1、第四章第四章 n維向量空間小結維向量空間小結n維向量空間維向量空間線性方程組線性方程組2主要內容：主要內容：一兩個重要概念：一兩個重要概念： 1122100nnnxxxxx 線性相關性：本質上考察 是否“只有” 時成立；線性表出：11000,+ nn例如:任意向量組，線性無關。312,n (1) 二、 向量組線性相關10(,)( )nAXAR An有非零解，: n 未知量個數， 向量個數。矩陣的秩就是向量組的秩。向量組線性相關向量組的秩 向量維數相關關至少有一個向量部分相關整體相關，整體無關部分無可由其余個關線性表出11,nn線性表出，則表達式唯一線可由性無關。5(2) (2) 線性表出：線性

2、表出：1122,nnxxx“有數”就行1111,(,)( )( )(,)(,)nnnnAXAR AR A線性表出有解，秩秩可由. .“向量組的秩”即為“矩陣的秩”1,( ).nR An對于非齊次線性方程組,首先有沒有解，有唯一解線性無關，6三、最大無關組，向量組的秩三、最大無關組，向量組的秩最大無關組的兩個等價命題：最大無關組的兩個等價命題：命題命題1 1：(1)(1)線性無關；線性無關； (2) (2) 向量組中任何一個可由它們線性表出；向量組中任何一個可由它們線性表出；命題命題2 2：有：有r 個線性無關，任意個線性無關，任意r+1個則相關；個則相關；判斷是最大無關組：任意判斷是最大無關組

3、：任意“n個個” “線性無關線性無關”的的“n維維 向量向量”都是都是 的最大無關組。的最大無關組。和矩陣的秩類似：和矩陣的秩類似：有有r階子式階子式0，任意，任意r+1階子式階子式0.n71,nn例：無關1,nn任一 維向量可由線性表出；111):):nnn 證：是最大無關組，顯然。， ,可由其表出；， ,可由 ， ,表出； 等價。所以秩相等。結結論論: :設設向向量量組組T T的的秩秩為為r r，則則T T中中任任意意r r個個線線性性無無關關 的的向向量量均均為為T T的的最最大大無無關關組組。組組(I)(I)無關，組無關，組(I)(I)可由可由(II)(II)表出，表出，則組則組(I)

4、(I)的個數的個數 組組(II)(II)的個數。的個數。關于向量空間和子空間關于向量空間和子空間: : 基，維數?；S數。80-( )X AXn R A 四、解空間，維數：( )00nR AAXAX任個線性無關的的解向量均為的基解系。1 122rtxkkk12,.tk kk其其中中是是任任意意常常數數91.R ,0 nn nbAXbA 有解bA任意向量 都可以由 的列向量組線性表出,1,Rnnn ，線性無關任一 維向量均可由 其線性表出.11 112211 1221 12202.11,2,00 nniiinnnnnnna xa xa xa xa xa xina xa xa xA 對都有解 1

5、012121212nnnn證： ， 可由，線性表出，又，可由 ，線性表出，向量組等價，秩相等。1223111., nnn ，相關性？12(1)(2)nnn為偶數：必相關。為奇數：線性無關，線性無關。11 1223311233101,110011n 例如時，P0P 當， 1123122331,P 122331123, 所以向量組 與，等價。 1223311230(,)min, ( )3 PRRR P 當 時，12此方法對很多問題都有效：此方法對很多問題都有效：1232132133., l mlm 線性無關，問滿足什么條件時， 線性無關。方法類似：方法類似： 213213123101,1001lm

6、lm P10Plm 當，可逆時，兩向量組等價，無關。131232131214., mmmm ，判定兩向量組秩的關系。 12121201111011,11011110, mmmP 解: 0P ，等價，秩相等。 14一、向量組線性關系的判定一、向量組線性關系的判定二、求向量組的秩二、求向量組的秩三、向量空間的判定三、向量空間的判定四、基礎解系的證法四、基礎解系的證法五、解向量的證法五、解向量的證法典型例題15研究這類問題一般有兩個方法研究這類問題一般有兩個方法方法方法1 1從定義出發從定義出發 000, 0212222121121112211aaakaaakaaakkkkmnmmmnnmm 令令整

7、理得線性方程組整理得線性方程組一、向量組線性關系的判定16)(, 0, 0, 0221122221121221111 kakakakakakakakakammnnnmmmm.,)(.,)(2121線線性性相相關關則則有有非非零零解解若若線線性性方方程程組組線線性性無無關關則則只只有有唯唯一一零零解解若若線線性性方方程程組組 mm 17方法利用矩陣的秩與向量組的秩之間關方法利用矩陣的秩與向量組的秩之間關系判定系判定.,)(,)().(),(,21212121線線性性相相關關則則若若線線性性無無關關則則若若首首先先求求出出相相應應的的矩矩陣陣就就得得到到一一個個維維向向量量給給出出一一組組 mmm

8、mmARmARARAn 18例例研究下列向量組的線性相關性研究下列向量組的線性相關性.201,520,321321 解一解一 000201520321, 0321332211kkkkkk即即令令 19整理得到整理得到)(. 0253, 022, 03212131 kkkkkkk.,)(, 0253022101)(321線線性性相相關關從從而而必必有有非非零零解解線線性性方方程程組組的的系系數數行行列列式式線線性性方方程程組組 20解二解二,201,520,321321 ,253022101),(321 A矩陣矩陣21 000220101253022101初等行變換初等行變換A., 32)(32

9、1線線性性相相關關故故向向量量組組 AR22.)2(, ,:,22112121線線性性相相關關都都有有使使對對任任何何向向量量為為零零的的數數存存在在不不全全證證明明線線性性相相關關設設 rttttttrrrr 例例2 2分析分析考考察察向向量量方方程程我我們們從從定定義義出出發發 ,0)(22112211 tktktkkkkrrrr即即向向量量方方程程0)()()(222111 tktktkrrr23.,21因因此此可可得得如如下下證證明明恒恒有有非非零零解解每每個個而而使使得得對對數數是是否否有有某某組組不不全全為為零零的的 kkkr證明證明0,22112121 rrrrkkkkkk使使為

10、為零零的的數數所所以以存存在在不不全全線線性性相相關關因因為為02211 xkxkxkrr考考慮慮線線性性方方程程都都有有則則對對任任意意向向量量零零解解為為任任一一非非設設它它必必有有非非零零解解因因為為,),(, 221 tttrr 240)(22112211 tktktkkkkrrrr., :,221121線線性性相相關關不不全全為為零零得得知知由由 tttkkkrrr 25.,:,2121一一個個最最大大線線性性無無關關組組成成它它的的個個線線性性無無關關的的向向量量均均構構中中任任意意證證明明的的秩秩是是已已知知向向量量組組rrss 例例3 3證明向量組的一個部分組構成最大線性無證明

11、向量組的一個部分組構成最大線性無關組的基本方法就是：關組的基本方法就是：分析分析根據最大線性無關組的定義來證，它往往還根據最大線性無關組的定義來證，它往往還與向量組的秩相聯系與向量組的秩相聯系26證明證明.,), 2 , 1(,212121rskrkiiiksiiirr否否則則這這向向量量組組的的秩秩大大于于相相關關線線性性向向量量組組的的于于是是對對于于任任意意個個線線性性無無關關的的向向量量中中的的任任意意是是設設不不失失一一般般性性 ., 2121線線性性表表出出以以由由可可所所以以線線性性無無關關又又向向量量組組 iiikiiirr., 2121的的一一個個最最大大線線性性無無關關組組

12、是是這這就就證證明明了了由由定定義義 siiir27求一個向量組的秩，可以把它轉化為矩陣的求一個向量組的秩，可以把它轉化為矩陣的秩來求，這個矩陣是由這組向量為列向量所排成的秩來求，這個矩陣是由這組向量為列向量所排成的二、求向量組的秩28.)1, 4, 6, 2(),1, 2, 3, 1( ),1, 1, 1, 0(),1, 1, 2, 1( ),0, 0, 1, 1(54321的秩的秩求向量組求向量組 TTTTT例4例4解解 為階梯形為階梯形化化行變換行變換作初等作初等對對作矩陣作矩陣AAA, 54321 29 1111042110631212101154321 A11012011240003

13、500000 .54321U 記作記作30, 3)( ARA的的列列秩秩. 3,54321的的秩秩為為故故向向量量組組 00000530004211021011 ) (54321 U, 421無無關關組組線線性性的的列列向向量量組組的的一一個個最最大大是是又又U ., 421線線性性無無關關組組的的列列向向量量組組的的一一個個最最大大也也是是所所以以A 31判斷向量的集合是否構成向量空間，需看集合判斷向量的集合是否構成向量空間，需看集合是否對于加法和數乘兩種運算封閉若封閉，則構是否對于加法和數乘兩種運算封閉若封閉，則構成向量空間；否則，不構成向量空間成向量空間；否則，不構成向量空間.)1 ,

14、0 , 0(3向向量量空空間間所所組組成成的的集集合合是是否否構構成成不不平平行行的的全全體體向向量量中中與與向向量量判判斷斷R例例5 5解解三、向量空間的判定),0)(1 , 0(),0 , 0( 21 kkk 對對向向量量),1 , 0 , 0(,21均均不不平平行行于于 ).1 , 0 , 0(21 32例例證明與基礎解系等價的線性無關的向量組證明與基礎解系等價的線性無關的向量組也是基礎解系也是基礎解系四、基礎解系的證法分析分析(3)方程組的任一解均可由該向量組線性表示方程組的任一解均可由該向量組線性表示(1)該組向量都是方程組的解；該組向量都是方程組的解；(2)該組向量線性無關；該組向

15、量線性無關；要證明某一向量組是方程組的基礎解要證明某一向量組是方程組的基礎解系，需要證明三個結論系，需要證明三個結論:0 AX33111,.:(1),;(2),1.(3),1,1. n rn rn rAXbAXbnrAXbXnr 設是非齊次線性方程組的一個解是其導出組的一個基礎 解系證明線性無關是方程組的個線性無關的解方程組的任一解都可以表示為這個解的線性組合 而且組合系數之和為例例7 7五、解向量的證法34. 0)(, 0)1(0110 kkkkrnrn其中必有其中必有令令 證明證明10100,0. n rn rkkkkk 否則 有矛盾 所以, 0,)(022110 rnrnkkkk則有則有

16、式式代入代入將將12120,.n rn rkkk 于是線性無關35.,), 2 , 1()2(再證它們線性無關再證它們線性無關的解的解都是都是知知由線性方程組解的性質由線性方程組解的性質BAXrnii 所以所以線性無關線性無關的證明知的證明知由由則則令令,)1(, 0)(, 0)()(211110110 rnrnrnrnrnrnkkkkkkkk ., 0,21210線性無關線性無關故故得得解之解之 rnrnkkkk 36可表為可表為則則的任一解的任一解為方程組為方程組設設XBAXX,)3( rnrntttX 2211)()(11 rnrntt)()()1(111 rnrnrntttt 37第四

17、章測試題一、填空題一、填空題( (每小題每小題5 5分，共分，共4040分分) ) .,1 , 2 , 0 , 1, 1 , 0 , 10 , 3 , 2, 4,5 , 0 , 1, 2 . 14321線性相關線性相關時時則則設設 kk .,0 , 3 , 1,4 , 3 , 5, 0,2, 0 , 2 , 1,0 , 3 , 1, 2 . 24321線性無關線性無關時時則則設設 tt 則則該該向向量量組組的的秩秩是是已已知知向向量量組組,7 , 6 , 5 , 4,6 , 5 , 4 , 3,5 , 4 , 3 , 2,4 , 3 , 2 , 1 . 34321 38則向量個數則向量個數線性

18、表出線性表出均可由向量組均可由向量組維單位向量組維單位向量組, . 42121snn 10100110005.011000011001011 AR A已知則秩;ns 5 12346.1,2,3,4 ,2,3,4,5 ,3,4,5,64,5,6,7 向量組的一個極大無關組是12, 39?,321線線性性無無關關線線性性相相關關向向量量組組為為何何值值時時試試求求出出 t .1 , 2 , 1 , 0,2 , 1 , 1 , 2,1 , 11 , 1 , 0 , 00 , 1 , 1 , 0,0 , 0 , 1 , 1, . 3321321等價等價與向量組與向量組使向量組使向量組和和求實數求實數 baba 1 , 1, 1,0 , 2,1 , 2 , . 2321 tt已已知知向向量量組組. 0)det(,.