1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上作業(yè)參考答案3、在（）這個(gè)周期上，試將它展開為傅立葉級(jí)數(shù)，又在本題所得展開式中置，由此驗(yàn)證解：因?yàn)樵冢ǎ┥蠞M足狄氏定理，可以展開為傅立葉級(jí)數(shù)又 所以 所以 令代入上式得:所以有得證5（1）作奇延拓，展為奇函數(shù)（sin函數(shù)） 6（1）作偶延拓，展為偶函數(shù)（cos函數(shù)）所以要討論k1的情況（2）作偶延拓，展為偶函數(shù)（cos函數(shù)） 8矩形波在這個(gè)周期上可以表示為試將它展為復(fù)數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù) 解：因?yàn)樵谏蠞M足狄氏定理，可以展開為復(fù)數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)又 當(dāng)k0時(shí)，*3把下列脈沖展開為傅立葉積分解：在，滿足狄氏條件，且絕對(duì)可積，所以可以展開為付氏積分。 同樣，也可以展開為正弦付

2、氏積分（奇函數(shù)） 對(duì)式進(jìn)行展開就可以得到。*1 長(zhǎng)為l的均勻弦，兩端固定，弦中張力為，在點(diǎn)，以橫向力拉弦，達(dá)到穩(wěn)定后放手任其自由振動(dòng)，寫出初始條件。解：由穩(wěn)定后放手知，初速度為0，即如圖，設(shè)穩(wěn)定后弦兩端張角分別為和，弦受力平衡因?yàn)橄覐埥呛苄?，所以，設(shè)高為H，有在段，在段，2 長(zhǎng)為l的均勻桿，兩端受拉力作用而縱振動(dòng)，寫出邊界條件。解：如圖，對(duì)桿兩端任意小的端點(diǎn)進(jìn)行微元受力分析由虎克定律 E為彈性模量令可得：同理，可得： 即為邊界條件3 長(zhǎng)為l的均勻桿，兩端有恒定熱流進(jìn)入，其強(qiáng)度為，寫出這個(gè)熱傳導(dǎo)問題的邊界條件。解：兩端有熱流流入為第二類邊界條件。利用熱傳導(dǎo)定律，小塊分析法左端 取小塊，流入流出能

3、量守恒同除以 S Dt 令e0， Dt0 在右端，和均為流入小塊，則由上面過程可知 即為邊界條件。P1889.1.3 長(zhǎng)為l的均勻桿，在端固定，另一端沿桿的軸線方向被拉長(zhǎng)b后靜止，突然放手，任其振動(dòng)，寫出方程及定解條件。解： 桿的內(nèi)部除自身彈性力外，無(wú)其他外力，故為齊次振動(dòng)方程：邊條件：左端固定，為第一類齊次邊條件， 右端放手后為自由振動(dòng)，第二類齊次邊條件：初條件：均勻桿被拉伸長(zhǎng)度b，故每一x處離開其平衡位置的位移為 初速度：靜止后釋放，為0，9.1.5 長(zhǎng)為l的細(xì)弦，兩端固定，初位移為零，初始時(shí)刻在點(diǎn)受到一橫向沖量I，試寫出定解問題。解：兩端固定均勻細(xì)弦的自由振動(dòng)，故為齊次振動(dòng)方程：邊條件：

4、兩端固定，均為第一類齊次邊條件， 初條件：初始時(shí)刻受到一沖量后會(huì)獲得一速度，但還來不及運(yùn)動(dòng)，故初位移為零 初速度：只在點(diǎn)有沖量，故只有點(diǎn)會(huì)有速度改變，由沖量定理： ，即P1939.2.2 一半徑為、密度為、比熱為c，熱傳導(dǎo)系數(shù)為k的均勻圓桿，如果同一橫截面上的溫度相同，其側(cè)面與溫度為的介質(zhì)發(fā)生熱交換，且交換系數(shù)為H，導(dǎo)出桿上溫度u滿足的方程。解：因?yàn)橥粰M截面上的溫度相同，故除兩端點(diǎn)外，側(cè)面符合冷卻定律，內(nèi)部符合傅立葉傳熱定律：設(shè)桿內(nèi)任意一點(diǎn)的溫度為u，小塊分析法，取桿上任意一小段左端熱流密度 流入 右端熱流密度 流出 側(cè)面冷卻放出的熱流密度：所以由能量守恒： 即： 得：*P22011.1.3

5、 一根均勻兩端分別處固定，設(shè)初速度為零，初始時(shí)刻弦的形狀為拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為處，求弦的振動(dòng)。解：先寫定解問題，齊次方程，第一類齊次邊條件，初始速度為零初始位移為拋物線：帶入三個(gè)點(diǎn)可得：即：分離變量法令代入中的方程及邊條件得 和 解本征值問題將ln 代入解T n (t)得迭加特解得通解：帶入初始條件求通解，推出 11.1.6 長(zhǎng)為的桿，上端固定在太空宇宙飛船的天花板上，桿身豎直向下，下端自由，當(dāng)飛船以速度為下降時(shí)突然靜止，求桿的振動(dòng)。引力場(chǎng)忽略。解：桿上端固定，下端自由，所以上端為第一類邊界條件，下端為第二類邊界條件。又因?yàn)殪o止前桿隨飛船一起下降，所以各點(diǎn)的初始位移（離開平衡位置的距離）為0

6、，而初始速度為，可以寫出定解問題 分離變量法令代入中的方程及邊條件得 和 解本征值問題將ln 代入解T n (t)迭加特解得通解：帶入初始條件求通解得： 11.1.7 長(zhǎng)為，桿身與外界絕熱的均勻細(xì)桿，桿兩端溫度保持為零度，已知其初始溫度為解：定解問題 分離變量法令代入中的方程及邊條件得 和 解本征值問題將ln 代入解T n (t)得迭加特解得通解：帶入初始條件求通解 11.1.8 長(zhǎng)為的桿，兩端絕熱，初始溫度為，求其溫度變化的規(guī)律。解：定解問題 分離變量法令代入中的方程及邊條件，得 和 解本征值問題將ln 代入解T n (t)得迭加特解得通解：帶入初始條件求通解 *非齊次方程，齊次邊界條件問題

7、1 定解問題解：齊次化函數(shù)法設(shè)u=v+w代入，且令w滿足： 得v：解，因?yàn)閣無(wú)初始條件，可有無(wú)窮多解，猜w值，取較簡(jiǎn)單形式，設(shè)其值為代入得所以得：所以 代入下面解的通解。設(shè)v (x ,t)=X (x) T (t)代入中的方程及邊條件得： 和 解得代入得特解疊加特解得通解代入的初始條件：所以2 定解問題解：齊次化函數(shù)法設(shè)u=v+w代入，且令w滿足： 得v：解，因?yàn)閣無(wú)初始條件，可有無(wú)窮多解，猜w值，取較簡(jiǎn)單形式，設(shè)其值與x無(wú)關(guān)，則w對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)為0，故設(shè)代入得所以得：所以 代入下面解的通解。設(shè)v (x ,t)=X (x) T (t)代入中的方程及邊條件得： 和 解得代入得特解 疊加特解得通解 代

8、入的初始條件： 所以11.1.14 求解下列定解問題解：同時(shí)齊次化邊和函數(shù)法設(shè)u=v+w代入，且令w滿足： 得v：解，因?yàn)閣無(wú)初始條件，可有無(wú)窮多解，猜w值，取較簡(jiǎn)單形式，設(shè)其值為代入得所以得：所以 代入下面解的通解。分離變量法令代入中的方程及邊條件，得 和 解本征值問題解時(shí)間問題：得迭加特解得通解：帶入初始條件求通解，推出 11.1.15 定解問題 解：齊次化邊設(shè)u=v+w代入，且令w滿足： 得 所以 v滿足：方程的通解為代入的初始條件：所以補(bǔ)充：二維穩(wěn)定問題：散熱片的橫截面為矩形，如圖所示，兩對(duì)邊溫度分別為u0和u1 ，求橫截面穩(wěn)定的溫度分布。解：定解問題 設(shè) u (x ,y)=v (x

9、,y)+u0 代入 設(shè)v (x ,y)=X (x) Y (y)代入中方程x的邊條件： 解得： 解得： 迭加特解得通解：代入y的邊條件：即 所以 *圓內(nèi)狄氏問題1、求解定解問題 解：由題意，設(shè)代入方程及有關(guān)邊條件得 和 解得：解得：通解：代入邊界條件得定解：兩邊比較系數(shù)得，其余；所以 2、求解定解問題 解：由題意，設(shè)代入方程及有關(guān)邊條件得 和 解得：解得：通解：代入邊界條件得定解：兩邊比較系數(shù)得，其余；，其余 所以 球內(nèi)定解問題11.3.4 若單位球面上電勢(shì)分布為，求球面內(nèi)外空間的電勢(shì)分布。解：因?yàn)榍蛎鎯?nèi)外空間均沒有電荷，所以為齊次方程且解與無(wú)關(guān)球內(nèi)： 解：由題意，設(shè)代入方程及有關(guān)邊條件得 和

10、解得： 解得： 通解： 代入邊界條件得定解： 因?yàn)?直接比較系數(shù)： 球外方程為： 設(shè)代入方程及有關(guān)邊條件得 和 解得： 解得： 通解： 代入邊界條件得定解： 因?yàn)?直接比較系數(shù)： 11.3.5 一半球面保持溫度為，半球的地面保持溫度為零，試求該半球的穩(wěn)定溫度分布。（參考例題5）11.3.7 在半徑為的球面上電勢(shì)分布為，求球內(nèi)電勢(shì)分布。解：定解問題 設(shè)u (r,q,f)=R (r) Y( q,f)代入中方程及有關(guān)邊條件，得 和 解得：解得：通解：定解：*補(bǔ)充：1. 用一層不導(dǎo)電的物質(zhì)把半徑為r0的導(dǎo)體球殼分隔為兩個(gè)半球殼，使半球各充電到電勢(shì)為和，試計(jì)算電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。（球外部分）解：取垂直于球分隔面的軸為Z軸，取球坐標(biāo)系，知電勢(shì)分布為環(huán)向?qū)ΨQ分布，所以定解問題寫為： 設(shè)代入中方程及有關(guān)邊條件得 和 解得： 解得： 通解： 代入邊界條件得定解： 解得：2 一空心圓球區(qū)域，內(nèi)半徑為r1，外半徑為r2，內(nèi)球面上有恒定電勢(shì)，外球面上電勢(shì)保持為，均為常數(shù)，試求內(nèi)外球面之間空心圓球區(qū)域中得電勢(shì)分布。解：由外球面電勢(shì)分布為，知電勢(shì)分布為環(huán)向?qū)?/p>