1、本章將主要討論單車道情況下的車輛跟馳現象，介紹跟馳理論，建立相應的跟馳理論模型，最后簡要介紹一下加速度干擾問題。跟馳理論是運用動力學方法研究在限制超車的單車道上，行駛車隊中前車速度的變化引起的后車反應。車輛跟馳行駛是車隊行駛過程中一種很重要的現象，對其研究有助于理解交通流的特性。跟馳理論所研究的參數之一就是車輛在給定速度下跟馳行駛時的平均車頭間距，平均車頭間距則可以用來估計單車道的通行能力。在對速度間距關系的研究中，單車道通行能力的估計基本上都是基于如下公式：(41)式中：單車道通行能力（veh/h）；速度（km/h）；平均車頭間距（m）。研究表明，速度間距的關系可以由下式表示：(42)式中系

2、數、可取不同的值，其物理意義如下：車輛長度，； 反應時間，；跟馳車輛最大減速度的二倍之倒數。附加項保證了足夠的空間，使得頭車在緊急停車的情況下跟馳車輛不與之發生碰撞，的經驗值可近似取為s2/英尺。一般情況下是非線性的，對于車速恒定（或近似恒定）、車頭間距相等的交通流，的近似計算公式可取為：(43)式中：、分別為跟車和頭車的最大減速度。跟馳理論除了用于計算平均車頭間距以外，還可用于從微觀角度對車輛跟馳現象進行分析，近似得出單車道交通流的宏觀特性。總之，跟馳理論是連接車輛個體行為與車隊宏觀特性及相應流量、穩定性的橋梁。第一節 線性跟馳模型的建立單車道車輛跟馳理論認為，車頭間距在100125m以內時

3、車輛間存在相互影響。分析跟馳車輛駕駛員的反應，可將反應過程歸結為以下三個階段：感知階段：駕駛員通過視覺搜集相關信息，包括前車的速度及加速度、車間距離（前車車尾與后車車頭之間的距離，不同于車頭間距）、相對速度等；決策階段：駕駛員對所獲信息進行分析，決定駕駛策略；控制階段：駕駛員根據自己的決策和頭車及道路的狀況，對車輛進行操縱控制。線性跟馳模型是在對駕駛員反應特性分析的基礎上，經過簡化得到的。一、線性跟馳模型的建立跟馳模型實際上是關于反應刺激的關系式，用方程表示為： 反應 =·刺激 (44)式中為駕駛員對刺激的反應系數，稱為靈敏度或靈敏系數。駕駛員接受的刺激是指其前面引導車的加速或減速行

4、為以及隨之產生的兩車之間的速度差或車間距離的變化；駕駛員對刺激的反應是指根據前車所做的加速或減速運動而對后車進行的相應操縱及其效果。 線性跟馳模型相對較簡單，圖41為建立線性跟馳模型的示意圖。d2d1n車開始減速位置Ln+1車的制動距離T時間內n+1車行駛過的距離d3n車停車位置xn(t)xn+1(t)s (t)n+1nn+1n+1nn車的制動距離圖41 線性跟馳模型示意圖圖中各參數意義如下：時刻車輛間的車頭間距；反應時間內車行駛的距離；時刻車的位置；時刻車的位置；反應時間或稱反應遲滯時間；車的制動距離；車的制動距離；停車安全距離。從圖中可以得到： (45) (46)假設兩車的制動距離相等，即

5、，則有 (47)由式(45)和式(46)可得 (48)兩邊對求導，得到 (49)也即1,2,3, (410)或寫成1,2,3, (411) 其中。與式(44)對比，可以看出式(411)是對刺激反應方程的近似表示：刺激為兩車的相對速度；反應為跟馳車輛的加速度。式(49)是在前導車剎車、兩車的減速距離相等以及后車在反應時間內速度不變等假定下推導出來的。實際的情況要比這些假定復雜得多，比如刺激可能是由前車加速引起的，而兩車在變速行駛過程中駛過的距離也可能不相等。為了考慮一般的情況，通常把式(410)或式(411)作為線性跟馳模型的形式，其中不一定取值為，也不再理解為靈敏度或靈敏系數，而看成與駕駛員動

6、作強度相關的量，稱為反應強度系數，量綱為。二、車輛跟馳行駛過程的一般表示跟馳理論的一般形式可用傳統控制理論的框圖表示，見圖42a。式(411)所示的線性跟馳模型表示為圖42b，圖中駕駛員行為由反應時間和反應強度系數代替。完善的跟馳理論應包括一系列方程，以便建模描述車輛及道路的動態特性、駕駛員的生理心理特性以及車輛間的配合。命令輸出跟馳車輛狀態車輛的動態特性反饋循環駕駛員感知和信息搜集決策與控制過程頭車狀態誤差圖42a 車輛跟馳框圖表示加速命令跟馳車輛速度綜合累計駕駛員反應時間反應強度系數頭車速度圖42b 線性跟馳模型框圖表示第二節 穩定性分析本節討論方程（410）所示線性跟馳模型的兩類波動穩定

7、性：局部穩定性和漸進穩定性。局部穩定性：關注跟馳車輛對它前面車輛運行波動的反應，即關注車輛間配合的局部行為。漸進穩定性：關注車隊中每一輛車的波動特性在車隊中的表現，即車隊的整體波動特性，如車隊頭車的波動在車隊中的傳播。一、局部穩定性根據研究，針對（、參數的意義同前）取不同的值，跟馳行駛兩車的運動情況可以分為以下四類：a) 時，車頭間距不發生波動；b) 時，車頭間距發生波動，但振幅呈指數衰減；c) 時,車頭間距發生波動，振幅不變；d) 時,車頭間距發生波動，振幅增大。對于的情況，利用計算機模擬的辦法給出了相關運動參數的變化曲線（其中反應時間，），如圖43。模擬過程中假定頭車的加速和減速性能是理想

8、的，頭車采取恒定的加速度和減速度。圖中實線代表頭車運動參數的變化，虛線代表跟馳車輛運動參數的變化，其中的“速度變化”是指頭車和跟馳車輛分別相對于初始速度的變化值，即每一時刻的速度與初始速度之差。圖44中給出了另外四個不同值的車頭間距變化圖，分別取阻尼波動、恒幅波動和增幅波動幾種情況的值。加 速 度(m2/s)速度變化(m/s)相對速度(m/s)車頭間距(m)002118150 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20圖43 頭車加速度波動方式及對兩車運動的影響時間車頭間距圖44 不同C值對應的車頭間距變化對于一般情況下的跟馳現象（不一定為車隊啟動過程或剎車過程），如果跟馳車輛的初始速

9、度和最終速度分別為和，那么有(412)式中：跟馳車輛的加速度。從方程（410）我們得到也即(413)式中：、分別為頭車和跟馳車輛的速度；車頭間距變化量。時，車頭間距以非波動形式變化，從式(413)可知車速從變為時其變化量為。如果頭車停車，則最終速度，車頭間距的總變化量為，因此跟馳車輛為了不發生碰撞，車間距離最小值必須為，相應的車頭間距為（為車輛長度）。為了使車頭間距盡可能小，應取盡可能大的值，其理想值為。二、漸進穩定性在討論了方程（410）所示線性跟馳模型的局部穩定性之后，下面通過分析一列運行的車隊（頭車除外）來討論其漸進穩定性。描述一列長度為的車隊的方程為（假設車隊中各駕駛員反應強度系數值相

10、同）： 1,2,3,， (414)無論車頭間距為何初始值，如果發生增幅波動，那么在車隊后部的某一位置必定發生碰撞，方程（414）的數值解可以確定碰撞發生的位置。下面我們分析判斷波動是增幅還是衰減的標準，也即漸進穩定性標準。根據研究，一列行駛的車隊僅當）時才是漸進穩定的，即車隊中車輛波動的振幅呈衰減趨勢。漸進穩定性的判定標準把兩個參數確定的區域分成了穩定和不穩定兩部分，如圖45所示。由此可知，保證局部穩定性的同時也確保了漸進穩定性。穩定不穩定（s-1）反應時間（s）0圖45 漸進穩定性區域為了說明車隊的漸進穩定性，下面我們通過圖示給出兩組利用計算機模擬得到的數值計算結果。圖46給出了一列8輛車組

11、成的車隊中相鄰車輛車頭間距與時間的關系，分別取。頭車的初始波動方式與圖43所示情況相同，即先緩慢減速再加速至初始速度(加速度絕對值相等)，因此加速度對時間的積分為零。時車頭間距均為21m。第一種情況0.368()，為非波動狀態。第二種情況0.5 （即漸進穩定性的限值），此時出現高阻尼波動，這說明即使是在漸近穩定性標準的極限處，波動振幅也將隨著波動在車隊的傳播而衰減，即波動被阻尼。第三種情況0.75，圖中很好地說明了波動的不穩定性。時間 (s)車頭間距(m)20181614201816141220181614120 5 10 15 20 25 30 35 401-23-45-67-81-23-4

12、5-67-81-23-45-6圖46 線性跟馳模型車隊中車頭間距隨時間的變化圖47中（0.80）給出了9輛車組成的車隊中每一輛車的運動軌跡，采用的坐標系是移動坐標系，坐標原點的速度與車隊的初始速度一致。時，所有的車輛都以速度行駛，車頭間距均為12m。頭車在時開始以4km/h/sec的減速度減速2s，速度從變成8km/h，之后又加速至原速度。0.80，所以頭車的這種速度波動將在車隊中不穩定地傳播。從圖中可以看到，在頭車發生第一次波動后大約24s時，第7輛與第8輛車之間的車間距離變為零，即車頭間距等于車輛長度，此時即發生碰撞。26242220181614121086420-2時間（s）123456

13、789 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0車輛在移動坐標系中的位置（m） 圖47 9輛車車隊的漸進穩定性(C=0.80)三、次最近車輛的配合跟馳行駛的車輛除了受最近車輛（直接在其前面的車輛）的影響之外，還會受次最近車輛（在其前面的第二輛車）的影響，這種影響也可以列入模型中，那么跟馳模型可以寫成如下形式：(415)式中：、分別為跟馳車輛駕駛員對最近車輛和次最近車輛刺激的反應強度系數。為了確定次最近車輛的影響程度，研究人員專門做了三車跟馳實驗。通過對實驗結果的分析，認為在車輛跟馳行駛過程當中，只有最近車輛對跟馳車輛有明顯的影響，次最近車輛的影響可以忽略不計。第三節 穩

14、態流分析滿足局部穩定性和漸進穩定性要求，即不發生恒幅和增幅波動的交通流為穩態流。本節將利用單車道車輛跟馳模型討論穩態流的特性，針對不同的交通流狀態對跟馳模型進行必要的擴充和修正，并由此推導相應的速度間距（或速度密度）、流量密度關系式。一、線性跟馳模型分析為了討論方便，重寫式（410）如下：1,2,3,(416)運動過程中車隊將從一種穩定狀態進入另一種隨機穩定狀態，為了使兩種穩定狀態聯系起來，現假定在時每一輛車的速度為，車頭間距為。頭車在時速度開始改變（加速或減速），在一段時間后其最終速度變為。取，交通流是穩定的，因此車隊中每一輛車的速度最終都將達到速度。在速度由向轉變的同時，車頭間距也從變化到

15、,由式（413）得 (417)車頭間距是交通流密度的倒數，于是由方程（417）得到速度密度關系式：(418)由此可知，式(417)和(418)把一個穩定狀態和另外一個隨機穩定狀態聯系了起來，建立了包含車輛跟馳微觀參數在內的宏觀交通流變量之間的關系。對于停車流，,相應的車頭間距由車輛長度和車輛間的相對距離構成，通常稱為車輛的有效長度（或稱為停車安全距離），用表示。對應于的密度被稱作阻塞密度。給定，對于任意交通狀態，速度為，密度為，式(418)可寫為：(419)將此公式與單車道交通試驗觀測結果對比，如圖48，可以得出的估計值s-1。根據漸進穩定性標準：0.5，可以得出的上限約束為s。從式(419)

16、可以得到如下流量密度關系式： （420）由于模型是線性的，并不能很合理地描述交通流流量和密度這兩個基本參數的變化特征，圖49利用與圖48中相同的數據進行了說明。為了使結果更具客觀性，圖中應用的是標準化流量和標準化密度，直線為式（420）標準化后的圖示。所謂標準化，就是利用觀測或計算所得的絕對值與對應的最佳值（最大值）相比，得到其相對值。標準化流量即是用實際流量與最佳流量（最大流量）之比，標準化密度即是實際密度與最大密度（阻塞密度）之比。式（420）對流量和密度所要求的定性關系無法進行解釋，這引出了對線性跟馳模型的修改。u(km/h)k (veh/km)604530150602040801001

17、20140圖48 速度密度關系圖（最小二乘法擬合）圖49 標準流量與標準密度關系圖二、非線性跟馳模型分析線性跟馳模型假定駕駛員的反應強度與車間距離無關，即對給定的相對速度，不管車間距離小（如5或10m）還是大（如幾百米），反應強度都是相同的。實際上，對于給定的相對速度，駕駛員的反應強度應該隨車間距離的減小而增大，這是因為駕駛員在車輛間距較小的情況相對于車輛間距較大的情況更緊張，因而反應的強度也會較大。為了考慮這一因素，我們可以認為反應強度系數并非常量， 而是與車頭間距成反比的，由此得出如下的非線性跟馳模型。1車頭間距倒數模型這種模型認為反應強度系數與車頭間距成反比，即： (421)這里是一個新

18、參數，假定為常量。把式（421）帶入式（416）中，可得到如下的跟馳方程：1,2,3, (422)同前，我們假定這些參數是來自穩態流的。方程通過積分得到速度密度的如下關系： (423)及流量密度的關系： (424)由此可知時，車頭間距等于車輛的有效長度，即：。利用圖48和49中的數據，結合交通流參數的穩態關系式（式（423）和式（424）我們可以得到圖410和411。用最小二乘法對數據進行擬合，得到和的值分別為27.7km/h和142veh/km。經推導，密度為時流量最大，為，該最大流量即為通行能力，代入可得此條件下的通行能力近似為1400veh/h。u(km/h)k (veh/km)6045

19、3015020406080100120圖410 速度密度關系圖（最小二乘法擬合） 圖411 標準流量與標準密度關系圖（參數由圖410擬合）分析式（424），在時正切值趨于無窮大（從圖411也能看出），這是不合理的。實際上，低密度情況下的車頭間距很大，車輛間的跟馳現象已變得很微弱。除了上述對模型的修改形式以外，我們還可以做另一種修改。分析駕駛員的反應過程，其反應強度除和車頭間距有關外，還應與車輛速度有關，高速時的反應強度應該比低速時大，這同樣是由于速度高時駕駛員的緊張程度也高，反應強度自然也大，由此得到如下的跟馳模型。2. 正比于速度的間距平方倒數模型對反應強度系數作如下修改：為新參數，假定為常

20、量。于是跟馳模型變為如下形式：1,2,3,(425)利用車頭間距和密度的倒數關系對此式積分，如果最大流量時的速度（最佳速度）取為,則系數為，相應地我們可以得到如下的穩態方程： (426)和 (427)式中是自由流速度，即密度趨于零時的速度，是最大流量時的密度（最佳密度）。為了更完整地說明交通流速度在低密度下與車輛密度大小無關，速度密度關系可以寫成如下形式： 當時 (428)和 當時 (429)其中是車輛間剛要產生影響時的密度，超過此值交通流速度將隨著密度的增加而減小。如果假定影響剛發生時的間距為120m，那么的值近似為8veh/km。描述速度密度關系的經驗模型：格林希爾治線性模型，就可以近似地

21、表示這種關系。格林希爾治線性模型為： (430)式中：自由流車速；阻塞密度。式（430）可以寫成如下形式： (431)對兩邊求導可得： (432)對第（）輛車引入反應時間之后：1,2,3, (433)反應強度系數為： (434)總結上述的各種跟馳理論方程（包括線性模型），可以得到如下的通式： (435)其中的反應強度系數取以下幾種形式：1）常數，；2）反比于車頭間距，；3）正比于車速、反比于車頭間距的平方，；4）反比于車頭間距的平方，。反應強度系數可以看作下述一般形式的具體化： (436)這里的是常數,由實驗確定，、為指數且、。就穩態流而言，式（435）和式（436）給出了跟馳模型的基本形式。

22、三、交通流基本參數關系式的一般表示將方程（435）對時間積分，取式(436)的形式，可以得到： (437)式中：,積分常數；交通流的穩態速度；穩態車頭間距。可由下式確定（或）：時， (438)時， (439)積分常數的確定依賴于具體的和值（，），而且與兩個邊界條件：（1）時，；（2）時，的滿足情況有關（各參數含義同前），下面分幾種情況進行討論。（1），的情況，兩邊界條件均滿足，積分常數、的值可由下式求得： (440)（2），的情況，僅滿足第一個邊界條件，可得到積分常數的值如下： (441)積分常數的值可以通過具體實驗數據擬合求得。（3），的情況，僅滿足第二個邊界條件，可以得到積分常數、具有如下

23、關系： (442)同樣、的值可以利用具體實驗數據通過擬合求得。 （4），的情況，兩邊界條件均不滿足，積分常數、的值只能通過具體實驗數據擬合求得。利用式（437）、（438）、（439）、（440）、（441）、（442）以及穩態流的特性，可以得到速度、密度和流量之間的關系。圖412、413包含了一些不同、值對應的流量密度關系曲線，其中的參數通過和進行了標準化。120圖412 標準流量與標準密度關系圖（利用式（434）和（435）,m=0）l=1l=3l=2m=100.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.2 qnkn0圖413 標準流量與標準密度關系圖

24、（利用式（434）和（435）,m = 1）從圖中可以看到，這些模型大部分與穩態流的定性描述相一致，只要模型參數選擇適當，基本上可以用來擬合圖48的數據。式（435）和（436）所給的跟馳模型的一般形式中，、不一定必須取整數值，也可以取非整數值，例如曾經有人提出過0.8、2.8的模型。實際上在早期的對穩態流和車輛跟馳現象的研究中，各種各樣的和值都得到過。四、跟馳理論的不足以及相應的新研究方向在先前所有的討論中，我們都假定駕駛員對于同一刺激采取相同的比率加速和減速，即加速度的絕對值相等。但是，這一假設是不符合實際的，大多數車輛的減速性能要比加速性能強，而且在交通比較擁擠時，跟馳車輛的駕駛員對前車

25、減速的反應強度要比加速的反應強度大一些，這是出于行車安全的考慮。因此，對應于前面車輛的加速或減速刺激，即相對速度是正還是負或者車頭間距是增大還是減小，跟馳車輛的反應具有不對稱性。為了在跟馳模型中反映出這種不對稱性，我們可以把跟馳理論的基礎模型改寫成如下形式： (443)其中或，取決于相對速度是正還是負或者車頭間距是增大還是減小。經研究發現，的平均值要比高大約10%，這使得在利用跟馳理論解釋跟馳現象時產生了一個特殊的困難，即在頭車加速至較高速度再減速至初始速度的循環過程中，不對稱性將阻止車輛減速至原來的速度。次循環后，車頭間距將增大到一定值以至于一部分車輛從車隊中漂移。為了解決這一困難，可以在模

26、型中加一項松弛項，以考慮這種不對稱性。遺憾的是，到目前為止還沒有這方面的成型理論，對此尚需進一步的研究和探討。除此之外，跟馳理論還有一些不足。我們上面通過對穩態流分析，對跟馳理論的模型不斷進行修正和擴充，以使模型適合于各種不同的交通狀況。但是經過近幾年的實驗和進一步研究發現，流量密度曲線在接近最大流的地方有明顯的間斷，流量突然下降。這說明流量密度曲線具有不連續性，而以前的研究認為該曲線是連續的，并沒有發現這一問題。針對這一情況，現在有人提出了一種全新理論：突變理論。這種理論與傳統跟馳理論的建模方法完全不同，該理論中第一次提出可以用“交點突變”的思想來解釋和描述交通流參數的上述不連續性，有望解決

27、傳統跟馳理論的不足。初步的研究表明，這一理論應用于交通流分析具備可行性。隨著科技的發展，道路和車輛技術水平也在不斷提高。為了進一步提高道路的利用率和通行能力，現在又提出了智能化公路和車輛自動駕駛的設想方案，并在做一些試驗性的研究和探索。所謂智能化公路和車輛自動駕駛，就是在道路上開設裝有導向設備（如導向槽）的專門車道，車輛在配有特殊裝置的情況下可以進入該車道進行自動行駛，無需駕駛員手工操縱。車輛也可以隨意離開該車道進入普通車道，由駕駛員手工駕駛車輛行駛。傳統的跟馳理論都是基于駕駛員手工操縱車輛進行的研究，如果智能化公路和車輛自動駕駛技術在實用領域取得突破性進展，那么必將導致跟馳理論新的研究領域和

28、發展方向。目前，智能化公路與車輛自動駕駛技術的研究還處于實驗室階段，但也取得了一些可喜成果，其應用前景是十分樂觀的。第四節 加速度干擾本節簡單介紹一下關于加速度干擾的問題。分析駕駛員在路上的行車過程，任何人都不會始終維持某一速度恒定不變，而是在一定速度范圍內變化或擺動。交通量較小時駕駛員也會出現這種現象；交通量較大時雖然跟馳現象十分明顯，但是由于受交通控制信號的影響，車輛速度更會出現擺動。加速度干擾就是對車輛速度擺動的描述，車速擺動還涉及到乘車舒適性的問題，加速度干擾可以作為一個定量評價指標。一、加速度干擾的計算車輛速度擺動的大小可用加速度對平均加速度的標準差來表示，我們稱為加速度干擾，單位與

29、加速度的單位一致，其公式如下：（444）式中： 觀測總時間；時刻加速度；平均加速度。如果假定平均加速度為0，那么加速度干擾的公式變成如下形式：（445）式中參數含義同上。如果加速度的觀測以連續的時間間隔來取樣，那么相應的計算公式如下：（446）各參數含義同上。相應地如果平均加速度為0，則變為如下形式：（447）參數含義同上。下面來推導加速度干擾計算的實用公式，實際應用中一般采用如下公式形式：（448）式中：第觀測時間段的加速度（認為各小時間段內加速度值相等）；第觀測時間段長。其余參數含義同上，將此式進行如下變換：（449）這里為第觀測時間段的速度，相應地：（450）而所以有（451）將式（451）代入式（450），并且利用,有：（452）將此式代入式（449）得到：（453）式中：觀測總時段的末速度；觀測總時段的初速度；速度的等分間距，。此式適合于用坐標紙對速度和加速度觀測值進行繪圖計算。二、加速度干擾的影響因素加速度干擾主要受三個因素的影響：駕駛員、道路和交通狀況。可以想見，一個魯莽的駕駛員比一個穩重的駕駛員對車速變換的次數要多，其加速度干擾也就相對要大；一條狹窄彎曲