1、第三講數 論真題模考1. 從9899100中任意劃去100個數字其他數字順序不變剩下的數字組成的數，最大的是多少?最小的是多少?【分析】 為了保證剩下的數最大，最高位數字要盡可能地大，先從中劃去個數字剩下；再從中劃去個教字剩下個；再從中劃去個數字剩下盡可能大的數，所以最大的數是為了保證剩下的數最小，最高位數字要盡可能地小從中劃去個數字剩下：再從中劃去個數字，剩下個，最后從中劃去個數字，剩下盡可能小的數，所以最小的數是解答：最大的是 最小的是2. 有一個正整數的平方，它的最后三位數字相同但不為0，試求滿足上述條件的最小的正整數【分析】 平方數的末尾只能是，因為都不是完全平方數，所以所求的數最小是

2、位數考察可以知道，所以滿足條件的最小正整數是解答：滿足條件的最小正整教是3. 一次數學考試滿分是100分，6位同學在這次考試中的平均分是91分，這6位同學的得分各不相同，其中有一位同學僅得了65分，那么得分排在第三名的同學至少得多少分?【分析】 第一 第二 所以 第三至少得4. 有四個不同的自然數，它們的和是，則它們的最大公約數最大是（ ）【分析】 ， 四個數分別 最大公約數為1015. 有一種商品，買個要角錢，買個要角錢，買個要角錢，小明和小紅都有整數角錢，小明的錢最多能買這種商品個，要是他們的錢合在一起，則最多能買個這種商品，那么小紅的錢最多能買這種商品（ ）個【分析】 小明的錢數： （角

3、） 兩人一共有錢： （角）小紅有錢： （角） 小紅最多能買：6. 有兩個兩位數，它們的差是，將它們分別平方，得到的兩個平方數的末兩位數（個位數和十位數）相同，那么這兩個兩位數是（ ）（請寫出所有可能的答案）【分析】 個位 只能 和 或 和中 只有符合中 只有和符合所以一共有三組答案7. 令，其中的數字是由依次寫下正整數至得到的，則小數點右邊第位數字是（ ）【分析】 第個三位數是 即的下一位是8. 連續個偶數的和是這個數中最大的一個偶數是多少?【分析】 這七個數分別是 最大是9. 一個三位數除以，商是a，余數是b（a、b都是正數)求a+b的最大值【分析】 那么一個三位數為余數最大 這個數 最大值

4、10. （1）把分成兩個自然數的和，使它們的乘積最大，應該怎樣分？（2）把分成若干個自然數的和，要是這幾個數的乘積最大，應該怎樣分？【分析】 和考點拓展【例1】 如果一個正整數的十進制表示中，任何兩個相鄰數字的奇偶性不同，則稱這個正整數為“交替數”，若正整數至少有一個倍數為“交替數”，則把稱為“好數”是“好數”嗎？說明理由證明：是“好數”證明：所有與互質的正整數都是“好數”【分析】 （1）的任何倍數的十位和個位都是偶數（2），前兩位都是偶數，用“改造”千位，萬位和千位都是奇數，“改造”十萬位和萬位，滿足條件（3）首先證明任意一個與互質的數都有倍數可以寫成“”的形式，證：設這個與“”互質的數是,

5、取個不同的自然數，求被除所得的余數，根據抽屜原理，必有兩個余數相等，將余數相等的兩個被除數相減，則可得到“”，這個數能被整除，由于與互質，所以去掉末尾的后，剩下的仍是的倍數，設這個數由個構成，即寫成，將這個數重復寫兩遍得到，它也是的倍數，將它除以，再乘以（能被整除），得到，這個數仍然是的倍數，并且是“交替數”，所以是“好數”【例2】 n為4位整數，且組成它的各位數碼是從左到右呈降序排列連續數字則n除以37的所有可能的余數之和為【分析】 可能為 它們的余數分別是余數之和【例3】 在一次馬拉松長跑比賽中，有100位選手參加大會準備了100塊標有整數1到100的號碼布，分發給每位選手選手們被要求在比

6、賽結束時，將自己號碼布上的數字與到達終點時的名次數相加，并將這個和數交上去問這交上來的100個數字的末2位數字是否可能都不相同?請回答可能或不可能，并清楚地說明理由注：沒有同時到達終點的選手【分析】 (解一)不可能，因為從選出個加上從選出個，結果可能是，共 有種情況，一旦確定一個數，如，那么和就不能再出現，即確定一個數就減少兩種情況，那么確定個數就需要種情況，本題只有種情況，所以不可能 （解二）不可能，末2位數字都不相同說明各有一個而，末2位數字為所有選手身上和號碼布上的號碼總和應該為：，末2位數字為00【例4】 已知是正整數，規定，令，則整數除以的余數為（ ）【分析】 （解一） 余數是 余數

7、是 余數是 余數是 余數是（解二）能夠整除，所以的余數是【例5】 一個分子是1的分數，化成小數后是一個混循環小數，且循環節為兩位，不循環也有兩位，那么這種分數共有多少個？【分析】 假設該混循環小數是，那么其中，且，所以不是和的倍數.令，則，那么，而所以是的約數，且不是和的倍數.的約數中的倍數有，的約數中的倍數有個，的倍數有個，即是也是的倍數有個，顯然對任意值，和都有以內的符合條件自然數解，所以符合條件的解有個，對應的也有個，即這樣的分數有個，【例6】 有一個四位整數在它的某位數字前面加上一個小數點，再和這個四位數相加，所得結果是這個四位數是（ ）【分析】 結果的小數點后有兩位，說明這個小數要么

8、是，要么是 所以只能是 課后練習1. 一個兩位數被它的各個數字之和去除，余數最大是（ ）【分析】 數字和， 數字和，； 數字和，； ； 所以余數最大是2. 設與分別表示兩個兩位整數，并且滿足方程，則（ ）【分析】 方程兩邊除以，得，即，為偶數，被整除，又兩位數除以兩位數只能在之間，或 經驗證不符合題意，舍去， 所以3. 實驗小學的禮堂一共有座位24排每排有座位30個，全校有650個學生在禮堂開會，那么至少育多少排座位上坐的學生人數同樣多?【分析】 假設排座位上坐的人數都不一樣多，那么最多只能坐人；假設有兩排坐的人數同樣多，最多可以坐人：假設由排坐的人數同樣多最多可以坐.假設相同人數的座位有排最多能坐人，超過人的總人數所以至少有排座位上的人數相等解答：至少有排座位上的人數相等4. 兩個整數的最小公倍數是1925，這兩個整數分別除以它們的最大公約數，得到兩個商的和是1