMN于E，ADCCEB90°ACD+DA

27、C90°，BCEDAC，在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS），CDBE，CEAD，DECD+CEAD+BE；（2）ABC中，ACB90°，直線MN經過點C，且ADMN于D，BEMN于E，ADCCEB90°，ACD+BCEBCE+CBE90°，而ACBC，ADCCEB，CDBE，CEAD，DECECDADBE；（3）如圖3，ABC中，ACB90°，直線MN經過點C，且ADMN于D，BEMN于E，ADCCEB90°，ACD+BCEBCE+CBE90°，ACDCBE，ACBC，ADCCEB，CDBE，CEAD，DECDCEB

28、EAD；DE、AD、BE之間的關系為DEBEAD9如圖，在三角形ABC中，ABAC，點D在ABC內，且ADB90°（1）如圖1，若BAD30°，AD3，點E、F分別為AB、BC邊的中點，連接EF，求線段EF的長；（2）如圖2，若ABD繞頂點A逆時針旋轉一定角度后能與ACG重合，連接GD并延長交BC于點H，連接AH，求證：DAHDBH【解答】（1）解：如圖1，在RtABD中，BAD30°，AB2BD，設BDx，則AB2x，由勾股定理得：，x3或3（舍），AB2x6，ACAB6，點E、F分別為AB、BC邊的中點，EFAC3；（2）證明：如圖2，由旋轉得：ADBAGC，

29、AGAD，AGCADB90°，CGBD，AGDADG，ADB90°，ADG+BDH90°，AGD+MGC90°，MGCBDH，在GH上取一點M，使GMDH，CGMBDH，CMBH，GCMDBH，CMHMGC+MCG，CHMBDH+DBH，CMHCHM，CMCHBH，ACAB，AHBC，即AHB90°ADB，AODBOH，DAHDBH10如圖，ABC中，ABAC，BAC36°，將ABC繞點A按逆時針旋轉角度（0°180°）得到ADE，連接CE，BD，BD與AC交于點F（1）求證：BDCE；（2）當等于多少度時，四邊形

30、AFDE是平行四邊形？并說明理由【解答】（1）證明：ADE是由ABC旋轉得到的，ABAD，ACAE，BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE，BDCE；（2）當BAD108°時，四邊形AFDE是平行四邊形，理由如下：BAD108°，ABAD，DAEADB，AEFD，又CADBADBAC72°，CADADE，AFED，11如圖，在等邊BCD中，DFBC于點F，點A為直線DF上一動點，以B為旋轉中心，把BA順時針方向旋轉60°至BE，連接EC（1）當點A在線段DF的延長線上時，求證：DACE；判斷DEC和EDC的數量關系，并說明理由；（2）當DEC45

31、°時，連接AC，求BAC的度數【解答】（1）證明：把BA順時針方向旋轉60°至BE，BABE，ABE60°，在等邊BCD中，DBBC，DBC60°，DBADBC+FBA60°+FBA，CBE60°+FBA，DBACBE，BADBEC，DACE；DEC+EDC90°，DBDC，DABC，BADBEC，BCEBDA30°，在等邊BCD中，BCD60°，DCEBCE+BCD90°，DEC+EDC90°；（2）分三種情況考慮：當點A在線段DF的延長線上時，由（1）可得，DCE為直角三角形，DC

32、E90°，當DEC45°時，EDC90°DEC45°，EDCDEC，CDCE，由（1）得DACE，CDDA，在等邊DBC中，BDCD，BDDACD，BDC60°，DABC，在BDA中，DBDA，在DAC中，DADC，BACBAD+DAC75°+75°150°；當點A在線段DF上時，以B為旋轉中心，把BA順時針方向旋轉60°至BE，BABE，ABE60°，在等邊BDC中，BDBC，DBC60°，DBCABE，DBCABCABEABC，即DBAEBC，DBACBE，DACE，在RtDFC中

33、，DFC90°，DFDC，DADF，DACE，CEDC，由可知DCE為直角三角形，DEC45°當點A在線段FD的延長線上時，同第種情況可得DBACBE，DACE，ADBECB，在等邊BDC中，BDCBCD60°，DABC，ADB180°BDF150°，ECBADB150°，DCEECBBCD90°，當DEC45°時，EDC90°DEC45°，EDCDEC，CDCE，ADCDBD，ADBADC150°，BACBAD+CAD30°，綜上所述，BAC的度數為150°或30

34、°12已知如圖，ADC和BDE均為等腰三角形，CADDBE，ACAD，BDBE，連接CE，點G為CE的中點，過點E作AC的平行線與線段AG延長線交于點F（1）當A，D，B三點在同一直線上時（如圖1），求證：G為AF的中點；（2）將圖1中BDE繞點D旋轉到圖2位置時，點A，D，G，F在同一直線上，點H在線段AF的延長線上，且EFEH，連接AB，BH，試判斷ABH的形狀，并說明理由【解答】解：（1）ACEF，ACGFEG，點G為CE的中點，CGEG，又AGCFGE，ACGFEG，AGFG，G為AF的中點；（2）ABH為等腰三角形理由：同（1）可證ACGFEG，ACFE，又ACAD，FEH

35、E，ADHE，ACEF，GFECADDBE，EFEH，EFHEHF，EFH+GFE180°，FHE+DBE180°，四邊形BDHE中，BEH+BDF180°，又BDA+BDF180°，BEHBDA，又BDBE，由，可得ADBHEB，ABHB，即ABH是等腰三角形13如圖，將矩形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉，得到矩形AEFG，E點正好落在邊CD上，連接BE，BG，且BG交AE于P（1）求證：CBEBAE；（2）求證：BG2PB；（3）若AB，BC3，直接寫出BG的長【解答】解：（1）矩形ABCD中，CBA90°，CBE+ABE90°，

36、即2CBE+2ABE180°，由旋轉可得，ABAE，ABEAEB，BAE+2ABE180°，由可得，BAE2CBE，CBEBAE；（2）如圖，過B作BHAE于H，則CBHE90°，由（1）可得，ABEAEB，ABCE，ABECEB，BECBEH，即BE平分CEH，BHBC，由旋轉可得，AGADBC，GAPBAD90°，AGHB，GAPBHP，又APGHPB，APGHPB，GPBPBG，即BG2PB；（3）AB，BC3BH，RtABH中，AH4，APGHPB，PHAPAH2，RtBHP中，BP，BG2BP214 如圖，ABC中，ACBC，A30°，點D在AB邊上且ADC45°（1）求BCD的度數；（2）將圖中的BCD繞點B順時針旋轉得到B