1、.數(shù)學(xué)為什么難以理解？ 郝寧湘一、彭加勒問(wèn)題與彭氏解答數(shù)學(xué)為什么難以理解？這是世界著名數(shù)學(xué)家、科學(xué)家和哲學(xué)家彭加勒在其?科學(xué)與方法?一書(shū)中提出的問(wèn)題以下簡(jiǎn)稱彭加勒問(wèn)題。盡管彭加勒的科學(xué)哲學(xué)思想和數(shù)學(xué)哲學(xué)思想在我國(guó)已得到了不同程度的研究，但他提出的數(shù)學(xué)為什么難以理解這一問(wèn)題尚未引起人們的注意。筆者希望通過(guò)本文的闡述以引起數(shù)學(xué)哲學(xué)界，尤其是從事數(shù)學(xué)方法論和數(shù)學(xué)教育研究的人們對(duì)彭加勒問(wèn)題的關(guān)注。彭加勒問(wèn)題首先是在?科學(xué)與方法?的第一編第三章出現(xiàn)，彭加勒指出：“有人不理解數(shù)學(xué)，這是怎么發(fā)生的呢？既然數(shù)學(xué)有求助于所有正常思想都能承受的邏輯規(guī)那么，既然數(shù)學(xué)的證據(jù)建立在對(duì)一切人都是共同的原理的根底上，既然沒(méi)

2、有一個(gè)不發(fā)瘋的人會(huì)否認(rèn)這一點(diǎn)，那么在這里為何出現(xiàn)如此之多的不開(kāi)化的人呢？并非每一個(gè)人都可以創(chuàng)造，這決不是難以理解的。并非每一個(gè)人都可以記住一次學(xué)到的證明，這也可以略而不提。但是，當(dāng)把數(shù)學(xué)推理加以解釋之后，并非每一個(gè)人都可以理解它，我們想想這件事，似乎是非常奇怪的。隨后，彭加勒又在第二編第二章進(jìn)一步提出：“如此之多的人不愿理解數(shù)學(xué)，這種情況是怎么發(fā)生的呢？這難道不是一種悖論嗎？他們沒(méi)有創(chuàng)造的才能尚可諒解，但是我們向他們說(shuō)明的論證，他們竟不理解，在我們看來(lái)是十清楚亮的閃光出如今他們面前時(shí)，他們竟視而不見(jiàn)，這是多么奇怪的事呀。彭加勒認(rèn)為，“這是一個(gè)不容易解決的問(wèn)題，但是它應(yīng)當(dāng)引起所有獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)的人的

3、注意。那么彭加勒自己是如何解答這一問(wèn)題的呢？這里我們先來(lái)看看彭加勒對(duì)“理解一詞是如何理解的。在彭加勒看來(lái)，理解首先意味著弄清一個(gè)定理的每一步的演繹推理，搞清它的正確性，它與數(shù)學(xué)規(guī)那么、邏輯規(guī)那么的一致性；以及弄清楚一個(gè)定義的全部意義。這是最淺層的理解，是對(duì)概念和定理“知其然的理解。這種理解事實(shí)上是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，對(duì)于大多數(shù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，不僅要知道一個(gè)定理是怎樣證明的，而且更重要的是要知道這個(gè)定理為什么要這樣證明，是怎樣想到用這個(gè)方法、這個(gè)原理來(lái)證明的。這是彭加勒關(guān)于理解一詞的又一解釋，是“知其所以然意義上的理解。在學(xué)生心目中，老師證明一個(gè)定理似乎具有很大的任意性，他們不理解老師為什么這樣來(lái)證，

4、他們不知道一個(gè)定理的“所以然。另外，彭加勒對(duì)理解還作了直觀理解和抽象理解的區(qū)分盡管彭加勒沒(méi)有明確使用這兩個(gè)詞。他說(shuō)：對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)概念，一般人“都希望提出明顯的圖象；定義必須喚起這個(gè)圖象，以致在證明的每一個(gè)步驟中，他們可以看到它的變換和進(jìn)展。只有在這一條件下，他們才能理解和記住。“假如他們?cè)诶碚撝谢蜃匀唤缰姓也坏剿鼈儯麄儗⒉荒芾斫膺@樣的數(shù)學(xué)概念的正當(dāng)理由。這顯然指的是一種直觀的形象的理解。除此之外，我們還有“把空洞的形式組合起來(lái)的定義，這些形式是完全不可理解的、純粹不可理解的指不可作直觀的理解引者注，抽象剝?nèi)チ巳績(jī)?nèi)容。這就要求理解是一種抽象的理解。在理解了彭加勒關(guān)于理解的意義之后，我們來(lái)看看

5、彭加勒是怎樣解答自己提出的這個(gè)問(wèn)題。彭加勒答復(fù)數(shù)學(xué)為什么難以理解這一問(wèn)題，是結(jié)合著另一個(gè)與之親密相關(guān)的問(wèn)題展開(kāi)的，即數(shù)學(xué)推理為何會(huì)出錯(cuò)？在他看來(lái)數(shù)學(xué)推理出錯(cuò)的原因是多方面的，其中之一在于一個(gè)人的記憶力和注意力出了問(wèn)題，他認(rèn)為，在一個(gè)長(zhǎng)系列的三段論推理過(guò)程中，人們很可能把一個(gè)開(kāi)場(chǎng)是結(jié)論而隨后不久又作為前提的命題忘掉，或記錯(cuò)它的意義，于是錯(cuò)誤就由此而來(lái)。另外，對(duì)于常常使用的數(shù)學(xué)法那么，在開(kāi)場(chǎng)證明的時(shí)候，人們還可以清楚地理解它的意義和使用范圍，但后來(lái)假如對(duì)其的意義記憶不清了就會(huì)把它用錯(cuò)。不過(guò)彭加勒并不把記憶力和注意力的欠缺看成是數(shù)學(xué)推理出錯(cuò)和數(shù)學(xué)難以理解的主要原因，他指出：“數(shù)學(xué)證明不是演繹推理的簡(jiǎn)

6、單并列，它是按某種次序安置演繹推理，這些元素安置的順序比元素本身更為重要。假如我具有這種次序的感覺(jué)，也可以說(shuō)這種次序的直覺(jué)，以便一眼就覺(jué)察到作為一個(gè)整體的推理，那么我已無(wú)需害怕我忘記這些元素之一，因?yàn)樗鼈冎忻恳粋€(gè)都在排列中得到它的指定位置，而且不要我本人費(fèi)心思記憶。可見(jiàn)，有沒(méi)有這種數(shù)學(xué)次序的感覺(jué)或直覺(jué)，被彭加勒看作是數(shù)學(xué)推理睬不會(huì)出錯(cuò)和能不能理解數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。因?yàn)楦鶕?jù)這種數(shù)學(xué)次序的感覺(jué)或直覺(jué)，就可以以在數(shù)學(xué)推理過(guò)程中隱藏著的各種命題和法那么之間的和諧關(guān)系，推測(cè)出所需的命題和法那么，而不要死記硬背它們。由于這種直覺(jué)“并不是每一個(gè)人都具有的。有些人或者沒(méi)有這種如此難以定義的微妙的感覺(jué)，或者沒(méi)有超常

7、的記憶力和注意力，因此，他們絕對(duì)不可能理解較高級(jí)的數(shù)學(xué)。更重要的是，在彭加勒看來(lái)，只有超常的記憶力和注意力，而沒(méi)有數(shù)學(xué)直覺(jué)的人，他們可以理解數(shù)學(xué)，有時(shí)還能應(yīng)用數(shù)學(xué)，但不能創(chuàng)造數(shù)學(xué)；而具有這種特殊的數(shù)學(xué)直覺(jué)的人，盡管記憶力和注意力毫無(wú)非同尋常之處，他們也能理解數(shù)學(xué)，并且可以成為數(shù)學(xué)創(chuàng)造者。另外，數(shù)學(xué)直觀不僅能幫助人們推測(cè)出數(shù)學(xué)證明所需的但又記憶不清的命題和法那么，而且更重要的是可以幫助人們從整體上或全局上選擇一條走向成功的道路。彭加勒正確地指出，你假如只能辯認(rèn)一個(gè)推理過(guò)程是否正確，而不知道為什么要選擇這種推理而不是那種推理，那么你便會(huì)陷入困境。而邏輯只能告訴我們一個(gè)推理是否正確，“但是它不會(huì)告訴

8、我們那一條路能到達(dá)目的。為此，必須從遠(yuǎn)處了望目的，教導(dǎo)我們了望的才能是直覺(jué)。可見(jiàn)，彭加勒認(rèn)為，缺乏數(shù)學(xué)直覺(jué)是數(shù)學(xué)為什么難以理解的根本原因。最后，數(shù)學(xué)直覺(jué)還有一個(gè)作用，它能使完全抽象的、符號(hào)化的數(shù)學(xué)思維依附于一定的形象思維、直觀思維。彭加勒認(rèn)為，“正是通過(guò)直覺(jué)，數(shù)學(xué)世界才能仍然與真實(shí)世界保持接觸，以填平把符號(hào)與實(shí)在分隔開(kāi)的鴻溝。人們尤其是學(xué)生的思維往往負(fù)擔(dān)不起形式化較高的抽象思維，需要有一種形象的直觀的實(shí)在作為抽象思維的依附，數(shù)學(xué)直覺(jué)在此就起到一種“橋梁的作用。不過(guò)彭加勒也沒(méi)有過(guò)高地看重直覺(jué)的這層作用，因?yàn)樵谒磥?lái)，過(guò)于依賴形象與直觀，是造成數(shù)學(xué)出錯(cuò)和數(shù)學(xué)難以理解的又一原因。其理由是，形象的、直

9、觀的東西往往是粗糙的、不可靠的，而數(shù)學(xué)需要的是嚴(yán)格與精神；數(shù)學(xué)推理也常常不顧人的直觀想象，推論出與直觀相違犯的結(jié)論。我們認(rèn)為還有一條同樣重要的理由，即長(zhǎng)期過(guò)于依賴形象的直觀的思維方式，會(huì)使這種思維方式成為一個(gè)人的思維定式，從而嚴(yán)重影響這個(gè)人的抽象思維才能的開(kāi)展。最后，彭加勒認(rèn)為，缺乏正確的推理技藝也是數(shù)學(xué)出錯(cuò)與數(shù)學(xué)難以理解的一大原因。指出“數(shù)學(xué)老師首先應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)正確推理技藝，我們應(yīng)該不斷地仿效和贊美這些形式指數(shù)學(xué)家已經(jīng)給出的數(shù)學(xué)推理形式引者注。認(rèn)為要“有足夠的時(shí)機(jī)使學(xué)生練習(xí)數(shù)學(xué)那一部分中的正確推理。在此彭加勒非常強(qiáng)調(diào)了練習(xí)的重要性。經(jīng)過(guò)以上闡述，我們認(rèn)為，彭加勒把數(shù)學(xué)推理為何會(huì)出錯(cuò)以及數(shù)學(xué)為什么

10、難以理解的原因歸結(jié)為以下四點(diǎn)了：記憶力和注意力較差；缺乏數(shù)學(xué)直覺(jué)；過(guò)于依賴形象思維、直觀思維；缺乏正確的推理技藝。其中缺乏數(shù)學(xué)直覺(jué)是最根本的原因。對(duì)于這個(gè)解答，我們認(rèn)為它部分地解決了數(shù)學(xué)為什么難以理解這個(gè)問(wèn)題，但也存在著需要進(jìn)一步完善的地方。無(wú)疑，這是一個(gè)難解而又具有重大教育學(xué)意義的問(wèn)題。二、數(shù)學(xué)困難與數(shù)學(xué)素質(zhì)對(duì)于絕大多數(shù)人，數(shù)學(xué)尤其是高深的現(xiàn)代數(shù)學(xué)是難以理解的，數(shù)學(xué)推理是容易出錯(cuò)的數(shù)學(xué)家也犯錯(cuò)誤，這是眾所公認(rèn)的事實(shí)。但數(shù)學(xué)為什么難以理解、為什么容易出錯(cuò)，很少有人對(duì)此作過(guò)深化的考慮。彭加勒明確地提出了這一問(wèn)題，并為解決此問(wèn)題做出了重要奉獻(xiàn)，我們?cè)冈诖烁咨咸岢鲎约旱膸c(diǎn)淺見(jiàn)。為此，我們想先提出

11、“數(shù)學(xué)困難和“數(shù)學(xué)素質(zhì)這兩個(gè)根本概念。因?yàn)閿?shù)學(xué)的難以理解和易于出錯(cuò)就是由于數(shù)學(xué)困難的存在，而數(shù)學(xué)困難的存在那么在于人們數(shù)學(xué)素質(zhì)的相對(duì)低下。需要說(shuō)明的是，本文所說(shuō)的數(shù)學(xué)困難和數(shù)學(xué)素質(zhì)只是相對(duì)于一般人理解數(shù)學(xué)而言的，而不泛指數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)的困難和所需素質(zhì)。當(dāng)然二者之間也可能有共同的地方。我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)困難有以下三種不同的分類：一是合理性困難，指對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)推理或一個(gè)概念等的合理性的辯認(rèn)困難。如常常有學(xué)生搞不清楚在一個(gè)推理過(guò)程中從這一步到下一步的理由是什么；也有的學(xué)生對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)概念的意義不理解，對(duì)一個(gè)公理或定理的使用條件、范圍搞不清楚。二是抽象性困難，指運(yùn)用或進(jìn)展符號(hào)的形式化的抽象思維的困難。如很多人

12、學(xué)習(xí)抽象性較弱而直觀性較強(qiáng)的初等數(shù)學(xué)時(shí)很容易，而學(xué)習(xí)抽象性較強(qiáng)而直觀性較弱的高等數(shù)學(xué)時(shí)很困難。三是選擇性困難，指對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的方法、途徑等的選擇性困難。如常常有學(xué)生面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題不知如何下手，不知道應(yīng)該選擇應(yīng)用哪一個(gè)公里、定理，甚至不理解別人為什么這樣做而不那樣做。這三種困難中，合理性困難是最根本的具有較大合理性困難的人往往就是數(shù)學(xué)成績(jī)較差的人，抽象性困難是高一層次的困難，可以抑制這一層困難的人，一般對(duì)所學(xué)的東西都能自如的掌握將來(lái)至少是個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)的好手，選擇性困難是最高層次的困難，能不能抑制這層困難，將決定一個(gè)人能不能在數(shù)學(xué)上有較大的開(kāi)展。當(dāng)然，這三種數(shù)學(xué)困難是互相關(guān)聯(lián)、互相促進(jìn)的。另

13、外，數(shù)學(xué)困難也是相對(duì)的，即同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)于不同的人，其困難程度和困難類型是不同的，即使對(duì)于同一個(gè)人，同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題在他的不同時(shí)期，困難程度和困難類型也是不同的。因此，對(duì)于人們具有的數(shù)學(xué)困難，要根據(jù)其困難的不同類型和程度給予詳細(xì)地解決，否那么就是無(wú)的放矢。這在數(shù)學(xué)教育上有重要意義。產(chǎn)生數(shù)學(xué)困難的主要原因是人的智力因素。下面我們就分別將三種困難的形成原因作一簡(jiǎn)單討論，同時(shí)也將說(shuō)明人的數(shù)學(xué)素質(zhì)或才能具有哪些方面的內(nèi)容。首先，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)合理性困難的產(chǎn)生是基于人的理解力、邏輯推理才能、想象力、記憶力和注意力的相對(duì)低下，所謂理解力主要是指對(duì)概念、性質(zhì)和關(guān)系的辯認(rèn)、分類才能，尋找邏輯關(guān)系或類比的才能。

14、假如一個(gè)人的理解力等不高，那么在他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中就會(huì)遇到種種合理性的困難。他會(huì)無(wú)法理解許多數(shù)學(xué)概念、無(wú)法發(fā)現(xiàn)命題之間的邏輯關(guān)系。面對(duì)一個(gè)如“蠟燭的長(zhǎng)度為，燭影的長(zhǎng)度比它長(zhǎng)，問(wèn)燭影的長(zhǎng)是蠟燭的幾倍這樣的問(wèn)題，他或者是不會(huì)解答，或者是答復(fù)“是三倍。即使給他再三提示，他也不會(huì)看出其答復(fù)的錯(cuò)誤來(lái)。因此，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)合理性困難首先是由于理解力相對(duì)低下而引起的。另外，記憶力和注意力相對(duì)低下也是引起數(shù)學(xué)合理性困難的一大原因。盡管具有一定的理解力，一時(shí)理解了的概念、命題和法那么，由于記憶力等不夠強(qiáng)、隨后也會(huì)象彭加勒所說(shuō)的那樣，忘記或混淆了概念、命題和法那么的內(nèi)涵，以及使用它們的條件和范圍。這種誤差只要有一

15、點(diǎn)點(diǎn)，結(jié)果就會(huì)是錯(cuò)的。其次，數(shù)學(xué)抽象性困難是由人們長(zhǎng)期形成的直觀思維定式所造成的。絕大多數(shù)人擅長(zhǎng)形象的直觀的思維，對(duì)于抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)人們往往駕御不了。假如他們?cè)诶碚撝谢颥F(xiàn)實(shí)世界里找不到數(shù)學(xué)符號(hào)的“原型，他們就將無(wú)法理解這樣的數(shù)學(xué)概念，他們總希望能喚起一種形象的直觀的東西。當(dāng)這種依賴形象和直觀事物的思維形式成為一個(gè)人的思維定式以后，他就會(huì)對(duì)不斷抽象的數(shù)學(xué)越來(lái)越無(wú)法理解。具有較好直觀性的初等數(shù)學(xué)有更多的人可以理解，而具有更高抽象性的高等數(shù)學(xué)沒(méi)有太多人可以理解，就說(shuō)明了這一情況，最后，數(shù)學(xué)的選擇性困難，我們認(rèn)為這是由于彭加勒所說(shuō)的數(shù)學(xué)直覺(jué)的缺乏而造成的。數(shù)學(xué)直覺(jué)是一個(gè)很難定義的概念，本文暫且以彭加勒

16、的看法為根底對(duì)此作個(gè)簡(jiǎn)要的描繪，即數(shù)學(xué)直覺(jué)是對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的特定排列次序的一種突發(fā)性的整體的感覺(jué)或領(lǐng)悟。由于“它并不是每一個(gè)人都具有的，因此有些人“不可能理解較高級(jí)的數(shù)學(xué)，便也不是什么奇怪之事了。通過(guò)以上闡述，我們把數(shù)學(xué)困難的存在，或者數(shù)學(xué)為什么難以理解的原因，歸結(jié)為人們數(shù)學(xué)素質(zhì)或才能的相對(duì)低下了，于是，剩下的任務(wù)便就成理解決這種素質(zhì)或才能為什么低下的問(wèn)題。這里我們無(wú)法對(duì)數(shù)學(xué)素質(zhì)下個(gè)確切的定義，但以為它應(yīng)該包括以下兩個(gè)方面的內(nèi)容：抽象思維才能確切地說(shuō)應(yīng)該是駕御形式符號(hào)的才能；數(shù)學(xué)直覺(jué)。注意：這里我們沒(méi)有把邏輯推理才能、理解力、想象力、記憶力和注意力等包括在數(shù)學(xué)素質(zhì)和才能的范圍內(nèi)，這是因?yàn)檫@些才能均

17、是一些更根本更一般的才能，它們不僅是理解數(shù)學(xué)所必須的，也是理解其它各門(mén)科學(xué)所必須的，只是具有這些素質(zhì)和才能還遠(yuǎn)遠(yuǎn)缺乏以理解數(shù)學(xué)。如律師和法官具有較強(qiáng)的邏輯分析和推理才能，詩(shī)人和畫(huà)家具有較強(qiáng)的想象力，但他們均可能理解不了微積分。這不是因?yàn)樗麄儾痪哂懈镜乃刭|(zhì)和才能，而是因?yàn)樗麄儾痪哂欣斫鈹?shù)學(xué)所特有的素質(zhì)和才能。我們認(rèn)為，理解數(shù)學(xué)特有的才能應(yīng)該是抽象思維才能的數(shù)學(xué)直覺(jué)。彭加勒把數(shù)學(xué)直覺(jué)當(dāng)作了最主要的原因，我們以為這是他出于數(shù)學(xué)創(chuàng)造這一更大背景來(lái)考慮的，假如單純從理解數(shù)學(xué)這一點(diǎn)上來(lái)說(shuō)，那么抽象思維才能或許是比數(shù)學(xué)直覺(jué)更重要的原因。在我們看來(lái)，數(shù)學(xué)是唯一的符號(hào)科學(xué)，這到不是因?yàn)槠渌麑W(xué)科中沒(méi)有符號(hào)，而是

18、因?yàn)橹挥袛?shù)學(xué)符號(hào)是沒(méi)有“內(nèi)容的，物理符號(hào)、化學(xué)符號(hào)都是有所指的，至少指稱一種理想物、想象物。因此，要理解數(shù)學(xué)必須具有駕御形式符號(hào)這一特殊才能。從小學(xué)算術(shù)到中學(xué)代數(shù)這個(gè)超越，是一部分學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)突然下降的關(guān)口；而從初等代數(shù)到高等代數(shù)這個(gè)超越，更是大多數(shù)人無(wú)法越過(guò)的關(guān)卡，其根本原因就是抽象性的不斷進(jìn)步。法官們可以作出邏輯性極強(qiáng)的分析和推理，但他們不會(huì)駕御形式符號(hào)，藝術(shù)家們可以作出令數(shù)學(xué)家也贊嘆的藝術(shù)想象，但他們不會(huì)想象形式符號(hào)。他們所能駕御和想象的是直觀的形象的詳細(xì)事物。下面我們就來(lái)看看人的根本素質(zhì)或才能，尤其是人的數(shù)學(xué)素質(zhì)或才能何以會(huì)相對(duì)的低下。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們要分兩部分來(lái)答復(fù)。一、就人的根本素

19、質(zhì)或才能的相對(duì)低下而言，我們認(rèn)為首先是人的先天遺傳因素引起的，神經(jīng)心理學(xué)告訴我們，任何一種心理活動(dòng)、認(rèn)知活動(dòng)都是以相應(yīng)的神經(jīng)生理活動(dòng)為根底，有沒(méi)有一個(gè)健全的興隆的腦神經(jīng)機(jī)能組織，將決定一個(gè)人能不能正常地理解一切事物。腦發(fā)育正常的人，他可以理解日常生活中的各種事物，可以理解一般的科學(xué)知識(shí)，甚至可以在某些學(xué)科上做出一定的奉獻(xiàn)，對(duì)于少數(shù)腦發(fā)育超常的人，那么可以在科學(xué)史上作出劃時(shí)代的出色奉獻(xiàn)如愛(ài)因斯坦。相反，對(duì)于腦發(fā)育有不同程度不良現(xiàn)象的人，他們往往不僅對(duì)理解數(shù)學(xué)是困難的，對(duì)理解其它各門(mén)學(xué)科也是困難的。當(dāng)然，除了先天遺傳因素外，后天教育，尤其是早期教育也是一個(gè)重要的因素。后天教育不得當(dāng)，就是先天條件比

20、較好的人，在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中也會(huì)受到不同程度的影響；反之，后天教育很得當(dāng)，先天條件就是有點(diǎn)弱，也會(huì)有所補(bǔ)償。但更重要的還是先天條件。二、對(duì)于我們更主要的問(wèn)題還是，為什么那些先天條件正常。即具備根本素質(zhì)和才能的人也理解不了較高深的數(shù)學(xué)。這些人中不乏高智商的人，他們可以在其各行各業(yè)作出出色的成績(jī)，但就是理解不了較高深的數(shù)學(xué)，我們認(rèn)為，造成這一現(xiàn)象的主要原因是一種先天的才能上的個(gè)性差異，心理學(xué)告訴我們，人們先天的才能的個(gè)性差異是客觀存在的，這種差異不僅表如今量上即開(kāi)展的程度，大小和早晚上，而且也表如今質(zhì)上即不同的人具有不同的特殊才能，以及對(duì)完成同一種活動(dòng)可能采取不同途徑和方法的傾向。重要的是，人的才

21、能的個(gè)性差異是有其神經(jīng)生理根底的，盡管人的才能的個(gè)性差異并不是單方面地由神經(jīng)生理根底決定，而是由人的神經(jīng)生理系統(tǒng)和外在環(huán)境影響下后獲得的暫時(shí)神經(jīng)聯(lián)絡(luò)系統(tǒng)決定的，但一切暫時(shí)神經(jīng)聯(lián)絡(luò)系統(tǒng)都是在一個(gè)人特有的神經(jīng)生理根底上形成的，故這些暫時(shí)神經(jīng)聯(lián)絡(luò)系統(tǒng)就都不可防止地要帶上一個(gè)人的神經(jīng)生理類型的獨(dú)特色彩，使不同人的才能具有個(gè)性差異。如有的人善長(zhǎng)藝術(shù)想象，而有的人善長(zhǎng)形式推理；有的人善長(zhǎng)形象記憶，而有的人善長(zhǎng)符號(hào)記憶。理解數(shù)學(xué)所特需的才能；對(duì)形式符號(hào)的抽象思維，對(duì)形式符號(hào)排列次序的整體直覺(jué)，就是一類非常特殊而典型的個(gè)性化才能。我們認(rèn)為，就是這種才能的上下，決定了一些人可以理解高深的數(shù)學(xué)、甚至是創(chuàng)造高深的數(shù)

22、學(xué)，而另一些人那么無(wú)法理解它。當(dāng)然，后天對(duì)于數(shù)學(xué)素質(zhì)或才能的強(qiáng)化培養(yǎng)與訓(xùn)練，在一定程度上是有效的，但這要以一定的先天素質(zhì)或才能為根底。先天素質(zhì)或才能較差，是不可能成功地進(jìn)展培養(yǎng)和訓(xùn)練的。經(jīng)過(guò)以上的闡述，我們還得出這么一個(gè)根本認(rèn)識(shí)，即數(shù)學(xué)是一門(mén)對(duì)人的先天素質(zhì)或才能有獨(dú)特要求的學(xué)科。大家知道，體育教練非常重視運(yùn)發(fā)動(dòng)的先天素質(zhì)，一個(gè)先天素質(zhì)優(yōu)良的運(yùn)發(fā)動(dòng)，經(jīng)過(guò)刻苦地訓(xùn)練就可以獲得優(yōu)異的成績(jī)，甚至是創(chuàng)造世界記錄。而一個(gè)先天體質(zhì)較差的人，就是再苦練也不會(huì)創(chuàng)造出令世人贊揚(yáng)的好成績(jī)，即決不是每一個(gè)人經(jīng)過(guò)訓(xùn)練就可以創(chuàng)世界記錄的。同樣，也決不是每一個(gè)人經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)就可理解高深的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的。同體育一樣，數(shù)學(xué)對(duì)人的先天素

23、質(zhì)有著極特殊的要求。世界著名的心理學(xué)家馬斯洛也認(rèn)為：“偉大的天才不僅多少賴于性格的優(yōu)良和安康，而且也有賴于我們對(duì)之理解很少的某種東西。例如，有些證據(jù)說(shuō)明，偉大的音樂(lè)天才和數(shù)學(xué)天才，更多地是通過(guò)遺傳而來(lái)，而不是后天獲得的。以上我們主要是從人的智力因素方面考察了數(shù)學(xué)為什么難以理解的原因。這固然是主要的一面，但有些非智力因素也可能是造成某些人不能理解較高深數(shù)學(xué)的重要原因。非智力因素很多，這里我們主要想就一個(gè)人的興趣、需要和意志三方面來(lái)談?wù)勥@個(gè)問(wèn)題。興趣是最好的老師。作為人對(duì)客體特殊的認(rèn)識(shí)傾向的興趣，無(wú)疑在人的認(rèn)識(shí)過(guò)程中發(fā)揮著重要作用，興趣這種認(rèn)識(shí)傾向性除了它的持久性和穩(wěn)定性特征外，對(duì)于主體來(lái)說(shuō)，總是

24、與快樂(lè)、喜歡和滿意等情感體驗(yàn)相伴隨的，即主體總是帶著“唯樂(lè)主義的情感去認(rèn)識(shí)自己感興趣的對(duì)象。因此，對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生，總是可以主動(dòng)地去抑制一時(shí)遇到的各種困難，并在抑制困難的同時(shí)感到更大的樂(lè)趣。他們也能體驗(yàn)到一種數(shù)學(xué)的美感：數(shù)和形的和諧，幾何學(xué)的雅致。當(dāng)數(shù)學(xué)一再引發(fā)起一個(gè)人愉快的情感體驗(yàn)時(shí)，那么他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣就不僅僅是一種簡(jiǎn)單的喜歡了，而是會(huì)上升為一種內(nèi)在的精神需要。這時(shí)他就會(huì)把對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究看作是自己生命精神的一部分，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一件非常主動(dòng)而情愿的事，就是不學(xué)反而感到失落、痛苦的一件事。這種人往往不怕困難，并且通常是主動(dòng)地進(jìn)攻困難。許多中學(xué)數(shù)學(xué)愛(ài)好者愿挑難題去作就說(shuō)明這一點(diǎn)。相反，一個(gè)對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒(méi)有內(nèi)在需要、甚至毫無(wú)興趣的人，盡管他的素質(zhì)和才能可能并不差，但真正遇到困難時(shí)他就很難主動(dòng)地持久地去攻克困難，于是一時(shí)的困難就成了他永久的困難。更主要的是這很快就會(huì)造成一種惡性循環(huán)，前面的沒(méi)有弄懂，后面的就更難明白了。可見(jiàn)，有沒(méi)有對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和需要，是一