1、重積分的應(yīng)用目 錄引言.31 二重積分的概念及應(yīng)用.41.1 二重積分的概念.41.2 二重積分在積分不等式證明中的應(yīng)用.41.3 利用二重積分求旋轉(zhuǎn)體的體積.62 三重積分的概念及應(yīng)用.62.1 三重積分的概念.62.2 利用三重積分求空間物體的質(zhì)量.72.3 利用三重積分求物體的重心.72.4 利用三重積分求物體的轉(zhuǎn)動慣量.83 多重積分的概念及其應(yīng)用.103.1 多重積分的概念.103.2 多重積分的應(yīng)用.10結(jié)論.12致謝.13參考文獻(xiàn).14 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 0摘 要為了研究重積分的應(yīng)用，以及重積分在學(xué)習(xí)生活中的應(yīng)用，運用重積分的基本概念和應(yīng)用解決問題. 通過探索重積分

2、在各個領(lǐng)域中的應(yīng)用,提高解題的效率,改進(jìn)用基本方法解重積分問題的思想,和處理重積分在各個領(lǐng)域的應(yīng)用能力結(jié)果表明,重積分的應(yīng)用非常廣泛,不僅在數(shù)學(xué)的相關(guān)領(lǐng)域有重要的應(yīng)用,而且在實際問題中也發(fā)揮著重要作用由于重積分的重要地位,進(jìn)而對重積分及其應(yīng)用進(jìn)行更深層次的研究和探討是十分必要的關(guān)鍵詞:重積分；轉(zhuǎn)動慣量；不等式 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 1AbstractIn order to research the applications ofmultiple integral，and the applications in learning and life，use the concept and

3、 application to solve the problemThrough exploring the various methods of multiple integral in various areas of application, improve the efficiency of the problem solving, improve the basic ways to solve problems with the thought of multiple integral, and processing multiple integral application in

4、all fields ability. The results show that the application of multiple integral is very wide, not only in the related fields of mathematics has an important application, but in the actual problem also plays a role Because of the important role of the multiple integral, and multiple integral and its a

5、pplication in a better research and discussion is very necessaryKeywords: multiple integral; moment of inertia; inequality 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 2引 言重積分在數(shù)學(xué)中是一個知識獨特、應(yīng)用廣泛的重要內(nèi)容,是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ),是高等數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容,也是高等院校其它專業(yè)知識聯(lián)系緊密的部分,它的引入為解決數(shù)學(xué)中的問題提供了新的視野重積分是研究曲面面積、旋轉(zhuǎn)體積、不等式證明、計算物體的質(zhì)量和解決一些生活實際問題等方面的有力工具它有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用范圍和非常重要的應(yīng)用價值

6、數(shù)學(xué)中有很多問題用其它數(shù)學(xué)思想來解決可能會非常復(fù)雜和繁瑣,而用重積分思想解決此類問題就會迎刃而解達(dá)到化繁為簡的目的例如二重積分在積分不等式證明中的應(yīng)用,借助一些定理,通過變換間接解決相關(guān)不等式的證明問題,運用二重積分證明不等式,不但可以豐富不等式證明的方法、開闊視野、創(chuàng)新思路,而且在特定情況下可以起到事半功倍的效果同時,三重積分可以用于解決物體的質(zhì)量、重心和轉(zhuǎn)動慣量之類的問題借助重積分工具去研究空間物體問題,不僅能獲得簡便的解題方法且能促進(jìn)科學(xué)思維的培養(yǎng),提高發(fā)散思維的水平 因此,我們應(yīng)該對重積分有比較深刻的了解,而且在遇到具體問題時要能夠熟練運用由此我們可以看出重積分在各個領(lǐng)域都發(fā)揮著重要的

7、作用,因此,對重積分的研究不可忽視. 我們應(yīng)該加大對重積分的研究深度,使之在各個領(lǐng)域起到更大的作用本文就重積分的應(yīng)用,談一點個人的感悟和體會 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 31 二重積分的概念及應(yīng)用本章主要介紹將一元函數(shù)積分的概念和應(yīng)用推廣到二元函數(shù)，即二重積分的概念及應(yīng)用1.1 二重積分的概念設(shè)二元函數(shù)在有界閉區(qū)域有定義，用任意分法 將分成 個小),(yxfRTRn區(qū)域：，設(shè)它們的面積分別是. 在小區(qū)域上任取一nRRR,21n,21點，作和), 2 , 1)(,(nkPkkk knkkkf1),() 11 ( 稱為二元函數(shù)在區(qū)域的積分和),(yxfR令)(,),(),(max21nRdRd

8、RdT定義 1.1 設(shè)二元函數(shù)在有界閉區(qū)域有定義，若當(dāng)時，二),(yxfR0T元函數(shù)在區(qū)域的積分和存在極限 （數(shù) 與分法 無關(guān)，也與點),(yxfR) 11 ( IIT的取法無關(guān)） ，記為kPIfknkkkoT1),(lim即，有nkRPTTkkkk, 2 , 1,),(,:, 0, 0Ifknkkk1),(則稱函數(shù)在可積， 是二元函數(shù)在的二重積分，記為),(yxfRI),(yxfR或dyxfIR),(dxdyyxfIR),(其中稱為積分區(qū)域，稱為被積函數(shù)，或稱為面積微元R),(yxfddxdy1.2 二重積分在積分不等式證明中的應(yīng)用 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 4在一些積分不等式證明中，

9、由于被積函數(shù)不確定，不能直接求出積分式，本章介紹借助一些定理，通過變換間接證明積分不等式在積分不等式的證明中，需要用到以下定理及推論：定理 1.1 若函數(shù)在閉區(qū)域上可積，且),(yxfdycbxayxR;: ),(，定積分存在，則累次積分也存在，bax,dyyxfxIdc),()(dxdyyxfbadc ),(且dxdyyxfdxdyyxfbadcR ),(),(特別地 當(dāng)在矩形區(qū)域上連續(xù)時，有),(yxfdycbxayxR;: ),(dydxyxfdxdyyxfdxdyyxfdcbabadcR ),(),(),(推論 若函數(shù)在上可積，函數(shù)在上可積，則乘積函數(shù))(xba,)(ydc,在閉矩形域

10、上也可積，且)()(yxdycbxayxR;: ),(badcRdyydxxdxdyyx)()()()(例 1.1 若連續(xù)且，則)(xf0)(xf222)(sin)()(bababadxxfkxdzxfcoxkxdxxf證明：222)()()()()()(cos)()(sin)(sin)(cos)(cos)(sin)(cos)(ababaRRRRbabadxxfyfdxxfdxdyyfxfdxdyyxkyfxfkydxdyyfkxxfkydxdyyfkxxfkxdxxfkxdxxf 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 5（其中： ）dycbxayxR;: ),(:1.3 利用二重積分求旋轉(zhuǎn)體的體積

11、本節(jié)介紹了通過微元法討論如何用二重積分計算平面圖形繞任意不穿過其內(nèi)部的共面直線旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積的一般方法，進(jìn)而得出一般積分公式在計算中需用到的定理：定理 1.2 由連續(xù)曲線，直線，及 軸所圍成)0)()(,(xfyxfybxax ,x的曲邊梯形繞不穿過曲邊梯形內(nèi)部的共面直線旋轉(zhuǎn)一周所D0:CByAxl圍成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：dyCByAxdxBAdCByAxBAVxfbaD)(0222222例 1.2 求由，所圍成的平面繞直線旋轉(zhuǎn)一周所圍成旋轉(zhuǎn)2xy xy xy 體的體積解：，在右下方，即，都有10 ,),(2xxyxyxDDxy Dyx),(，所以由上述公式有yx Dyxyx),( ,

12、 0602)22(2)(2) 1(121043210222dxxxxdyyxdxdyxVxxD 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 62 三重積分的概念及應(yīng)用本章介紹的三重積分不僅是二重積分的推廣，也是解決某些實際問題所必需的2.1 三重積分的概念設(shè)三元函數(shù)在有界閉體有定義，用分法 將分成 個小體：),(zyxfVTVn，設(shè)它們的體積分別是在小體上任取一點nVVV,21nVVV,21kV若時，和式的極限存在，且與), 2 , 1)(,(nkPkkkk0TknkkkkVf1),(區(qū)域的分法和點的選取無關(guān)，則稱在上可積，并稱此極),(kkkkP),(zyxfV限為在上的三重積分，記為),(zyxfV或

13、dVzyxfV),(dxdydzzyxfV),(稱為被積函數(shù)，稱為積分區(qū)域，或稱為體積微元),(zyxfVdVdxdydz2.2 利用三重積分求空間物體的質(zhì)量設(shè)物體占有空間區(qū)域，體密度為，則物體的質(zhì)量V),(zyxdxdydzzyxMV),(例 2.1 設(shè)空間區(qū)域由與平面圍成，已知上任意一V122yxz2zV點的密度與該點到原點距離平方成正比，求的質(zhì)量Vm解：由已知密度，則)0)(),(222kzyxkzyxdxdydzzyxkmV)(222作柱面坐標(biāo)變換：，則zzyx,sin,coskdzxkddm1517)(212210202.3 利用三重積分求物體的重心 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No

14、7設(shè)物體占有空間區(qū)域，體密度為，則物體關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動V),(zyxzyx,慣量為：dVzyxdVzyxzzzyxdVzyxyydVzyxdVzyxxxVVVVVV),(),(,),(),(,),(),(如果是均勻的，即密度函數(shù)是常數(shù)，不妨設(shè)，的V),(zyx1),(zyxV體積是 ，則的重心的坐標(biāo)分別是IV),(zyxVVVzdVIzydVIyxdVIx1,1,1例 2.2 計算密度函數(shù)的均勻上半球體1),(zyx的重心)0(:2222zazyxV 解：因為均勻半球體關(guān)于與都對稱，所以在公式中，下yzzx0 yx面求 z設(shè) 是半徑為 的的半球體體積，已知，求三重積分，作Ia332aIVzdV柱面

15、坐標(biāo)變換：，有zzryrx,sin,cos400204122adzzdrrdzdVxaaVadVzIzV831于是，均勻上半球體的重心是)83, 0 , 0(a2.4 利用三重積分求物體的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域，體密度為，則物體關(guān)于軸即原點V),(zyxzyx,的轉(zhuǎn)動慣量為 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 8dVzyxyxIdVzyxxzIdVzyxzyIVzVyVx),()(,),()(,),()(222222例 2.3 計算密度函數(shù)的均勻球體，關(guān)于三1),(zyx1:222zyxV個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量解：由上面公式知，球體關(guān)于三個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別是VdVyxIdVxzIdVzyIVz

16、VyVx)(,)(,)(222222因為球體關(guān)于三個坐標(biāo)面對稱，被積函數(shù)關(guān)于每個變量都是偶函數(shù)，所以，設(shè)，有zyxIIIzyxIIIIdVzyxIV)(23222作球面坐標(biāo)變換有,即158sin32104020drrddI158zyxIII 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 93 多重積分的概念及其應(yīng)用與一元函數(shù)的廣義積分概念和應(yīng)用類似，重積分概念也可以 維空間n3.1 多重積分的概念類似于以上兩章二重積分和三重積分的概念，中在上nR),(21nxxxfV的 重積分，記為nVyfdydydyyyyfnkkTnvn 102121)(lim),(3.2 多重積分的應(yīng)用本節(jié)介紹利用多重積分證明畢達(dá)哥拉

17、斯定理的一種推廣考慮 維歐氏仿射空間中的一個 維單形n)2( nRnn ixiiiinnnnixaxRxx11, 1, 0, 1:),(:) 13( 其中有個頂點,即和niai, 1, 01n)0 , 0( OniaAii, 1),0 ,. 0(還有個側(cè)面，即個頂點的對面，分別是除某個頂點以外其他 個n1n1nn頂點組成的凸包，是一個維單形顯然，只有一個側(cè)面不通過原點，1nO即的對面記作 且以表示它的面積（維體積）;其余 個側(cè)面都通過OSS1nn原點，頂點所對側(cè)面記作且以表示它的面積，文獻(xiàn)利用單iAiSiSni, 1形體積公式證明了現(xiàn)在利用多重積分來證明2212nSSS) 13( 式因為頂點所

18、對側(cè)面是由與超平面，相交所成的) 13( ), 1(niAin0ix維單形，即，所以由文獻(xiàn)求得1n0:),(1innnixRxxS )!1(111111naaaadxdxdxdxSniiniiSiini, 1)23( 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 10是由與超平面相交所成的維單形，有顯示表示Sn12211nnaxaxax1n 11111:nnnnaxaxaxSDxxn),(11其中 111111, 1, 0, 1:),(:niiiinnnixaxRxxD由文獻(xiàn)得 21211111021211)!1(1aaaanaadxdxxxxxSnnnnnnn)33( 根據(jù)式(3-2)和式立即推得式，因此畢達(dá)哥拉斯的推廣得證)33( ) 13( 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 11結(jié) 論重積分在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛,涉及到數(shù)學(xué)知識的許多方面本文討論了重積分的有關(guān)知識,深入研究了用二重積分簡便計算平面圖形繞任意直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積的一般方法，而且給出了用二重積分證明積分不等式的證明思路利用三重積分的物理意義和性質(zhì)求物體的質(zhì)量，空間物體的重心坐標(biāo)和轉(zhuǎn)動慣量，簡便了以往復(fù)雜的計算過程通過以上討論我們了解到重積分是我們研究數(shù)學(xué)問題的一個有力工具,在今后的學(xué)習(xí)和日常生活中,我們需對重積分做進(jìn)一步全面的理解和認(rèn)識,