1、4.1不定積分*基本積分表*基本積分法：利用基本積分表。4.2換元積分法一、第一換元積分法(湊微分法)g (x) (x)dx g(u)du F(u) C F (x) C.二、常用湊微分公式積分類型換兀公式1.1f (ax b)dxaf (ax b)d(ax b) (a 0)uax b2.f (x )x 1dx -f(x )d(x ) (0)ux3.1 f (l n x) dxxf (In x)d(ln x)uIn x第4.f (ex) exdxf (ex)dexux e換5.f (ax) axdxf (ax)daxIn aux a元6.f (sinx) cosxdxf (sin x)dsin

2、xusin x積分法7.f (cosx) sin xdxf (cosx)d cosxucosx8.2f (tan x) sec xdxf (tanx)d tanxutanx9.2f (cot x) csc xdxf (cot x)d cotxucotx10.1f (arcta nx)1 x2 dxf (arctanx)d (arctanx)uarcta nx11.1t (arcsin x)<1dxt (arcsin x) d (arcsin x)xuarcs inx三、第二換元法f(x)dx f (t) (t)dt F(t) C F (x) C,注：以上幾例所使用的均為三角代換,三角代換

3、的目的是化掉根式，其一般規(guī)律如下當(dāng)被積函數(shù)中含有a).a2x2,可令 x asint;b)x2a2,可令xata nt;c)x2a2,可令 xa sect.當(dāng)有理分式函數(shù)中分母的階較高時，常采用倒代換x 1.t四、積分表續(xù)4.3分部積分法分部積分公式：udv uvvdu(3.1)uv dx uvu vdx(3.2)分部積分法實(shí)質(zhì)上就是求兩函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù) 積函數(shù)常考慮應(yīng)用分部積分法(其中m,(或微分)的逆運(yùn)算.一般地，下列類型的被 n都是正整數(shù)).n .x sinmxnx cosmxnxe sin mxnxe cosmxn mxx enx arcsinmxxn(l nx)xn arccosmxx

4、n arctanmx等.5.1定積分的概念5.2定積分的性質(zhì)兩點(diǎn)補(bǔ)充規(guī)定:(a)當(dāng) af (x)dx 0; (b)當(dāng)abaf (x)dx f (x)dx .ab性質(zhì)bf(x)ag(x)dxbf(x)dxabg(x)dx.a性質(zhì)bkf (x)dxabk f (x)dx,a(k為常數(shù)).性質(zhì)bf(x)dxacf (x)dxabf (x)dx.cdx、bg(x)dx,a(a b).性質(zhì)5若在區(qū)間a,b上有f(x) g(x),貝U f(x)dxab推論 1 若在區(qū)間a,b上 f (x) 0,貝Uf (x)dx 0, (a b).ab推論 2 f (x)dxaI f(x)|dxa(ab).性質(zhì)6 (估值

5、定理)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值及最小值，則bm(b a) f (x)dx M (b a).a性質(zhì)7 (定積分中值定理)如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在a,b上至少存在 個點(diǎn)，使bf(x)dx f ( )(b a), (a b).5.3微積分的基本公式引例x二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) ： (x) f (t)dt a定理2若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數(shù)x(x) f(t)dta就是f (x)在a,b上的一個原函數(shù).三、牛頓萊布尼茲公式定理3若函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上的一個原函數(shù)，則b(3.6)f(x)dx F(b) F(a). a公

6、式 (3.4)稱為 牛頓萊布尼茨公式 .5.4 定積分的換元法積分法和分部積分法一、定積分換元積分法定理1設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù) 屈數(shù)x (t)滿足條件:(1) ( ) a, ( ) b, 且 a (t) b ；(2) (t)在,(或,)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有f (x)dxaf (t) (t)dt .(4.1). 但是 ,在應(yīng)用定積分的換元公式時應(yīng)( 2) 求出 f (t)(t) 的一個原函數(shù)(t) 后,不必象計(jì)算不定積分那樣再把原變量x的函數(shù),而只要把新變量t的上、下限分別代入(t )然后相減就行了二、 定積分的分部積分法b udv abuvbavdua或buv dx auvbab

7、 vudx a5.5 廣義積分一、 無窮限的廣義積分f(x)dxaF(x)|aF() F(a)bf (x)dxF(x)|bF(b)F( )f (x)dxF(x)|F() F()二、 無界函數(shù)的廣義積分bf (x)dxablim0af (x)dxbf (x)dxablim f (x)dx.0a(t) 把變量 x 換成新變量 t 時, 積分限也要換成相應(yīng)于新變量 t 的積分限 ,且 , 下限對應(yīng)于下限；公式(4. 1 )稱為定積分的 換元公式 . 定積分的換元公式與不定積分的換元公式很類似 注意以下兩點(diǎn):( 1)用 x上限對應(yīng)于上限(t)變換成5.6 定積分的幾何應(yīng)用一、微元法定積分的所有應(yīng)用問題

8、，一般總可按“分割、求和、取極限”三個步驟把所求的量表 示為定積分的形式可以抽象出在應(yīng)用學(xué)科中廣泛采用的將所求量U (總量)表示為定積分的方法一一 微元法，這個方法的主要步驟如下：(1)由分割寫出微元根據(jù)具體問題，選取一個積分變量，例如X為積分變量，并確定它的變化區(qū)間a,b，任取a,b的一個區(qū)間微元x,x dx，求出相應(yīng)于這個區(qū)間微元上部分量 U的近似值，即求出所求總量U的微元dU f (x)dx ；(2)由微元寫出積分 根據(jù)dUf(x)dx寫出表示總量U的定積分bbU dU f (x)dxaa微元法在幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)等應(yīng)用領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)和下一節(jié)主要介紹微元法在幾何學(xué)

9、與經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用應(yīng)用微元法解決實(shí)際問題時，應(yīng)注意如下兩點(diǎn)：(1) 所求總量U關(guān)于區(qū)間a,b應(yīng)具有可加性，即如果把區(qū)間a,b分成許多部分區(qū)間，則U相應(yīng)地分成許多部分量，而U等于所有部分量U之和這一要由定積分概念本身所決定的；(2) 使用微元法的關(guān)鍵是正確給出部分量 U的近似表達(dá)式f(x)dx，即使得f(x)dx dU U .在通常情況下，要檢驗(yàn) U f(x)dx是否為dx的高階無窮小并非易 事，因此，在實(shí)際應(yīng)用要注意dU f(x)dx的合理性.二、平面圖形的面積(1) 直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積(2) 極坐標(biāo)系下平面圖形的面積1 2曲邊扇形的面積微元 dA r( )2d1 2所求曲邊扇形的面積

10、A ( )2d .2三、旋轉(zhuǎn)體：由一個平面圖形繞這平面一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體.這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.旋轉(zhuǎn)體的體積微元dV f (x)2dx,b2所求旋轉(zhuǎn)體的體積 V f (x) dx.a四、平行截面面積為已知的立體的體積：如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計(jì)算體積微元 dV A(x)dx,b所求立體的體積V A(x)dx.a5.7積分在經(jīng)濟(jì)分析的應(yīng)用6.1空間解析幾何簡介 一、空間直角坐標(biāo)系在平面解析幾何中，我們建立了平面直角坐標(biāo)系，并通過平面直角坐標(biāo)系，把平面上的點(diǎn)與有序數(shù)組(即點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y)對應(yīng)起來.同樣

11、，為了把空間的任一點(diǎn)與有序數(shù)組對應(yīng)起 來，我們來建立 空間直角坐標(biāo)系.過空間一定點(diǎn) 0,作三條相互垂直的數(shù)軸，依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)，統(tǒng)稱為 坐標(biāo)軸.它們構(gòu)成一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz (圖6-1-1).空間直角坐標(biāo)系有右手系和左手系兩種.我們通常采用右手系.二、空間兩點(diǎn)間的距離| M iM 2 |(X2 xi)2 ( y2 yi)2 (z2 zi )2 .三曲面及其方程定義1在空間直角坐標(biāo)系中，如果曲面S上任一點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程F(x, y,z) 0，而不在曲面S上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足該方程，貝U方程F(x,y,z) 0稱為曲面S的方程，而曲面S就稱為方程F(x,y

12、,z) 0的圖形空間曲面研究的兩個基本問題是：(1) 已知曲面上的點(diǎn)所滿足的幾何條件，建立曲面的方程；(2) 已知曲面方程，研究曲面的幾何形狀.平面平面是空間中最簡單而且最重要的曲面.可以證明空間中任一平面都可以用三元一次方程Ax By Cz D 0(1.3)來表示，反之亦然.其中A、B、C、D是不全為零常數(shù).方程(1.3)稱為平面的一般方程. 柱面定義2平行于某定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的軌跡稱為 柱面.這條定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線，動直線L稱為柱面的 母線.二次曲面在空間直角坐標(biāo)系中，我們采用一系列平行于坐標(biāo)面的平面去截割曲面，從而得到平 面與曲面一系列的交線(即截痕)，通過綜合分

13、析這些截痕的形狀和性質(zhì)來認(rèn)識曲面形狀的 全貌.這種研究曲面的方法稱為平面截割法，簡稱為 截痕法.2x 橢球面務(wù)a22yz.22bc1 (a 0,b0,c 0)(1.4)橢圓拋物面2 x z2y_(p與q同號)2p2q雙曲拋物面2 22p 2q z( p與q同號)222Xyz.2abc222Xyz222abc單葉雙曲面雙葉雙曲面(a 0,b 0,c 0)1 (a 0,b0,c 0)222.次錐面xyz222 0 (a 0,b 0,c 0)abc6.2多元函數(shù)的基本概念一、平面區(qū)域的概念：點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、開集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域二、二元函數(shù)的概念定義1設(shè)D是平面上的一個非空點(diǎn)集，如果對于D的任

14、一點(diǎn)(x,y)，按照某種法則f， 都有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對應(yīng)，則稱 f是D上的二元函數(shù)，它在 (x,y)處的函數(shù)值記為f (x, y)，即z f (x, y)，其中x，y稱為自變量，z稱為因變量點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的 定義 域，數(shù)集z|z f (x, y), (x, y) D稱為該函數(shù)的 值域類似地，可定義三元及三元以上函數(shù)當(dāng)n 2時,n元函數(shù)統(tǒng)稱為 多元函數(shù)二元函數(shù)的幾何意義三、二元函數(shù)的極限定義2設(shè)函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)P°(X0,y。)的某一去心鄰域有定義，如果當(dāng)點(diǎn)P(x, y)無限趨于點(diǎn)P°(x0,y°)時，函數(shù)f(x, y)無限趨于一個常數(shù) A，則稱

15、A為函數(shù)z f(x,y)當(dāng)(x,y)(x°,y°)時的極限記為lim f (x, y) A x xqy yo或f(x, y) A ( (x, y)(Xq。)也記作lim f (P) A 或 f (P) A (PPo)p f二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限具有相同的性質(zhì)和運(yùn)算法則，在此不再詳述為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們稱二元函數(shù)的極限為二重極限四、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)二元函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(X。，yo)的某一鄰域有定義，如果lim f (x, y) f(Xo,y°),x xqy yo則稱z f (x,y)在點(diǎn)(Xo,y。)處連續(xù)如果函數(shù)z f(x,

16、y)在點(diǎn)(x。)處不連續(xù)，則稱函數(shù)z f(x,y)在(X0,y。)處間斷.與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算后仍為二元連續(xù)函數(shù) y的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的可用一個式子表示的二元函數(shù)稱 為二元初等函數(shù).一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域是連續(xù)的.這里定義區(qū)域是指包含在定義域的區(qū)域或閉區(qū)域.利用這個結(jié)論，當(dāng)要求某個二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域一點(diǎn)的極限時， 只要算出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可.特別地，在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)的二元函數(shù)也有類似于一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上所滿 足的定理.下面我們不加證明地列出這些定理.定理1 (最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域 D上的二元連續(xù)函數(shù)

17、，在D上至少取得 它的最大值和最小值各一次定理2 (有界性定理)在有界閉區(qū)域 D上的二元連續(xù)函數(shù)在 D上一定有界定理3(介值定理)在有界閉區(qū)域 D上的二元連續(xù)函數(shù)，若在D上取得兩個不同的函數(shù) 值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次6.3偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法定義1設(shè)函數(shù)zf (X, y)在點(diǎn)(Xo，yo)的某一鄰域有定義當(dāng)y固定在yo而X在X0處有增量 x時，相應(yīng)地函數(shù)有增量f (xox, yo)f (xo, yo),如果lim f(Xo_一f(Xo,yo)存在，則稱此極限為函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(xo, yo)處X ox對x的偏導(dǎo)數(shù)，記為zX X冷 y yoXo y

18、ozxXXofx(xo, yo).例如，有fx(Xo,yo)lim f(xox, y。) f(xo,y。)x o類似地，函數(shù)z f (X, y)在點(diǎn)(Xo, yo)處對y的偏導(dǎo)數(shù)為y) f(x°,y°)y記為zyxXoyoyxZyXoyoX Xo y y。fy(Xo,yo).上述定義表明，在求多元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)時，只需把其余自變量看作常數(shù)，然后直接利用一元函數(shù)的求導(dǎo)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來計(jì)算之二、關(guān)于多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，補(bǔ)充以下幾點(diǎn)說明：(1)對一元函數(shù)而言，導(dǎo)數(shù)dy可看作函數(shù)的微分 dy與自變量的微分dx的商但偏導(dǎo) dx數(shù)的記號上是一個整體x(2) 與一元函數(shù)類

19、似，對于分段函數(shù)在分段點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)要利用偏導(dǎo)數(shù)的定義來求(3) 在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們知道，如果函數(shù)在某點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，則它在該點(diǎn)必定連 續(xù)但對多元函數(shù)而言，即使函數(shù)的各個偏導(dǎo)數(shù)存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)例如，二元函數(shù)f (x, y)xy2 2x y(x, y) (0,0)0,(x,y) (0,0)在點(diǎn)(0,0)的偏導(dǎo)數(shù)為fx(0,0)lirfx 0x,0)f(0,0)xfy(0,0)y) f(0,0)y0lim 0.x 0 y但從上節(jié)例5已經(jīng)知道這函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù)三、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)曲面的方程為z f (x,y)，M°(x°, y。，f(x。，y。)是該曲面上

20、一點(diǎn)，過點(diǎn)M。作平面 y y°,截此曲面得一條曲線，其方程為z f(x, y°)y y0則偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0)表示上述曲線在點(diǎn) M0處的切線M0Tx對x軸正向的斜率(圖6-3-1).同 理，偏導(dǎo)數(shù)fy(x°,y°)就是曲面被平面x x°所截得的曲線在點(diǎn) M°處的切線M°Ty對y軸 正向的斜率四、偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義設(shè)某產(chǎn)品的需求量 Q Q(p, y),其中p為該產(chǎn)品的價格,y為消費(fèi)者收入.記需求量Q對于價格p、消費(fèi)者收入y的偏改變量分別為pQ Q(p p, y) Q(p, y),和yQ Q(p,y y) Q(p,y).易見，

21、-表示Q對價格p由p變到pp的平均變化率.而表示當(dāng)價格為P、消費(fèi)者收入為EpHpmopQi0 pQ對于pQ/Qp/ p為需求Q對價格p的偏彈性.同理，表示Q對收入y由y變到y(tǒng)yy的平均變化率.而表示當(dāng)價格p、消費(fèi)者收入為y時,Q對于y的變化率稱Ey lim 衛(wèi)竺y 0 y/y為需求Q對收入y的偏彈性.五、科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)在商業(yè)與經(jīng)濟(jì)中經(jīng)常考慮的一個生產(chǎn)模型是p(x, y) cxay1 a, c 0且0其中p是由x個人力單位和y個資本單位生產(chǎn)處的產(chǎn)品數(shù)量(資本是機(jī)器、場地、生 產(chǎn)工具和其它用品的成本)。偏導(dǎo)數(shù)p和丄 y分別稱為人力的邊際生產(chǎn)力六、高階偏導(dǎo)數(shù)和資本的邊際

22、生產(chǎn)力。設(shè)函數(shù)z f (x, y)在區(qū)域D具有偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y), fy(x, y),xy則在D fx(x,y)和fy(x, y)都是x、y的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則稱它們是2z函數(shù)z f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對變量求導(dǎo)次序的不同，共有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù):fxx(x, y),fxy(x,y),y x x yx y yxfyx(x,y), -y2fyy(x, y),y其中第二、第三兩個偏導(dǎo)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)類似地，可以定義三階、四階、 以及n階偏導(dǎo)數(shù).我們把二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)定理1如果函數(shù)zf(x,y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)2 2及一-在區(qū)域D連續(xù)，則在 y x

23、 x y2z該區(qū)域有y x2z6.4全微分一、微分的定義定義1如果函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x,y)的全增量f (x x, yy)f(x,y)可以表示為By o(),(4.2)其中A,B不依賴于x, y而僅與x, y有關(guān),.(x)2( y)2,則稱函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分，A x B y稱為函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分，記為dz,即dz A x B y.(4.3)若函數(shù)在區(qū)域 D各點(diǎn)處可微分，則稱這函數(shù) 在D可微分.二、函數(shù)可微的條件定理1 (必要條件)如果函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(x, y)處可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)(x, y)的偏導(dǎo)數(shù),必存在，且z

24、 f (x, y)在點(diǎn)(x, y)處的全微分x ydzxy.(4.4)x y我們知道，一元函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)是在該點(diǎn)可微的充分必要條件.但對于多元函數(shù)則不然定理1的結(jié)論表明，二元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件由此可見，對于多元函數(shù)而言，偏導(dǎo)數(shù)存在并不一定可微.因?yàn)楹瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)僅描述了函數(shù)在一點(diǎn)處沿坐標(biāo)軸的變化率，而全微分描述了函數(shù)沿各個方向的變化情況.但如果對偏導(dǎo)數(shù)再加些條件，就可以保證函數(shù)的可微性.一般地，我們有：定理2 (充分條件)如果函數(shù)z f (x, y)的偏導(dǎo)數(shù),在點(diǎn)(x, y)連續(xù)，則函數(shù)在該x y點(diǎn)處可微分.三、微分的計(jì)算習(xí)慣上，常將自變量的增量x、y分別記

25、為dx、dy，并分別稱為自變量的微分.這樣，函數(shù)z f (x, y)的全微分就表為dz dx dy.(4.5)x y上述關(guān)于二元函數(shù)全微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)中去.例如，三元函數(shù)u f(x,y,z)的全微分可表為du dx dy dz.(4.6)x y z四、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用x|,|y |都較小時，則根據(jù)全微分定義，有fy(x, y)連續(xù)，且f (x x, yz dzfx(x, y) x fy(x, y) y.y) f (x, y)，即可得到二元函數(shù)的全微分近似計(jì)算公式f(xx, y y) f (x, y)fx(x, y) xfy(x, y

26、) y (4.7)6.5復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法一、多元復(fù)合函數(shù)微分法1.復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形設(shè)函數(shù)z f (u,v),u u(t) ,v v(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)zfu(t),v(t)dz z du z dv dtu dtv dt公式(5.1)中的導(dǎo)數(shù) 空 稱為全導(dǎo)數(shù).dt2、復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形(5.1)設(shè) z f(u,v), u u(x,y), v v(x, y)構(gòu)成復(fù)合函數(shù) zfu(x,y), v(x, y),(5.3)設(shè)二元函數(shù)z f(x, y)在點(diǎn)P(x, y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y),(5.4)y u y v y3、復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元也有為

27、多元函數(shù)的情形定理3如果函數(shù)u u(x, y)在點(diǎn)(x,y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)v v(y)在點(diǎn)y可導(dǎo)，函數(shù)zf(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z fu(x,y), v(y)在對應(yīng)點(diǎn)(x, y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且有(5.7)zz uz dv(5.8)yu yv dy注：這里一z與丄是不同的,x x是把復(fù)合函數(shù)zxf u(x, y), x, y中的y看作不變而對x的偏導(dǎo)數(shù)，丄是把函數(shù)z f (u, x, y)中的u及y看作不變而對x的偏導(dǎo)數(shù)一z與一xy y也有類似的區(qū)別.在多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)中，為了簡便起見，常采用以下記號：2f f (u,v) f f(u,v)

28、f f (u,v)f 1 , f2 , f12 ,uvu v這里下標(biāo)1表示對第一個變量 u求偏導(dǎo)數(shù)，下標(biāo) 2表示對第二個變量 v求偏導(dǎo)數(shù)，同理有等等.二、全微分形式的不變性根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，可得到重要的 全微分形式不變性以二元函數(shù)為例，設(shè)zf (u,v), u1 u(x, y), vv(x,y)是可微函數(shù)，則由全微分定義和鏈?zhǔn)椒▌t，有zzz uz v ,z uz v ,dzdxdydxdyxyu xv xu y v yzuuz vvdxdydxdyuxyv xy-du dv.u v由此可見，盡管現(xiàn)在的 u、v是中間變量，但全微分 dz與x、y是自變量時的表達(dá)式在形式上完全一致這個性質(zhì)

29、稱為 全微分形式不變性適當(dāng)應(yīng)用這個性質(zhì)，會收到很好的效果三、隱函數(shù)微分法在一元微分學(xué)中，我們曾引入了隱函數(shù)的概念，并介紹了不經(jīng)過顯化而直接由方程(5.11)F(x,y) 0來求它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.這里將進(jìn)一步從理論上闡明隱函數(shù)的存在性， 并通過 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t建立隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，給出一套所謂的“隱式”求導(dǎo)法.定理4設(shè)函數(shù)F（x, y）在點(diǎn)P（x0,y。）的某一鄰域具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且Fy（x0,y0） 0, F（Xo,yo） 0,貝U方程F（x,y） 0在點(diǎn)P（Xo,y。）的某一鄰域恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y f（x）,它滿足y。f（x。），并有(5.1

30、2)dy F dX Fy定理5設(shè)函數(shù)F （x, y, z）在點(diǎn)P（ X0, y°,z°）的某一鄰域有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(X0,y0,Z0)0,Fz(X0,y0,z0) 0,則方程F （x, y, z） 0在點(diǎn)P（x0, y。,z。）的某一鄰域恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z f （x, y）,它滿足條件Z0f (x0 , y0)，并有Fz(5.14)zFxxFz'6.6多元函數(shù)的極值及求法一、二元函數(shù)極值的概念定義1設(shè)函數(shù)z f （x, y）在點(diǎn)（x°,y°）的某一鄰域有定義，對于該鄰域異于（X。，y。）的任意一點(diǎn)（x, y）,如果f

31、 (x, y)f(X0,y°),則稱函數(shù)在（X0,y°）有極大值；如果f (x, y)f(X0,y°),則稱函數(shù)在（x°,y。）有極小值；極大值、極小值統(tǒng)稱為 極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為 極值 占八、-定理1 （必要條件）設(shè)函數(shù)z f （x,y）在點(diǎn)（x°,y°）具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)（x°,y°）處有極值, 則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即fx(x0,y0) 0, fy(x0,y0) 0. (6.1)與一元函數(shù)的情形類似， 對于多元函數(shù)， 凡是能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的 駐點(diǎn) .定理2 (充分條件)設(shè)函數(shù)z

32、 f(x,y)在點(diǎn)(xo，y。)的某鄰域有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又 fx (x0,y0) 0, fy (x0,y0) 0.令fxx(x0,y0) A, fxy(x0,y0) B, fyy(x0,y0) C.(1) 當(dāng)ACB2 0時，函數(shù)f(x,y)在(xo, yo)處有極值，且當(dāng) A 0時有極小值 f(x0,y0)；A 0時有極大值 f(x0,y0) ；2(2) 當(dāng)AC B 0時，函數(shù)f(x,y)在(xo,yo)處沒有極值；2(3) 當(dāng)AC B2 0時，函數(shù)f(x, y)在(x°,y°)處可能有極值，也可能沒有極值.根據(jù)定理1與定理2,如果函數(shù)f (x, y)具有二階連續(xù)偏

33、導(dǎo)數(shù)，則求 z f (x, y)的極值的一般步驟為：第一步 解方程組fx(x,y) 0, fy(x, y) 0,求出f (x, y)的所有駐點(diǎn)；第二步 求出函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，依次確定各駐點(diǎn)處A、 B、 C的值，并根據(jù)2AC B的符號判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).最后求出函數(shù)f (x, y)在極值點(diǎn)處的極值二、二元函數(shù)的最大值與最小值求函數(shù) f(x, y )的最大值和最小值的一般步驟為 :(1) 求函數(shù)f (x, y)在D所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值；(2) 求f (x, y)在D的邊界上的最大值和最小值；( 3)將前兩步得到的所有函數(shù)值進(jìn)行比較, 其中最大者即為最大值 , 最小者即為最小值 在通常遇

34、到的實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，可以判斷出函數(shù)f(x, y)的最大值(最小值)一定在 D的部取得，而函數(shù) f (x, y)在D只有一個駐點(diǎn)，則可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù) 值就是函數(shù)f (x, y)在D上的最大值(最小值).三、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法前面所討論的極值問題, 對于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域, 并無其它限制條件,12其中i 表示第i 個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個i 上任取這類極值我們稱為 無條件極值 . 但在實(shí)際問題中， 常會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件的 的極值問題 . 對自變量有附加條件的極值稱為 條件極值 .拉格朗日乘數(shù)法設(shè)二元函數(shù)f(x, y)和(x, y)在

35、區(qū)域D有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求 z f(x, y)在D滿足條件 (x, y) 0 的極值問題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)L(x,y, ) f(x,y) (x,y)(其中 為某一常數(shù))的無條件極值問題 .于是，求函數(shù) z f(x,y) 在條件 (x,y) 0的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：(1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x, y, ) f(x,y) (x, y)其中 為某一常數(shù) ;(2) 由方程組Lx fx(x,y)x(x,y) 0,Ly fy(x,y)y(x,y) 0,L (x,y) 0解出 x,y, , 其中 x, y 就是所求條件極值的可能的極值點(diǎn) .注：拉格朗日乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條

36、件 , 因此按照這種方法求出來的點(diǎn)是否 為極值點(diǎn) , 還需要加以討論 . 不過在實(shí)際問題中 , 往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求 的點(diǎn)是不是極值點(diǎn) .拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形 :四、數(shù)學(xué)建模舉例6.7 二重積分的概念與性質(zhì)一、 二重積分的概念定義 1 設(shè) f (x,y) 是有界閉區(qū)域D 上的有界函數(shù) . 將閉區(qū)域 D 任意分成 n 個小閉區(qū)域一點(diǎn) ( i, i ), 作乘積f( i,i )i, (i1,2, ,n)并作和nf( i, i)i1如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時, 這和式的極限存在 , 則稱此極限為函數(shù)f (x,y)在閉區(qū)域D上的二重積

37、分，記為 f(x,y)d ,即f(x,y)dlim0f ( i, i ) i (7.2)D 0 i 1其中f(x, y)稱為被積函數(shù)，f(x, y)d稱為 被積表達(dá)式 , d 稱為 面積微元x和y稱為積n分變量 ，D 稱為 積分區(qū)域 ， 并稱 f( i ， i ) i 為積分和 . i1對二重積分定義的說明 :(1)如果二重積分f (x, y)d 存在，則稱函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上是可積的可以證D明，如果函數(shù)f (x, y)區(qū)域D上連續(xù)，則f (x,y)在區(qū)域D上是可積的今后，我們總假定被積函數(shù)f (x, y)在積分區(qū)域D上是連續(xù)的(2) 根據(jù)定義，如果函數(shù) f (x,y) 在區(qū)域 D 上可積，則二重積分的值與對積分區(qū)域的分 割方法無關(guān)，因此，在直角坐標(biāo)系中，常用平行于x軸和y軸的兩組直線來分割積分區(qū)域D，則除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域.設(shè)矩形閉區(qū)域i的邊長為 xi 和 yj ，于是 ixi yj . 故在直角坐標(biāo)系中，面積微元 d 可記為 dxdy.即 d dxdy .進(jìn)而把二重積分記為f(x, y)dxdy，這里我們把dxdy稱為直角坐標(biāo)系下的面積微元.D二、二