1、如果回歸模型的解釋變量中含有定性變量，則可以用虛擬變量處理之。在實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，被解釋變量也可能是定性變量。如通過(guò)一系列解釋變量的觀測(cè)值觀察人們對(duì)某項(xiàng)動(dòng)議的態(tài)度，某件事情的成功和失敗等。當(dāng)被解釋變量為定性變量時(shí)怎樣建立模型呢？這就是要介紹的二元選擇模型或多元選擇模型，統(tǒng)稱離散選擇模型。這里主要介紹Tobit（線性概率）模型，Probit（概率單位）模型和Logit模型。1Tobit（線性概率）模型Tobit模型的形式如下，yi = a + b xi+ui (1)其中ui為隨機(jī)誤差項(xiàng)，xi為定量解釋變量。yi為二元選擇變量。此模型由James Tobin 1958年提出，因此得名。如利息稅、機(jī)動(dòng)

2、車的費(fèi)改稅問(wèn)題等。設(shè) 1 （若是第一種選擇）yi = 0 （若是第二種選擇）對(duì)yi取期望，E(yi) = a + b xi (2)下面研究yi的分布。因?yàn)閥i只能取兩個(gè)值，0和1，所以yi服從兩點(diǎn)分布。把yi的分布記為，P ( yi = 1) = piP ( yi = 0) = 1 - pi則E(yi) = 1 (pi) + 0 (1 - pi) = pi (3)由（2）和（3）式有pi= a +b xi（yi的樣本值是0或1，而預(yù)測(cè)值是概率。） (4)以pi = -5 xi 為例，說(shuō)明xi每增加一個(gè)單位，則采用第一種選擇的概率增加5。現(xiàn)在分析Tobit模型誤差的分布。由Tobit模型（1）有

3、，ui = yi-a-b xi=E(ui) = (1-a-b xi) pi + (-a-b xi) (1 - pi) = pi -a-b xi由（4）式，有E(ui) = pi -a-b xi = 0因?yàn)閥i只能取0, 1兩個(gè)值，所以，E(ui2) = (1-a-b xi)2pi + (-a-b xi)2 (1 - pi) = (1-a-b xi)2(a + b xi) + (a+b xi)2 (1 - a-b xi), （依據(jù)(4)式） = (1-a-b xi) (a + b xi) = pi (1 - pi) , （依據(jù)(4)式） = E(yi) 1- E(yi) 上兩式說(shuō)明，誤差項(xiàng)的期望

4、為零，方差具有異方差。當(dāng)pi接近0或1時(shí)，ui具有較小的方差，當(dāng)pi接近1/2時(shí)，ui具有較大的方差。所以Tobit模型（1）回歸系數(shù)的OLS估計(jì)量具有無(wú)偏性和一致性，但不具有有效性。假設(shè)用模型（4）進(jìn)行預(yù)測(cè)，當(dāng)預(yù)測(cè)值落在 0，1 區(qū)間之內(nèi)（即xi取值在4, 24 之內(nèi)）時(shí)，則沒有什么問(wèn)題；但當(dāng)預(yù)測(cè)值落在0，1 區(qū)間之外時(shí)，則會(huì)暴露出該模型的嚴(yán)重缺點(diǎn)。因?yàn)楦怕实娜≈捣秶?0，1，所以此時(shí)必須強(qiáng)令預(yù)測(cè)值（概率值）相應(yīng)等于0或1（見圖1）。線性概率模型常寫成如下形式，圖1 1, a + b xi³ 1pi =a + b xi , 0 < a + b xi < 1 (5) 0

5、,a + b xi£ 0 然而這樣做是有問(wèn)題的。假設(shè)預(yù)測(cè)某個(gè)事件發(fā)生的概率等于1，但是實(shí)際中該事件可能根本不會(huì)發(fā)生。反之，預(yù)測(cè)某個(gè)事件發(fā)生的概率等于0，但是實(shí)際中該事件卻可能發(fā)生了。雖然估計(jì)過(guò)程是無(wú)偏的，但是由估計(jì)過(guò)程得出的預(yù)測(cè)結(jié)果卻是有偏的。由于線性概率模型的上述缺點(diǎn)，希望能找到一種變換方法，（1）使解釋變量xi所對(duì)應(yīng)的所有預(yù)測(cè)值（概率值）都落在（0，1）之間。（2）同時(shí)對(duì)于所有的xi，當(dāng)xi增加時(shí)，希望yi也單調(diào)增加或單調(diào)減少。顯然累積概率分布函數(shù)F(zi) 能滿足這樣的要求。采用累積正態(tài)概率分布函數(shù)的模型稱作Probit模型。用正態(tài)分布的累積概率作為Probit模型的預(yù)測(cè)概率。

6、另外logistic函數(shù)也能滿足這樣的要求。采用logistic函數(shù)的模型稱作logit模型。累積正態(tài)概率分布曲線 logistic曲線 2Probit（概率單位）模型，仍假定yi = a + b xi ,而pi = F ( yi) = (6)累積概率分布函數(shù)曲線在pi =附近的斜率最大。對(duì)應(yīng)yi在實(shí)軸上的值，相應(yīng)概率值永遠(yuǎn)大于0、小于1。顯然Probit模型比Tobit模型更合理。Probit模型需要假定yi 服從正態(tài)分布。3logit模型該模型是McFadden于1973年首次提出。其采用的是logistic概率分布函數(shù)。其形式是pi =F(yi) = F(a + b xi) = = (7

7、)對(duì)于給定的xi，pi表示相應(yīng)個(gè)體做出某種選擇的概率。Probit曲線和logit曲線很相似。兩條曲線都是在pi = 0.5處有拐點(diǎn)，但logit曲線在兩個(gè)尾部要比Probit曲線厚。利用（6）和（7）式得到的概率值見表1。表1 Probit模型和logit模型概率值yi正態(tài)分布函數(shù)pi = 邏輯概率分布pi =-1.5Probit曲線logit曲線圖2Probit曲線、logit曲線比較示意圖logit曲線計(jì)算上也比較方便，所以Logit模型比Probit模型更常用。對(duì)上式作如下變換，pi(1+ ) = 1 (8)對(duì)上式除以pi，并減1得e-yi = -1 = 取倒數(shù)后，再取對(duì)數(shù)，yi =l

8、og ()所以 log () = yi =a + b xi (9)由上式知回歸方程的因變量是對(duì)數(shù)的某個(gè)具體選擇的機(jī)會(huì)比。logit模型的一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)是把在 0，1 區(qū)間上預(yù)測(cè)概率的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在實(shí)數(shù)軸上預(yù)測(cè)一個(gè)事件發(fā)生的機(jī)會(huì)比問(wèn)題。logit累積概率分布函數(shù)的斜率在pi = 時(shí)最大，在累積分布兩個(gè)尾端的斜率逐漸減小。說(shuō)明相對(duì)于pi = 附近的解釋變量xi的變化對(duì)概率的變化影響較大，而相對(duì)于pi接近0和1附近的xi值的變化對(duì)概率的變化影響較小。對(duì)于Logit模型使用極大似然法估計(jì)參數(shù)是一個(gè)很好的選擇。首先分析含有兩個(gè)參數(shù)（a和b）的隨機(jī)試驗(yàn)。假設(shè)被估計(jì)的模型如下pi = (10)在樣本中pi是觀測(cè)

9、不到的。相對(duì)于xi的值，只能得到因變量yi取值為0或1的信息。極大似然估計(jì)的出發(fā)點(diǎn)就是尋找樣本觀測(cè)值最有可能發(fā)生條件下的a和b的估計(jì)值。從樣本看，如果第一種選擇發(fā)生了n次，第二種選擇發(fā)生了N-n次。設(shè)采取第一種選擇的概率是pi。采取第二種選擇的概率是（1- pi）。重新將樣本數(shù)據(jù)排列，使前n個(gè)觀測(cè)值為第一種選擇，后N-n個(gè)觀測(cè)值為第二種選擇（觀測(cè)值是0，1的，但相應(yīng)估計(jì)的概率卻各不相同）。例1 (file:case5)南開大學(xué)國(guó)際經(jīng)濟(jì)研究所1999級(jí)研究生考試分?jǐn)?shù)及錄取情況見數(shù)據(jù)表（N = 95）。定義變量SCORE：考生考試分?jǐn)?shù)；Y：考生錄取為1，未錄取為0；虛擬變量D1：應(yīng)屆生為1，非應(yīng)屆

10、生為0。圖1 樣本觀測(cè)值(file:logit1)得Logit模型估計(jì)結(jié)果如下（EViews命令：Quick, estimate equation分別選Probit或Logit）：注：Akaike information criterion = -2+ 2Schwarz criterion = -2+ k Hannan-Quinn criterion = -2+ 2 k Average Log likelihood function = 其中k為被估參數(shù)個(gè)數(shù)，T為樣本容量。McFadden R-squared = 1-因?yàn)镈1的系數(shù)沒有顯著性。說(shuō)明“應(yīng)屆生”和“非應(yīng)屆生”不是決定是否錄取的重要

11、因素。剔除D1。得Logit模型估計(jì)結(jié)果如下 pi =F(yi) =拐點(diǎn)坐標(biāo) (358.7, 0.5)注意：表達(dá)式中指數(shù)的寫法。圖2 Logit模型預(yù)測(cè)值，拐點(diǎn)坐標(biāo) (358.7, 0.5)在估計(jì)Probit模型過(guò)程中，D1的系數(shù)也沒有顯著性。剔除D1，Probit模型最終估計(jì)結(jié)果是pi =F(yi) =F xi) 拐點(diǎn)坐標(biāo) (358.5, 0.5)圖3 Probit模型預(yù)測(cè)值，拐點(diǎn)坐標(biāo) (358.5, 0.5)兩種估計(jì)模型的若干預(yù)測(cè)結(jié)果如下表，Probit模型Logit模型scoreYpiYpi350355359360365370表2 數(shù)據(jù)表obsYSCORED1obsYSCORED1obs

12、YSCORED11140113403321670275021401035033216802730313921360332169027314138703703311700272151384138033017102670613790390328172026617137804003281730263181378041032817402611913761420321175026001013710430321176025601113620440318177025201213621450318078025211313611460316179024511403591470308080024311503581

13、480308181024201613561490304082024101703561500303183023911803551510303184023501903541520299185023202003540530297186022812103531540294087021912203500550293188021912303490560293189021412403490570292090021012503481580291191020412603471590291192019802703471600287193018912803441610286194018812903391620286

14、095018213003380630282196016613103381640282197012303203361650282033033406602780例3：農(nóng)戶勞動(dòng)力的非農(nóng)業(yè)就業(yè)模型（file:logitzhou）。本例的主要任務(wù)之一是要考察影響農(nóng)村居民家庭勞動(dòng)力非農(nóng)業(yè)就業(yè)的主要因素，尤其重點(diǎn)考察教育程度對(duì)非農(nóng)業(yè)就業(yè)的影響。一般而言，在勞動(dòng)力市場(chǎng)發(fā)育相對(duì)成熟的條件下，教育可以提高勞動(dòng)力非農(nóng)就業(yè)的可能性。勞動(dòng)力教育程度越高，非農(nóng)就業(yè)的機(jī)會(huì)越多，非農(nóng)就業(yè)的傾向也就越高。此外，還有其他許多因素影響農(nóng)村勞動(dòng)力的非農(nóng)就業(yè)。如（1）農(nóng)村居民家庭所在地區(qū)的區(qū)位條件。在其他條件保持不變的條件下，離中心城

15、市越近，非農(nóng)產(chǎn)業(yè)越發(fā)達(dá)，提供的非農(nóng)就業(yè)機(jī)會(huì)就越多。同時(shí)農(nóng)戶進(jìn)入非農(nóng)產(chǎn)業(yè)就業(yè)的成本越低。這種家庭中的勞動(dòng)力進(jìn)入非農(nóng)業(yè)就業(yè)的可能性也越大。（2）被調(diào)查對(duì)象所在村鎮(zhèn)的鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)的發(fā)達(dá)程度直接影響農(nóng)村居民的非農(nóng)就業(yè)。鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)越發(fā)達(dá)，農(nóng)村居民非農(nóng)業(yè)就業(yè)的概率越高；反之，鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)越不發(fā)達(dá)，非農(nóng)就業(yè)的概率越小。（3）農(nóng)戶擁有生產(chǎn)資料情況也是影響其勞動(dòng)力非農(nóng)就業(yè)的重要因素。其中，如果其他條件相同，則非農(nóng)業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)越多，則農(nóng)戶中勞動(dòng)力的非農(nóng)業(yè)就業(yè)傾向越大。而農(nóng)業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)對(duì)勞動(dòng)力非農(nóng)就業(yè)傾向影響比較復(fù)雜，如果農(nóng)戶所擁有農(nóng)業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)屬于有勞動(dòng)力替代型的，則它與勞動(dòng)力非農(nóng)就業(yè)傾向之間的關(guān)系是正相關(guān)的，

16、反之如果屬于勞動(dòng)力互補(bǔ)型的，則它與非農(nóng)就業(yè)傾向之間存在著負(fù)相關(guān)關(guān)系。（4）農(nóng)戶所擁有的耕地的數(shù)量影響其非農(nóng)就業(yè)的傾向，在我國(guó)現(xiàn)有的農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化程度比較低的條件下，耕地越多意味著農(nóng)戶必須將更多的勞動(dòng)力分配到農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，因此農(nóng)戶勞動(dòng)力的非農(nóng)就業(yè)傾向越小，反之，耕地越少則非農(nóng)就業(yè)的傾向越高。（5）家庭結(jié)構(gòu)也是影響農(nóng)戶勞動(dòng)力非農(nóng)就業(yè)的重要因素，家庭負(fù)擔(dān)越輕，勞動(dòng)力從事非農(nóng)就業(yè)的傾向越大。（6）勞動(dòng)力受教育程度。根據(jù)上述分析，我們構(gòu)建了如下的計(jì)量模型：Y=C+b1X+b2NYGDZC+b3FNYGDZC+b4XZQY+b5RJGD+b6FDXS+a1School1+a2School2+a3School3+

17、a4School4+a5School5+a6School6+ut其中：Y為農(nóng)戶中是否有非農(nóng)業(yè)就業(yè)的勞動(dòng)力，如果有取1，沒有則取0；X為地區(qū)代碼。如果被調(diào)查對(duì)象屬于濱海三區(qū)和四郊取1，否則取0；NYGDZC為農(nóng)戶所擁有的人均農(nóng)業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)的價(jià)值；FNYGDZC為農(nóng)戶擁有的人均非農(nóng)業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)的價(jià)值；XZQY為農(nóng)戶所在村鎮(zhèn)鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)的個(gè)數(shù)；RJGD為農(nóng)戶家庭人均擁有的耕地的數(shù)量；FDINDEX為家庭結(jié)構(gòu)的勞動(dòng)力負(fù)擔(dān)系數(shù)；school1表示家庭中文盲或識(shí)字很少的勞動(dòng)力的人數(shù)；school2表示農(nóng)戶家庭內(nèi)中小學(xué)文化程度的勞動(dòng)力人數(shù)；school3表示農(nóng)戶家庭中具有初中文化程度的勞動(dòng)力的人數(shù)；sc

18、hool4表示高中文化程度的勞動(dòng)力的人數(shù)；school5表示中專文化程度的勞動(dòng)力的人數(shù)；school6表示大專以上文化程度的勞動(dòng)力的人數(shù)。農(nóng)村居民家庭非農(nóng)業(yè)就業(yè)的Logit估計(jì)結(jié)果資料來(lái)源：天津市農(nóng)村社會(huì)經(jīng)濟(jì)調(diào)查隊(duì)。注：（1）*表示10%的水平下是顯著的；*表示5%的水平下是顯著的；*表示1%的水平下是顯著的。 （2）模型包含了全部樣本在內(nèi)，模型只包含了五縣的樣本，模型只包含了四個(gè)近郊和濱海三區(qū)的樣本注：YF是上述logit模型的預(yù)測(cè)值；Yhat是用上述變量做的線性回歸的預(yù)測(cè)值。所以散點(diǎn)圖正好能看出生長(zhǎng)曲線的走勢(shì)。估計(jì)結(jié)果顯示，教育程度對(duì)勞動(dòng)力的非農(nóng)業(yè)就業(yè)傾向有著非常明顯的作用。除文盲外，隨著教育程度的提高，農(nóng)戶中勞動(dòng)力從事非農(nóng)就業(yè)的傾向越大。正如前面所分析的那樣，宏觀變量中，區(qū)位因素和當(dāng)?shù)剜l(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)的發(fā)達(dá)程度對(duì)農(nóng)戶的勞動(dòng)力從事非農(nóng)就業(yè)產(chǎn)生了明顯的促進(jìn)作用。微觀因素中，農(nóng)戶擁有農(nóng)業(yè)生產(chǎn)固定資產(chǎn)對(duì)其非農(nóng)就業(yè)的影響是負(fù)的，而非農(nóng)業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)的影響則是正的。這表明農(nóng)戶的資產(chǎn)存量對(duì)其非農(nóng)就業(yè)的影響是雙向的，具體的情況主要取決于資產(chǎn)的種類。同時(shí)，農(nóng)戶擁有的耕地?cái)?shù)量對(duì)其非農(nóng)業(yè)就