1、中考代數綜合題初中代數綜合題，主要以方程、函數這兩局部為重點，因此牢固地掌握方程與不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判別式、函數的解析式確實定及函數性質等重要根底知識，是解好代數綜合題的關鍵在許多問題中，代數和幾何問題交織在一起，就要溝通這些知識之間的內在聯系，以數形結合的方法找到解決問題的突破口通過解綜合題有利于透徹和熟練地掌握根底知識和根本技能，更深刻地領悟數學思想方法，提高分析問題和解決問題的能力方法點撥1對“數學概念的深刻理解是解綜合題的根底；2認識綜合題的結構是解綜合題的前提；3靈活運用數學思想方法是解綜合題的關鍵；4幫助學生建立思維程序是解綜合題的核心* 審題(讀題、斷句、找關

2、鍵)；* 先宏觀(題型、知識塊、方法)；后微觀(具體條件，具體定理、公式)* 由，想可知(聯想知識)；由未知，想須知(應具備的條件)，注意知識的結合；* 觀察挖掘題目結構特征；聯想聯系相關知識網絡；突破抓往關鍵實現突破；尋求學會尋求解題思路5準確計算，嚴密推理是解綜合題的保證類型一、函數綜合1函數和ykx+1(k0)1假設這兩個函數的圖象都經過點(1，a)，求a和k的值；2當k取何值時，這兩個函數的圖象總有公共點? 答案與解析 舉一反三 【思路點撥】此題是一次函數，反比例函數的綜合題此題考查了函數解析式的求法和利用判別式判斷函數圖象交點個數【答案與解析】解：1兩函數的圖象都經過點(1，a)，

3、解得2將代入ykx+1，消去y，得 k0， 要使得兩函數的圖象總有公共點，只要0即可 1+8k 1+8k0，解得k k且k0時這兩個函數的圖象總有公共點【總結升華】兩圖象交點的個數常常通過建立方程組，進而轉化為一元二次方程，利用根的判別式來判斷假設0，兩圖象有兩個公共點；假設0，兩圖象有一個公共點；假設0，兩圖象沒有公共點 【變式】如圖，一元二次方程的兩根，是拋物線與軸的兩個交點，的橫坐標，且此拋物線過點A3，61求此二次函數的解析式；2設此拋物線的頂點為P，對稱軸與線段AC相交于點Q，求點P和點Q的坐標；3在x軸上有一動點M，當MQ+MA取得最小值時，求M點的坐標 答案與解析 【答案】解：1

4、解方程，得=-3，=1. 拋物線與x軸的兩個交點坐標為：C-3，0，B1，0. 將 A3，6，B1，0，C-3，0代入拋物線的解析式，得 解這個方程組，得 拋物線解析式為.2由，得拋物線頂點P的坐標為-1，-2，對稱軸為直線x=-1. 設直線AC的函數關系式為y=kx+b,將A3，6，C-3，0代入,得 解這個方程組，得 直線AC的函數關系式為y=x+3. 由于Q點是拋物線的對稱軸與直線AC的交點， 故解方程組得 點Q坐標為-1，2.3作A點關于x軸的對稱點，連接，與軸交點即為所求的點. 設直線的函數關系式為y=kx+b. 解這個方程組，得 直線的函數關系式為y=-2x. 令x=0，那么y=0

5、. 點M的坐標為0，0. 類型二、函數與方程綜合2關于x的二次函數與，這兩個二次函數的圖象中的一條與x軸交于A，B兩個不同的點1試判斷哪個二次函數的圖象經過A，B兩點；2假設A點坐標為(-1，0)，試求B點坐標；3在2的條件下，對于經過A，B兩點的二次函數，當x取何值時，y的值隨x值的增大而減小? 答案與解析 舉一反三 【思路點撥】此題是二次函數與一元二次方程的綜合題此題考查了利用一元二次方程根的判別式判斷二次函數圖象，與x軸的交點個數及二次函數的性質【答案與解析】解：1對于關于x的二次函數， 由于(-m)24×1×， 所以此函數的圖象與x軸沒有交點 對于關于x的二次函數，

6、 由于， 所以此函數的圖象與x軸有兩個不同的交點 故圖象經過A，B兩點的二次函數為2將A(-1，0)代入，得 整理，得 解之，得m0，或m2 當m0時，令y0，得 解這個方程，得， 此時，B點的坐標是B(1，0) 當m2時，令y0，得 解這個方程，得x3-1，x43 此時，B點的坐標是B(3，0)3當m0時，二次函數為，此函數的圖象開口向上，對稱軸為x0， 所以當x0時，函數值y隨x的增大而減小 當m2時，二次函數為，此函數的圖象開口向上，對稱軸為x1， 所以當x1時，函數值y隨x的增大而減小【總結升華】從題目的結構來看，二次函數與一元二次方程有著密切的聯系，函數思想是變量思想，變量也可用常量

7、來求解【變式】：關于x的一元二次方程：.1求證：這個方程有兩個不相等的實數根；2當拋物線與x軸的交點位于原點的兩側,且到原點的距離相等時,求此拋物線的解析式；3將2中的拋物線在x軸下方的局部沿x軸翻折，其余局部保持不變，得到圖形C1,將圖形C1向右平移一個單位,得到圖形C2，當直線(b0)與圖形C2恰有兩個公共點時，寫出b的取值范圍.答案與解析 【答案】1證明: 該方程總有兩個不相等的實數根2由題意可知y軸是拋物線的對稱軸， ，解得 此拋物線的解析式為3-3b0類型三、以代數為主的綜合題3如下圖，在直角坐標系中，點A的坐標為(-2，0)，將線段OA繞原點O順時針旋轉120°得到線段O

8、B1求點B的坐標；2求經過A，O，B三點的拋物線的解析式；3在2中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使BOC的周長最?。考僭O存在，求出點C的坐標；假設不存在，請說明理由4如果點P是2中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么PAB是否有最大面積？假設有，求出此時P點的坐標及PAB的最大面積；假設沒有，請說明理由 答案與解析 【思路點撥】1由AOB120°可得OB與x軸正半軸的夾角為60°，利用OB2及三角函數可求得點B的坐標；2利用待定系數法可求出解析式；3OB為定值，即求BC+CO最小利用二次函數的對稱性可知點C為直線AB與對稱軸的交點；4利用轉化的方法列出關于點P的橫坐標x的

9、函數關系式求解【答案與解析】解：1B(1，)2設拋物線的解析式為，代入點B(1，)，得所以3如下圖，拋物線的對稱軸是直線x-1，因為A，O關于拋物線的對稱軸對稱，所以當點C位于對稱軸與 線段AB的交點時，BOC的周長最小 設直線AB的解析式為，那么 解得 因此直線AB的解析式為 當時， 因此點C的坐標為4如下圖，過P作y軸的平行線交AB于D，設其交x軸于E，交過點B與x軸平行的直線于F 設點P的橫坐標為x 那么 當時，PAB的面積的最大值為，此時【總結升華】此題為二次函數的綜合題，綜合程度較高，要掌握利用點的坐標表示坐標軸上線段的方法因為線段的長度為正數，所以在用點的坐標表示線段長度時，我們用

10、“右邊點的橫坐標減左邊點的橫坐標，上邊點的縱坐標減下邊點的縱坐標，從而不用加絕對值號，此題中線段PD的長為就是利用了這一規律4如下圖，拋物線C1與坐標軸的交點依次是A(-4，0)，B(-2，0)，E(0，8) 1求拋物線C1關于原點對稱的拋物線C2的解析式；2設拋物線C1的頂點為M，拋物線C2與x軸分別交于C，D兩點(點C在點D的左側)，頂點為N，四邊形MDNA的面積為S假設點A，D同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；此時，點M，N同時以每秒2個單位的速度沿豎直方向分別向下、向上運動，直到點A與點D重合為止求出四邊形MDNA的面積S與運動時間t之間的關系式，并寫出自變量t的取

11、值范圍；3當t為何值時，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值；4在運動過程中，四邊形MDNA能否形成矩形？假設能，求出此時t的值；假設不能，請說明理由 答案與解析 舉一反三 【思路點撥】此題一題多問，分別考查對拋物線性質、直角坐標系中點的坐標與線段之間的關系、代數式或者函數最值的求解方法的理解，并考查應用方程思想解決問題的意識和能力【答案與解析】解：1點A(-4，0)，點B(-2，0)，點E(0，8) 關于原點的對稱點分別為D(4，0)，C(2，0)，F(0，-8) 設拋物線C2的解析式是， 那么 解得 所求拋物線的解析式是.2由1可計算得點M(-3，-1)，N(3，1) 過點N作N

12、HAD，垂足為H 當運動到時刻t時，AD2OD8-2t，NH1+2t 根據中心對稱的性質OAOD，OMON， 四邊形MDNA是平行四邊形 四邊形MDNA的面積 運動至點A與點D重合為止，據題意可知0t4， 所求關系式是0t43 (0t4) 時，S有最大值.4在運動過程中四邊形MDNA能形成矩形 由1知四邊形MDNA是平行四邊形，對角線是AD、MN， 當ADMN時四邊形MDNA是矩形 ODON OD2ON2OH2+NH2 解得，(不合題意，舍去) 在運動過程中四邊形MDNA可以形成矩形，此時【總結升華】直角坐標系中，坐標與線段長的關系；用等量關系列方程以形為背景給出的題干信息中有等腰梯形，等腰三

13、角形，等邊三角形，某線段是某線段的幾倍，或者隱含著這些條件存在，都是利用方程思想解決問題的有效信息【變式】如下圖，拋物線與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點， 1求點B的坐標；2求拋物線的解析式及頂點坐標；3假設E點在x軸上，F點在拋物線上，如果A，C，E，F構成平行四邊形，直接寫出點E的坐標答案與解析 【答案】解：1，C(0，3) 又，A(1，0) 又， ， AB4。 B(-3，0)2把A(1，0)，B(-3，0)代入得： a-1，b-2， 頂點坐標(-1，4)3如圖1和圖2 當AC為平行四邊形的一邊時， (-1，0)，E2(，0)，E3(，0) 當AC為平行四邊形的對角線時，E4(3，0)

14、5函數y1x，y2x2+bx+c，為方程的兩個根，點M(t，T)在函數y2的圖象上1假設，求函數y2的解析式；2在1的條件下，假設函數y1與y2的圖象的兩個交點為A，B，當ABM的面積為時，求t的值；3假設01，當0tl時，試確定T，三者之間的大小關系，并說明理由答案與解析 【思路點撥】第1問由得的兩根為，利用根的定義代入得到b，c的方程組可求出b，c值；第2問分別求出A，B兩點坐標，利用直線yx與x軸夾角為45°得到關于t的方程；第3問利用求差法比擬T，的大小，注意對t的范圍進行分類討論來確實定相應T，的大小關系【答案與解析】解:1y1x，y2x2+bx+c，y1y20， 將，分別

15、代入，得 解得， 函數y2的解析式為2由，y1與y2的圖象的兩個交點的坐標分別為，得， 設ABM中AB邊上的高為h， 那么，即 由直線y1x與x軸的夾角為45°可得 由，得 當時，解得； 當時，解得， t的值為，3由，得， ， ， ， 化簡得 ，得， 有a+b10，+b10 又0t1時，t+b0，t+b0 當0t時，T； 當t時，T； 當1時，T【總結升華】此題是關于函數、方程、不等式的綜合題，涉及知識面較廣穩固練習一、選擇題1. 如圖，在直角梯形AOBC中，ACOB，CBOB，OB=18，BC=12，AC=9，對角線OC、AB交于點D，點E、F、G分別是CD、BD、BC的中點，以O

16、為原點，直線OB為x軸建立平面直角坐標系，那么G、E、D、F四個點中與點A在同一反比例函數圖象上的是 A點G B點E C點D D點F2函數y=，假設使y=k成立的x值恰好有三個，那么k的值為 A0 B1 C2 D33. 如圖，過y軸上任意一點P，作x軸的平行線，分別與反比例函數y=和y=的圖象交于A點和B點，假設C為x軸上任意一點，連接AC，BC，那么ABC的面積為 A3 B4 C5 D6二、填空題4假設a+b-2-4=3- c-5，那么a+b+c的值為_.5關于x的方程x2+k-5x+9=0在1x2內有一實數根，那么實數k的取值范圍是_6. 關于x的方程，2kx2-4x-3k=0的兩根一個小

17、于1，一個大于1，那么實數k的的取值范圍是_.三、解答題7：關于x的一元二次方程有兩個整數根，m<5且m為整數1求m的值；2當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數的圖象沿x軸向左平移4個單位長度，求平移后的二次函數圖象的解析式；3當直線y=x+b與2中的兩條拋物線有且只有三個交點時，求b的值8. 關于的一元二次方程1求證：不管取何值時，方程總有兩個不相等的實數根2假設直線與函數的圖象的一個交點的橫坐標為2，求關于的一元二次方程的解3在2的條件下，將拋物線繞原點旋轉，得到圖象，點為軸上的一個動點，過點作軸的垂線，分別與圖象、交于兩點，當線段的長度最小時，求點的坐標 9. 拋物線，

18、a0，c0，1求證：；2拋物線經過點，Q 判斷的符號； 假設拋物線與x軸的兩個交點分別為點A，點B點A在點B左側，請說明，10. ：二次函數y=1求證：此二次函數與x軸有交點；2假設m-1=0,求證方程有一個實數根為1；3在2的條件下，設方程的另一根為a,當x=2時，關于n 的函數與的圖象交于點A、B點A在點B的左側，平行于y軸的直線L與、的圖象分別交于點C、D，假設CD=6，求點C、D的坐標.答案與解析】 一、選擇題1.【答案】A；【解析】在直角梯形AOBC中ACOB，CBOB，OB=18，BC=12，AC=9點A的坐標為9，12點G是BC的中點點G的坐標是18，69×12=18&

19、#215;6=108點G與點A在同一反比例函數圖象上，應選A2.【答案】D；【解析】函數y=的圖象如圖：根據圖象知道當y=3時，對應成立的x有恰好有三個，k=3應選D3.【答案】A；【解析】先設P0，b，由直線APBx軸，那么A，B兩點的縱坐標都為b，而A，B分別在反比例函數y=和y=的圖象上，可得到A點坐標為，b，B點坐標為，b，從而求出AB的長，然后根據三角形的面積公式計算即可二、填空題4.【答案】20；【解析】整理得：a-1-2+1+b-2-4+4+c-3-6+9=0-12+-22+-32=0，=1，=2，=3，a1，b2，c3，a=2，b=6，c=12，a+b+c=20故答案為： 205.【答案】【解析】利用數形結合的方法將問題轉化成二次函數y= x2+k-5x+9圖象開口向上，與x軸的一個交點的橫坐標在1x2內，故有兩種情況，分析得出結論.6.【答案】或.三、解答題7.【答案與解析】解：1方程有兩個整數根， =0，且為完全平方數 m<5且m為整數， m=0或42當m=0時，方程的根為x1=0，x2=2；當m=4時，方程的根為x3=8，x4=2 方程有兩個非零的整數根， m=4 二次函數的解析式是 將的圖象沿x軸向左平移4個單位長度