1、緒論1. 思考題1. 何為約束優化設計問題 ?什么是無約束優化設計問題 ?試各舉一例說明。機械優化設計 問題多屬哪一類？2. 一般優化問題的數學模型包括哪些部分?寫出一般形式的數學模型。3. 機械優化設計的過程是怎樣的 ?它與常規的機械設計有什么不同 ?4. 怎樣判斷所求得的最優解是不是全局最優解？5. 試簡述優化算法的迭代過程。6. 何為可行域？為什么說當存在等式約束則可行域將大為縮小?當優化問題中有個等式約束時可行域是什么 ?當優化問題中有兩個等式約束時可行域是什么?當 n 維優化問題中有 n 個等式約束時可行域是什么？7. 什么是內點、什么是外點 ?在優化設計中內點和外點都可以作為設計方

2、案嗎?為什么 ?8. 試寫出第一節中第三個問題的數學模型。9. 目標函數及其等值線（等值面）的意義和特性是什么？2.習題1. 設計一容積為 V 的平底、無蓋圓柱形容器，要求消耗原材料最少，試建立其優化設計 的數學模型，并指出屬于哪一類優化問題。2. 當一個矩形無蓋油箱的外部總面積限定為S 時，怎樣設計可使油箱的容量最大？試列出這個優化問題的數學模型，并回答：屬于幾維的優化問題？是線性規劃還是非線性規劃？3. 欲造容積為 V 的長方形無蓋水箱，問應如何選定其長、寬、高尺寸，才能使用料消耗 最少？試寫出其數學模型。4. 試求直徑為 D 的圓內所有內接三角形面積中的最大值。5在曲面fl（Xl,X2,

3、X3）=0上找一點 Pl,在曲面f2（Xl,X2,X3）=0上找一點 P2，使得Pl與P2的 距離為最短，試建立優化問題的數學模型。6有一薄鐵皮，寬 b=14cm，長L=24cm，制成如圖2-9所示的梯形槽，求邊長 x和傾斜 角a為多大時，槽的容積最大？試寫出此問題的優化設計模型并指出該問題屬于哪一類的優 化設計問題。7欲制一批如圖 2-12所示的包裝紙箱，其頂和底由四邊延伸的折紙板組成。要求紙箱 的容積為2m3,問如何確定a、b和c的尺寸，使所用的紙板最省。試寫出該優化問題的數 學模型。8根長I的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形。問應以怎樣的比例截 斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之

4、和為最大，試寫出這一優化問題的數學模型。9某廠生產A、B兩種產品：A每桶需用煤90kN、電4度、勞動日3個，獲利潤700 元；B每桶需用煤40kN、電5度、勞動日10個，獲利潤1200元。但計劃規定可用煤 3600kN、 電200度、勞動日300個，試問A、B各生產多少桶時利潤最大？列出其教學模型，并說明 屬于何種數學規劃問題 ？10. 某廠生產兩種機器，兩種產品生產每臺所需鋼材分別為2噸和3噸，所需工時數分別為4千小時和8千小時，而產值分別為4萬元和6萬元。如果每月工廠能獲得的原材料為 100噸，總工時數為120千小時。現應如何安排兩種機器的月產臺數，才能使月產值最高。 試寫出這一優化問題的

5、數學模型。11要將10米長的鋼管截成3米和4米長的各100根，要求設計出用料最省的下料方法。 試寫出其數學模型。12. 設計一個二級展開式漸開線標準直齒圓柱齒輪減速器，已知總傳動比i = 20,高速級齒輪模數m1,2=2.5mm ,低速級齒輪模數 m3,4=3mm ,要求減速器高速軸與低速軸間中心距a最小，試建立其優化設計的數學模型，并指出屬于哪一類優化問題。13. 設計一個展開式二級圓柱齒輪減速器，要求其高、低速軸間的中心距最小。已知總 傳動比i=i1 x i2=4，齒輪齒數Z1=Z3，模數均為2.5mm，試建立其數學模型，并說明屬于何種 數學規劃問題。14. 自行提出一個數學規劃問題，并建

6、立其數學模型。15. 如圖2-13所示，已知跨距為I、截面為矩形的簡支架，其材料密度為 p許用彎曲應 力為%，允許撓度為f，在梁的中點作用一集中載荷 P,梁的截面寬度 b不得小于bmin , 現要求設計此梁，使其質量最輕試寫出其優化設計數學模型。圖ZI3藺2"16. 矩形截面簡支梁，在跨距I的全部長度內受到均布載荷q,其材料密度為 p許用彎曲應力為om。要求梁的寬度不小于bmin，最大撓度不大于Q。試寫出此梁重量最輕優化設計的數學模型。17. 有一圓形等截面的銷軸，一端固定在機架上，另一端作用著集中載荷P和扭矩M ,其簡化模型如圖2-14所示。由于結構的需要，軸的長度 I不得小于Im

7、in。已知銷軸材料的許 用彎曲應力血和許用扭剪應力T，允許撓度為f；設計材料的密度為 p和彈性模量為E。 現要求設計這根銷軸，在滿足使用要求下使其質量為最輕，試寫出其優化設計數學模型。18. 試按質量最輕的原則選擇平均半徑R和壁厚t，設計圖2-25所示的薄壁圓柱形容器，要求容積不小于 25.0m3,容器內壓力p為3.5MPa，切向應力ce不超過210Mpa，應變量不 超過0.001。q- 7肥Okp/m'.E = SlOGFa.y = 0,J要求：(1)建立優化設計的數學模型；(2)用圖解法求出最優解。19. 三桿懸掛結構(圖1-5)的材料已經選定，其比重為p,彈性模量為E,許用拉應力

8、為C。 此結構的設計載荷為 2p。試寫出其重量最輕優化設計的數學模型。20. 平面桁架(圖1-6)由鋼管組成，承受載荷2p。鋼管的壁厚為t，桁架的跨度為2B。鋼 管的直徑d和桁架高度H可以選擇。桁架應滿足強度和剛度的要求。試寫出其重量最輕優 化設計的數學模型。21. 當某試驗參數a為1, 2, 3, 4, 5時，其對應結果f(a)為3, 5, 4, 2, 1。試用一個 二項式p(a)=a2x1+ax2+x3，去逼近f(a)，求x1, x2, x3為多大時，使得當 a=2, 3, 4, 5時各 點誤差平方和為最小，且要求 a=1時，p(a)=f(a)。試寫出該問題的優化設計數學模型。22. 己知

9、兩個物理量x和y之間的依賴關系為a21a3 ln(1X a±)a5其中aia5為待定參數。為了確定這些參數的值，對x和y測得m個實驗點：(xi, yi),(X2,y2),，(Xm,ym)。試將確定參數的問題表示成最優化問題。23. 有一個初始的設計電路，內有 m個可調整的電阻。如圖 1-4所示。要求的響應是電 路內m個節點電壓為給定的一組數，即Vl=VD1,V2=VD2,，Vn=VDn，而實際的響應里每一'個節點的電壓都依賴于這 m個可調的電阻，示為Vi=Ui(Ri,R2,.,Rm), i=1n試建立優化的數學模型。riip-i_j丄lU-J1十S3L . _圖4有和個可調電

10、齟的電路24. 某現象的理論公式為：F(t) Xi x?e X3t。透過實驗已測得m個F(t)對應于t的值。要求確定Xi、X2和X3三個參數，其中X3> 0，使理論公式與實驗數據的偏差平方和為最小。試寫出這個問題的數學模型。25. 熱敏電阻R= X1 exp 4 ，今測得溫度t與R的15組實驗數據。要求確定參數t X3X1、X2和X3使電阻R的計算值與實測值的均方差最小。試建立其數學模型。26. 已知一圓形截面懸臂梁，在其懸臂端作用一集中載荷P和一扭矩M，要求懸伸長度L=ab,截面直徑 d=dod1。問在滿足強度和剛度要求的條件下使所需材料最少，應如何建 立該優化設計問題的數學模型？并示

11、出。27. 試畫出下列約束條件下，x=x1 x2t的可行域：(1) g1 (x)=X12+(X2-1)2-1 < 0g2(x)=(Xl-1)2+X22-1 < 0g3(x)=X1 + X2-1 < 0(2) g1 (x)=2x 1 + X2-6 < 0g2 (x)=-Xl < 0 g3(x)=-X2< 0g4(x)=X12+X22-16 < 028. 試畫出下列約束條件下X= X1 ,X2t的可行域，并說明哪個是不起作用的約束。2(1) g1(x)=-X1 +X2> 0g2(x)=Xl-X2+3 > 0g3(x)=-X1-X2+8 >

12、 02 2(2) g1 (x)=X1+X2/2-3 > 0g2(x)=Xl > 0 g3(x)=X2> 0 h(x)=-X1 -X2 +16 > 029. 已知約束條件為2 2g1(x)=-Xl+X2-3 > 0g2(x)=-X1 -X2 +9 > 0試問X1=2,-2T, X2=3,3 T, X3=-3,0t, X4=-1,1T等四點中有幾個可行點？并寫出可行點。30. 畫出滿足下列約束的可行域。g1(x)=48-3 X1 -2x2> 0g2(x)=18-x1-x20 g3(x)=X1> 0 g4(x)=X2> 031. 試將優化問題mi

13、n F(x) x12 x22 4x2 4x DR2D: g1(x) x1 x22 1 0g2(x) 3 x1 0g3(x)x20的目標函數等值線和約束邊界曲線勾畫出來，并回答下列問題：(a) X=1,1T是不是可行點？(b) X=5/2,1/2 T是不是可行點？(c) 可行域D是否為凸集，用陰影線描繪出可行域的范圍。32. 已知某約束優化問題的數學模型為22min F(x) (x1 3)2 (x2 4)2x DR2D : g1(x) 5 x1 x2 0g2(x) x1 x2 2.5 0 g3(x) x1 0 g4(x) x2 0(1)該問題是線性規劃問題還是非線性規劃問題？按一定比例畫出目標函

14、數F(X)的值分別等于1, 2, 3時的三條等值錢，并在圖上劃出可行域。(3) 在圖上確定無約束最優解和約束最優解。(4) 若在該問題中又加入等式約束h(X)=xi-x2=0，其約束最優解 X*、F(X*)又為多少？33. 畫出下列目標函數的等值線，并指出函數值為正和負的區域；它有沒有極小值點？1) F(x1,x2)=x1x2；2)F(x1,x2)=x12-x22；3)F (x1,x2)=x12+3x1x2+4x22+634. 用圖解法求解下列優化問題的最優點。minF(x)(x13)2(x23)21)s.t.2x1 x20;x1,x20minF(x)(x12)2(x22)22) 12s.t.

15、x12x24;x1,x2022minF(x) (x1 3)2 (x2 3)2s.t. x1 /2 x2 4; 3x1 x2 15x1x21 x1,x2A g 10000 N / cmK4-H筍貶第板AAb35. 如圖所示，設有一箱形蓋板，已知長度l=600cm，寬度b=60cm，側板厚度ts=0.5cm ,翼板厚度為tf（cm），高度為h（cm），承受最大的單位載荷q=10000N/cm，蓋板的許用彎曲應力寸=70MPa，許用剪切應力T=45MPa，單位長度允許撓度f°=0.0025mm，彈性模量 E=7 x 104MPa，泊松比u=0.3.要求在滿足強度、剛度和穩定性等條件下，設計

16、一個質量最小的 結構方案。5-17搪瓷廠要生產一種容積為785cm3的圓柱形茶杯，試用拉格朗日乘子法設計茶杯的尺寸使所用的原材料最省。1.設計一曲柄搖桿機構（見圖7-16）,已知：桿1的長度11=1 ,桿4的長度14=5（均為相對 長度）。要求曲柄由4。轉到4。十90。時，搖桿的輸出角實現如下給定的函數關免V y,十方（4 40）,式中4。和貝。分別為對應于搖桿在右極限位置時曲柄和搖桿的位置角.運動過程中的最小傳動角不小于 45。，艮卩7m, 7 = 45。試建立上述問題的數學模利，并選擇優化方法，有條件的同學可2:= 4. 1286, z：= 2. 3325）。設計訓加揺桿機袍（見raZ-I

17、GK 科剤 抒1的民度I嚴1桿4的艷度匚冃3 （均為相對氏度）.罌求曲柄由肌轉刮乩+ 9時，搖桿的輸出焰實現如下彫定的函數式中嘰和奴*分腳為對或于揺軒在右扱醫使賈時曲柄和搖桿的位置儺.并要求左諛區問的 運動過程屮的最小憐詼笊不小于佔j即丁 “;口=4貸武建之上述洞腿的數學廡型，井選胖憂化方法，右條件的同學才上機計算（答案為 仏-4,1266, ft = 2.3325 ）.陽7-H呼面伐度悶桿軌拘簡圖2.如圖為一批量生產的壓力容器，其結構方案和有關尺寸已定。內部氣壓為p=12.75MPa，容器內徑 A=120mm，安裝螺栓的中心圓直徑 D=200mm，壁厚 E=H=20mm , 用襯墊密封，為保

18、證拆裝時具有足夠的扳手空間，螺栓間的周向間隔不應小于5d（d為螺栓直徑），同時為保證螺栓間的密封壓力均勻，不致有局部漏氣，螺栓間的周向間距不應大于10d。螺栓樹料選用35號鋼，長度為50mm，型式為六角頭半精制螺栓，其單價見下表：101£，B單ifrn克）f. DR2畦r0*裁I要求合理地選擇緊固螺栓的直徑d和螺栓的數量n,使壓力容器的螺栓總成本最低。試建立上述優化設計問題的數學模型，并選擇優化方法，有條件的同學可上機計算。（答案為d=25， n=3）。3設有一重量 P=10000N的物體懸掛在兩根鋼絲繩上，如圖7-18所示。已知鋼絲繩長li=14.1m , l2=11.5m，許用應力q=100Mpa，彈性模量E=2 x 105MPa。為保證此裝置正常工 作，除鋼絲繩的工作應力不應大于許用應力外，還規定懸掛點的鉛垂