1、緒論1. 思考題1. 何為約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題 ?什么是無(wú)約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題 ?試各舉一例說(shuō)明。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 問(wèn)題多屬哪一類？2. 一般優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型包括哪些部分?寫出一般形式的數(shù)學(xué)模型。3. 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的過(guò)程是怎樣的 ?它與常規(guī)的機(jī)械設(shè)計(jì)有什么不同 ?4. 怎樣判斷所求得的最優(yōu)解是不是全局最優(yōu)解？5. 試簡(jiǎn)述優(yōu)化算法的迭代過(guò)程。6. 何為可行域？為什么說(shuō)當(dāng)存在等式約束則可行域?qū)⒋鬄榭s小?當(dāng)優(yōu)化問(wèn)題中有個(gè)等式約束時(shí)可行域是什么 ?當(dāng)優(yōu)化問(wèn)題中有兩個(gè)等式約束時(shí)可行域是什么?當(dāng) n 維優(yōu)化問(wèn)題中有 n 個(gè)等式約束時(shí)可行域是什么？7. 什么是內(nèi)點(diǎn)、什么是外點(diǎn) ?在優(yōu)化設(shè)計(jì)中內(nèi)點(diǎn)和外點(diǎn)都可以作為設(shè)計(jì)方

2、案嗎?為什么 ?8. 試寫出第一節(jié)中第三個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。9. 目標(biāo)函數(shù)及其等值線（等值面）的意義和特性是什么？2.習(xí)題1. 設(shè)計(jì)一容積為 V 的平底、無(wú)蓋圓柱形容器，要求消耗原材料最少，試建立其優(yōu)化設(shè)計(jì) 的數(shù)學(xué)模型，并指出屬于哪一類優(yōu)化問(wèn)題。2. 當(dāng)一個(gè)矩形無(wú)蓋油箱的外部總面積限定為S 時(shí)，怎樣設(shè)計(jì)可使油箱的容量最大？試列出這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并回答：屬于幾維的優(yōu)化問(wèn)題？是線性規(guī)劃還是非線性規(guī)劃？3. 欲造容積為 V 的長(zhǎng)方形無(wú)蓋水箱，問(wèn)應(yīng)如何選定其長(zhǎng)、寬、高尺寸，才能使用料消耗 最少？試寫出其數(shù)學(xué)模型。4. 試求直徑為 D 的圓內(nèi)所有內(nèi)接三角形面積中的最大值。5在曲面fl（Xl,X2,

3、X3）=0上找一點(diǎn) Pl,在曲面f2（Xl,X2,X3）=0上找一點(diǎn) P2，使得Pl與P2的 距離為最短，試建立優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。6有一薄鐵皮，寬 b=14cm，長(zhǎng)L=24cm，制成如圖2-9所示的梯形槽，求邊長(zhǎng) x和傾斜 角a為多大時(shí)，槽的容積最大？試寫出此問(wèn)題的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型并指出該問(wèn)題屬于哪一類的優(yōu) 化設(shè)計(jì)問(wèn)題。7欲制一批如圖 2-12所示的包裝紙箱，其頂和底由四邊延伸的折紙板組成。要求紙箱 的容積為2m3,問(wèn)如何確定a、b和c的尺寸，使所用的紙板最省。試寫出該優(yōu)化問(wèn)題的數(shù) 學(xué)模型。8根長(zhǎng)I的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形。問(wèn)應(yīng)以怎樣的比例截 斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之

4、和為最大，試寫出這一優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。9某廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品：A每桶需用煤90kN、電4度、勞動(dòng)日3個(gè)，獲利潤(rùn)700 元；B每桶需用煤40kN、電5度、勞動(dòng)日10個(gè)，獲利潤(rùn)1200元。但計(jì)劃規(guī)定可用煤 3600kN、 電200度、勞動(dòng)日300個(gè)，試問(wèn)A、B各生產(chǎn)多少桶時(shí)利潤(rùn)最大？列出其教學(xué)模型，并說(shuō)明 屬于何種數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題 ？10. 某廠生產(chǎn)兩種機(jī)器，兩種產(chǎn)品生產(chǎn)每臺(tái)所需鋼材分別為2噸和3噸，所需工時(shí)數(shù)分別為4千小時(shí)和8千小時(shí)，而產(chǎn)值分別為4萬(wàn)元和6萬(wàn)元。如果每月工廠能獲得的原材料為 100噸，總工時(shí)數(shù)為120千小時(shí)。現(xiàn)應(yīng)如何安排兩種機(jī)器的月產(chǎn)臺(tái)數(shù)，才能使月產(chǎn)值最高。 試寫出這一優(yōu)化問(wèn)題的

5、數(shù)學(xué)模型。11要將10米長(zhǎng)的鋼管截成3米和4米長(zhǎng)的各100根，要求設(shè)計(jì)出用料最省的下料方法。 試寫出其數(shù)學(xué)模型。12. 設(shè)計(jì)一個(gè)二級(jí)展開式漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪減速器，已知總傳動(dòng)比i = 20,高速級(jí)齒輪模數(shù)m1,2=2.5mm ,低速級(jí)齒輪模數(shù) m3,4=3mm ,要求減速器高速軸與低速軸間中心距a最小，試建立其優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并指出屬于哪一類優(yōu)化問(wèn)題。13. 設(shè)計(jì)一個(gè)展開式二級(jí)圓柱齒輪減速器，要求其高、低速軸間的中心距最小。已知總 傳動(dòng)比i=i1 x i2=4，齒輪齒數(shù)Z1=Z3，模數(shù)均為2.5mm，試建立其數(shù)學(xué)模型，并說(shuō)明屬于何種 數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題。14. 自行提出一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題，并建

6、立其數(shù)學(xué)模型。15. 如圖2-13所示，已知跨距為I、截面為矩形的簡(jiǎn)支架，其材料密度為 p許用彎曲應(yīng) 力為%，允許撓度為f，在梁的中點(diǎn)作用一集中載荷 P,梁的截面寬度 b不得小于bmin , 現(xiàn)要求設(shè)計(jì)此梁，使其質(zhì)量最輕試寫出其優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。圖ZI3藺2"16. 矩形截面簡(jiǎn)支梁，在跨距I的全部長(zhǎng)度內(nèi)受到均布載荷q,其材料密度為 p許用彎曲應(yīng)力為om。要求梁的寬度不小于bmin，最大撓度不大于Q。試寫出此梁重量最輕優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。17. 有一圓形等截面的銷軸，一端固定在機(jī)架上，另一端作用著集中載荷P和扭矩M ,其簡(jiǎn)化模型如圖2-14所示。由于結(jié)構(gòu)的需要，軸的長(zhǎng)度 I不得小于Im

7、in。已知銷軸材料的許 用彎曲應(yīng)力血和許用扭剪應(yīng)力T，允許撓度為f；設(shè)計(jì)材料的密度為 p和彈性模量為E。 現(xiàn)要求設(shè)計(jì)這根銷軸，在滿足使用要求下使其質(zhì)量為最輕，試寫出其優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。18. 試按質(zhì)量最輕的原則選擇平均半徑R和壁厚t，設(shè)計(jì)圖2-25所示的薄壁圓柱形容器，要求容積不小于 25.0m3,容器內(nèi)壓力p為3.5MPa，切向應(yīng)力ce不超過(guò)210Mpa，應(yīng)變量不 超過(guò)0.001。q- 7肥Okp/m'.E = SlOGFa.y = 0,J要求：(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型；(2)用圖解法求出最優(yōu)解。19. 三桿懸掛結(jié)構(gòu)(圖1-5)的材料已經(jīng)選定，其比重為p,彈性模量為E,許用拉應(yīng)力

8、為C。 此結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)載荷為 2p。試寫出其重量最輕優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。20. 平面桁架(圖1-6)由鋼管組成，承受載荷2p。鋼管的壁厚為t，桁架的跨度為2B。鋼 管的直徑d和桁架高度H可以選擇。桁架應(yīng)滿足強(qiáng)度和剛度的要求。試寫出其重量最輕優(yōu) 化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。21. 當(dāng)某試驗(yàn)參數(shù)a為1, 2, 3, 4, 5時(shí)，其對(duì)應(yīng)結(jié)果f(a)為3, 5, 4, 2, 1。試用一個(gè) 二項(xiàng)式p(a)=a2x1+ax2+x3，去逼近f(a)，求x1, x2, x3為多大時(shí)，使得當(dāng) a=2, 3, 4, 5時(shí)各 點(diǎn)誤差平方和為最小，且要求 a=1時(shí)，p(a)=f(a)。試寫出該問(wèn)題的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。22. 己知

9、兩個(gè)物理量x和y之間的依賴關(guān)系為a21a3 ln(1X a±)a5其中aia5為待定參數(shù)。為了確定這些參數(shù)的值，對(duì)x和y測(cè)得m個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)：(xi, yi),(X2,y2),，(Xm,ym)。試將確定參數(shù)的問(wèn)題表示成最優(yōu)化問(wèn)題。23. 有一個(gè)初始的設(shè)計(jì)電路，內(nèi)有 m個(gè)可調(diào)整的電阻。如圖 1-4所示。要求的響應(yīng)是電 路內(nèi)m個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓為給定的一組數(shù)，即Vl=VD1,V2=VD2,，Vn=VDn，而實(shí)際的響應(yīng)里每一'個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓都依賴于這 m個(gè)可調(diào)的電阻，示為Vi=Ui(Ri,R2,.,Rm), i=1n試建立優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。riip-i_j丄lU-J1十S3L . _圖4有和個(gè)可調(diào)電

10、齟的電路24. 某現(xiàn)象的理論公式為：F(t) Xi x?e X3t。透過(guò)實(shí)驗(yàn)已測(cè)得m個(gè)F(t)對(duì)應(yīng)于t的值。要求確定Xi、X2和X3三個(gè)參數(shù)，其中X3> 0，使理論公式與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差平方和為最小。試寫出這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。25. 熱敏電阻R= X1 exp 4 ，今測(cè)得溫度t與R的15組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。要求確定參數(shù)t X3X1、X2和X3使電阻R的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的均方差最小。試建立其數(shù)學(xué)模型。26. 已知一圓形截面懸臂梁，在其懸臂端作用一集中載荷P和一扭矩M，要求懸伸長(zhǎng)度L=ab,截面直徑 d=dod1。問(wèn)在滿足強(qiáng)度和剛度要求的條件下使所需材料最少，應(yīng)如何建 立該優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型？并示

11、出。27. 試畫出下列約束條件下，x=x1 x2t的可行域：(1) g1 (x)=X12+(X2-1)2-1 < 0g2(x)=(Xl-1)2+X22-1 < 0g3(x)=X1 + X2-1 < 0(2) g1 (x)=2x 1 + X2-6 < 0g2 (x)=-Xl < 0 g3(x)=-X2< 0g4(x)=X12+X22-16 < 028. 試畫出下列約束條件下X= X1 ,X2t的可行域，并說(shuō)明哪個(gè)是不起作用的約束。2(1) g1(x)=-X1 +X2> 0g2(x)=Xl-X2+3 > 0g3(x)=-X1-X2+8 >

12、 02 2(2) g1 (x)=X1+X2/2-3 > 0g2(x)=Xl > 0 g3(x)=X2> 0 h(x)=-X1 -X2 +16 > 029. 已知約束條件為2 2g1(x)=-Xl+X2-3 > 0g2(x)=-X1 -X2 +9 > 0試問(wèn)X1=2,-2T, X2=3,3 T, X3=-3,0t, X4=-1,1T等四點(diǎn)中有幾個(gè)可行點(diǎn)？并寫出可行點(diǎn)。30. 畫出滿足下列約束的可行域。g1(x)=48-3 X1 -2x2> 0g2(x)=18-x1-x20 g3(x)=X1> 0 g4(x)=X2> 031. 試將優(yōu)化問(wèn)題mi

13、n F(x) x12 x22 4x2 4x DR2D: g1(x) x1 x22 1 0g2(x) 3 x1 0g3(x)x20的目標(biāo)函數(shù)等值線和約束邊界曲線勾畫出來(lái)，并回答下列問(wèn)題：(a) X=1,1T是不是可行點(diǎn)？(b) X=5/2,1/2 T是不是可行點(diǎn)？(c) 可行域D是否為凸集，用陰影線描繪出可行域的范圍。32. 已知某約束優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為22min F(x) (x1 3)2 (x2 4)2x DR2D : g1(x) 5 x1 x2 0g2(x) x1 x2 2.5 0 g3(x) x1 0 g4(x) x2 0(1)該問(wèn)題是線性規(guī)劃問(wèn)題還是非線性規(guī)劃問(wèn)題？按一定比例畫出目標(biāo)函

14、數(shù)F(X)的值分別等于1, 2, 3時(shí)的三條等值錢，并在圖上劃出可行域。(3) 在圖上確定無(wú)約束最優(yōu)解和約束最優(yōu)解。(4) 若在該問(wèn)題中又加入等式約束h(X)=xi-x2=0，其約束最優(yōu)解 X*、F(X*)又為多少？33. 畫出下列目標(biāo)函數(shù)的等值線，并指出函數(shù)值為正和負(fù)的區(qū)域；它有沒(méi)有極小值點(diǎn)？1) F(x1,x2)=x1x2；2)F(x1,x2)=x12-x22；3)F (x1,x2)=x12+3x1x2+4x22+634. 用圖解法求解下列優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)點(diǎn)。minF(x)(x13)2(x23)21)s.t.2x1 x20;x1,x20minF(x)(x12)2(x22)22) 12s.t.

15、x12x24;x1,x2022minF(x) (x1 3)2 (x2 3)2s.t. x1 /2 x2 4; 3x1 x2 15x1x21 x1,x2A g 10000 N / cmK4-H筍貶第板AAb35. 如圖所示，設(shè)有一箱形蓋板，已知長(zhǎng)度l=600cm，寬度b=60cm，側(cè)板厚度ts=0.5cm ,翼板厚度為tf（cm），高度為h（cm），承受最大的單位載荷q=10000N/cm，蓋板的許用彎曲應(yīng)力寸=70MPa，許用剪切應(yīng)力T=45MPa，單位長(zhǎng)度允許撓度f(wàn)°=0.0025mm，彈性模量 E=7 x 104MPa，泊松比u=0.3.要求在滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性等條件下，設(shè)計(jì)

16、一個(gè)質(zhì)量最小的 結(jié)構(gòu)方案。5-17搪瓷廠要生產(chǎn)一種容積為785cm3的圓柱形茶杯，試用拉格朗日乘子法設(shè)計(jì)茶杯的尺寸使所用的原材料最省。1.設(shè)計(jì)一曲柄搖桿機(jī)構(gòu)（見圖7-16）,已知：桿1的長(zhǎng)度11=1 ,桿4的長(zhǎng)度14=5（均為相對(duì) 長(zhǎng)度）。要求曲柄由4。轉(zhuǎn)到4。十90。時(shí)，搖桿的輸出角實(shí)現(xiàn)如下給定的函數(shù)關(guān)免V y,十方（4 40）,式中4。和貝。分別為對(duì)應(yīng)于搖桿在右極限位置時(shí)曲柄和搖桿的位置角.運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小傳動(dòng)角不小于 45。，艮卩7m, 7 = 45。試建立上述問(wèn)題的數(shù)學(xué)模利，并選擇優(yōu)化方法，有條件的同學(xué)可2:= 4. 1286, z：= 2. 3325）。設(shè)計(jì)訓(xùn)加揺桿機(jī)袍（見raZ-I

17、GK 科剤 抒1的民度I嚴(yán)1桿4的艷度匚冃3 （均為相對(duì)氏度）.罌求曲柄由肌轉(zhuǎn)刮乩+ 9時(shí)，搖桿的輸出焰實(shí)現(xiàn)如下彫定的函數(shù)式中嘰和奴*分腳為對(duì)或于揺軒在右扱醫(yī)使賈時(shí)曲柄和搖桿的位置儺.并要求左諛區(qū)問(wèn)的 運(yùn)動(dòng)過(guò)程屮的最小憐詼笊不小于佔(zhàn)j即丁 “;口=4貸武建之上述洞腿的數(shù)學(xué)廡型，井選胖憂化方法，右條件的同學(xué)才上機(jī)計(jì)算（答案為 仏-4,1266, ft = 2.3325 ）.陽(yáng)7-H呼面伐度悶桿軌拘簡(jiǎn)圖2.如圖為一批量生產(chǎn)的壓力容器，其結(jié)構(gòu)方案和有關(guān)尺寸已定。內(nèi)部氣壓為p=12.75MPa，容器內(nèi)徑 A=120mm，安裝螺栓的中心圓直徑 D=200mm，壁厚 E=H=20mm , 用襯墊密封，為保

18、證拆裝時(shí)具有足夠的扳手空間，螺栓間的周向間隔不應(yīng)小于5d（d為螺栓直徑），同時(shí)為保證螺栓間的密封壓力均勻，不致有局部漏氣，螺栓間的周向間距不應(yīng)大于10d。螺栓樹料選用35號(hào)鋼，長(zhǎng)度為50mm，型式為六角頭半精制螺栓，其單價(jià)見下表：101£，B單ifrn克）f. DR2畦r0*裁I要求合理地選擇緊固螺栓的直徑d和螺栓的數(shù)量n,使壓力容器的螺栓總成本最低。試建立上述優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并選擇優(yōu)化方法，有條件的同學(xué)可上機(jī)計(jì)算。（答案為d=25， n=3）。3設(shè)有一重量 P=10000N的物體懸掛在兩根鋼絲繩上，如圖7-18所示。已知鋼絲繩長(zhǎng)li=14.1m , l2=11.5m，許用應(yīng)力q=100Mpa，彈性模量E=2 x 105MPa。為保證此裝置正常工 作，除鋼絲繩的工作應(yīng)力不應(yīng)大于許用應(yīng)力外，還規(guī)定懸掛點(diǎn)的鉛垂