1、新課程中的數學思想究竟要學生學到怎樣的程度？由執教數學廣角（集合）后引發的思考談橋中心小學 沈瑞華一、背景：最近我有幸在海寧市新課程課堂教學研討活動中上了一堂公開課，一堂課中凝聚了許多人的心血與汗水，在這一堂課中我們也嘗到了許多的苦辣酸甜。從分析教材（由于我一直教高段數學，從沒教過新課程，對新課程中教材的編排比較陌生），到了解學生（由于是借班上課，對學生一無所知），到形成初步教學預案，到試教、修改、再試教、再修改，到正式上課及課后的反思研討與自己的再反思。其間得到了專家、領導以及教師們的熱情幫助，從一次次思想的碰撞與交鋒中，我深深地體會到了許多東西，開始思考一些以前從未想過的問題。這一次上課的

2、經歷，可以說是我教學生涯中一筆寶貴的財富。二、問題：老教材中，數學思想不作為教學內容單列開來進行教學。而新課程中，數學思想既滲透在數與代數、量與計量等其它板塊中，又作為一個獨立的板塊拿出來教學，統稱為數學廣角。通過對新課程前后教材的查閱，我們發現三年級數學廣角中的集合思想處于懸浮狀態。前面各冊教材中沒有這方面的獨立板塊，后面已經出版的四年級新教材中又沒有這方面的內容。新課程剛剛進入三年級，三年級的教師成了“第一批吃螃蟹的人”。在這種實驗、嘗試階段，教學這部分內容時究竟該讓學生學到一個怎樣的程度？這是廣大三年級教師們普遍感到困惑的問題。基于這樣一個問題，我選擇了這一教學內容上了研討課，目的是拋磚

3、引玉，激發廣大教師對這一問題的思考與研討，通過集體的智慧更好的推動新課程的順利實施。三、片斷與反思：很遺憾沒有將這堂課的實錄拍攝下來，所以在上好課后的幾天里，我只能與本校聽過這節課的老師們仔仔細細地對照教案及幾本聽課筆記，基本記下了這堂課上幾個片斷的實錄。并對每一個環節進行了如下的反思：片斷一：質疑激趣師：小朋友，你喜歡動物嗎？生（高興地）：喜歡！師：那你喜歡哪些動物呢？（幾個學生分別介紹自己最喜歡的動物）師：今天老師也為大家帶來了幾種動物，想不想看看？生（眾）：想！師：老師先不讓你們看，而請你們猜一猜。這些動物中有6種會飛，還有5種會游泳。你知道一共有多少種動物嗎？ 學生說出了很多不同的猜想

4、：11種、12種、8種、10種師：到底是幾種呢？想不想看看？鴿子烏龜老鷹大雁鯊魚金魚蝴蝶天鵝貓頭鷹鯨學生們充滿期待地望著老師，接著教師用課件出示動物的圖片，師生一起數，結果有10種。（這一結果大大出乎很多學生的意料）師：這究竟是怎么回事呢？下面我們就一起來研究這樣的數學問題吧！ 反思：利用學生的認知經驗，制造新的認知沖突在生活中存在著很多的交集現象，就比如6種會飛的動物和5種會游泳的動物，就有可能會形成交集。但是由于三年級學生認知經驗的局限性，他們中的大部份會認為6種與5種合起來共有11種動物，這樣想其實是把這兩類動物看作了兩個完全獨立的集合了，忽略了兩者存在著交集的可能性。教學時，我抓住學生

5、的這種認知經驗，通過猜想后再揭示正確答案，制造出強烈的認知沖突。使學生在內心產生很強的驅動力，迫切的想要找到其中的原因。片斷二：體會集合思想師：誰能把剛才這些動物按要求填入下面的圈內？（課件出示下圖）會飛的 會游的學生紛紛舉手。教師指名回答，并根據學生的回答逐個將這些動物移入相應的圈內（利用課件）。師：會飛的圈內有6種，會游泳圈內的有5種，加起來照理說應該是11種呀，為什么剛才數出來卻是10種呢？生：因為天鵝既會飛又會游泳。師：是呀，天鵝既會飛又會游泳，我們就可以用下面這個圖來表示。（課件演示由以上兩個獨立的集合逐漸移動并形成交集的過程）師：你看到了什么？生：我看到這兩個圈碰到了。師：你的意思

6、是交叉了是嗎？（學生點頭）那么這交叉的部份（鼠標指著）是什么呢？生：交叉的部份表示既會飛又會游泳。師：是啊，這交叉的部份表示既會飛又會游泳，它既在會飛的一圈中，又在會游泳的這個圈中（鼠標分別指著這兩個圈）。（隨后教師又引導學生體會到了圖上另外兩個部份分別表示只會飛不會游、只會游不會飛）反思：一、抓住教學起點，找準認知發展區集合思想是數學中最基本的思想，甚至可以說，集合理論是數學的基礎。從學生一開始學習數學，其實就在運用集合的思想方法了。例如：學生在學習數數時，已經會把1個人、2朵花、3支鉛筆用一條封閉的曲線圈起來表示，這就已經具備了簡單的集合思想了。所以，對于這一數學思想，學生不是一張白紙。教

7、學時，我找到學生的認知起點，讓學生將動物分別填入相應的集合圈內。在學生的這種認知發展區內組織教學，便于學生進一步體會集合思想。二、借助課件，幫助學生體會交集的形成過程我一向不喜歡用課件，在平時的教學中，能不用的話盡量不用。因為一來是自己不太會制作；二來是害怕被課件所束縛，導致課堂上生成出來的東西難以把握。而今天這堂課非常特殊，兩個集合相交，形成交集的過程是本節課的重點，但它又非常抽象。對三年級小朋友來說很難理解，教師也很難說得清楚。于是我就利用課件將會飛的動物與會游泳的動物這兩個原本獨立的集合圈相交的過程展示出來，給看不見、摸不著的數學思想一個具體的形象。讓學生在頭腦中建立起一個表象，明白兩個

8、集合的交集是怎么形成的。三、深入分析，幫助學生體會每一部份的含義兩個集合相交后，所形成的五個部份表示的具體含義是本節課的重中之重，是學生能否理性的體會到交集這一數學思想的關鍵所在。此環節中，我并不滿足于讓學生明白兩個集合的相交部份表示什么，而更強調相交后另外兩個部份表示什么含義，以及這三個部分與原來獨立的兩個集合圈之間的關系。通過讓學生觀察、體會、表達、補充的這一個過程，使學生不斷清晰對這一數學思想的認識，從而深刻的體會到會飛的與只會飛的、會游泳的與只會游泳的之間的區別與聯系。片斷三列式計算兩個相交的集合中各元素的總數師：剛才我們已經通過數一數的辦法知道了一共有10種動物，那現在你能不能用個算

9、式表示出來呢？請把算式列在自備本上，有困難的可以舉手，老師來幫你！（巡視一圈，發現有5、6個人不能正確列式，其余的小朋友則有許多不同的列式方法）師：剛才老師發現好多小朋友都有不同的方法，想不想把你的方法介紹給四人小組里的小朋友？（學生紛紛在組長的指揮下按次序交流起來）師：誰愿意把你的算式介紹給全班的小朋友，并說說你是怎么想的？生1：5+4+1=10（種）會飛的有5種，會游泳的有4種，既會飛又會游泳的有1種，加起來共10種。師：他說會飛的有5種，你們同意嗎？冷場片刻后有4、5個小朋友舉手了。生1：應該說成只會飛的有5種，只會游泳的有4種。師：大家同意嗎？（眾生點頭）哦，你真了不起，加了一個字“只

10、”就把它說得很清楚了。其他小朋友還有不同的算法嗎？生2：6+5-1=10（種）會飛的有6種，會游泳的有5種，加起來再減去既會飛又會游泳的一種，就是10種。師：他說的你們聽懂了嗎？（生眾：聽懂了）師（在1下加著重號）那這兒為什么還要減1呢？生1：因為這個1就代表天鵝，它既會飛又會游泳，所以要減去1。師（指著課件上的交集圖）：算式中的6和5分別表示什么？生：6表示會飛的共6種。師（補充）：6種里面把天鵝算進去了嗎？生1想了想后肯定地說算進去了，其他同學也一致同意。師：那這個5呢？生：5是會游泳的有5種，天鵝也算進去了。師：是啊，6種會飛的動物里天鵝算進去了，5種會游泳的動物里把天鵝也算進去了。天鵝

11、算了幾次？（生眾：兩次）是啊，所以我們要減去一次。師：還有不同算法嗎？生：（5-1）+（7-1）=10（種）師（一下子不太理解這種算法）你是怎么想的呢？生支支吾吾說不清，教師又引導他看圖上，并追問：5-1表示什么？7-1表示什么？該生還是沒能把自己的想法說出來。這時其他小朋友也都是一臉的迷惘師：這個小朋友做的時候可能多轉了個彎，這個7-1是6種加重復部份的1種后又減去這1種，可也是可以的，就是有些麻煩。師：還有其它方法嗎？（沒有學生舉手）好，剛才同學們出現了三種不同的方法，不管你用哪種方法，列對了就舉手。（全班大約有5人左右未舉手）反思：一、學生已經知道答案了，是否還要在這里安排計算？在學生靠

12、直覺已經知道兩類動物共10種后，是否還有必要安排學生列式計算？備課時，我一直在思考這一個問題。經過前幾次的試教，我發現這一環節需要安排列式計算。此時的計算不是為了得出答案，而是在有直觀圖可以借助的情況下，引導學生用算式表示出來。并借助直觀的集合圖理解算式中每個數字表示的含義，弄清這樣算的道理。只有借助直觀圖的情況下能列式了，明白了這樣算的道理，才能在沒有直觀圖的實際問題中明明白白地列出算式。假設這一環節不安排列式，而在鞏固練習中遇到純文字敘述的問題時再安排學生列式的話，對學生來說難度太大。當然不排除少數尖子生能列出算式，但大部分中等及以下學生非但自己不會列式，恐怕對尖子生們列的算式也很難去理解

13、吧！二、本堂課的算法多樣，是否需要優化？很多的計算課都需要算法的優化，但本堂課是否也存在著算法優化的問題呢？在計算兩個相交集合中各元素的總數時，學生的方法很多，究竟要不要優化呢？如算法一：5+4+1=10這種算法對于這類有直觀的集合圖且數目較小的題來說最容易，但一旦遇到沒有直觀圖的實際問題時，就很難用這種方法了。每一個實際問題其實都有著不同的特點，每一個學生也有著不同的觀察與思考的角度。在這個例子中，有將近一半的學生看成三部份相加，即5+4+1=10（種），但也有學生看作兩個獨立的集合，再減去重復算的交集部份，即6+5-1=10（種），也有學生會看成兩部份相加，即：6+4或5+5。各人觀察的角度不同，思考的方式也不同，算法沒