1、高三年級第一次模擬考試數學(滿分160分，考試時間120分鐘)參考公式:1錐體體積公式：V=Sh,其中S為底面積，h為局.3圓錐側面積公式：S= M ,其中r為底面半徑，l為母線長.一、 填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共1t 70分.1 .已知集合 A = 0, 1, 2,集合 B = 1, 0, 2, 3,則 AAB=.2 .函數f(x)=lg (3-x)的定義域為 .,3 .從1, 2, 3, 4, 5這5個數中，隨機抽取 2個不同的數，則這 2個數的和為6 ; 7一的概率是I *2；while r0的實數x的取值范圍是 .9 .右 2cos 2 a= sinQ a 處 町，則

2、sin 2 a=.10 .已知 ABC是邊長為2的等邊三角形，D, E分別是邊AB, BC的中點，連結 DE并延長到點F,使得DE = 3EF,則AF bC的值為.11 .已知等差數列an的公差為d(dw0),前n項和為Sn,且數列，Sn+n也為公差為d的等差 數列，則 d =.1 412 .已知 x0, y0, x+y = x + y,貝U x+y 的最小值為 .13 .已知圓O: x2+y2=1,圓M：僅一0)2+82)2=2.若圓M上存在點P,過點P作圓。的兩 條切線，切點為 A, B,使得PAXPB,則實數a的取值范圍為 .14 .設函數 f(x) = ax3+ bx2+ cx(a,

3、b, cC R, aw).若不等式 xfx)af(x)w 2 對一切 xC R 恒成b -I- c立，則山的取值范圍為 a二、解答題：本大題共 6小題，共計90分.解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15 .(本小題滿分14分)在 ABC 中，角 A , B, C 所對的邊分別為 a, b, c,且 ccos B + bcos C=3acos B.2求cos B的值;(2)若 |CA CB|= 2, ABC 的面積為 2y2,求邊 b.16 .(本小題滿分14分)如圖，在四棱錐 VABCD中，底面ABCD是矩形，VD，平面ABCD ,過AD的平面分別與 VB ,VC交于點M , N.(1

4、)求證：BC，平面VCD;(2)求證：AD / MN.17 .(本小題滿分14分)某房地產商建有三棟樓宇 A, B, C,三樓宇間的距離都為 2千米，擬準備在此三樓宇圍成 的區域ABC外建第四棟樓宇 D,規劃要求樓宇 D對樓宇B, C的視角為120。，如圖所示，假設樓宇 大小高度忽略不計.(1)求四棟樓宇圍成的四邊形區域ABDC面積的最大值；(2)當樓宇D與樓宇B, C間距離相等時，擬在樓宇A, B間建休息亭E,在休息亭E和樓宇A,a,D間分別鋪設鵝卵石路 EA和防腐木路ED,如圖.已知鋪設鵝卵石路、防腐木路的單價分別為2a(單位：元/千米，a為常數).記/ BDE= 為求鋪設此鵝卵石路和防腐

5、木路的總費用的最小值.(2)18 .(本小題滿分16分)22已知橢圓C: X2 + b2=1(ab0)的長軸長為4,兩準線間距離為4亞.設A為橢圓C的左頂點, 直線l過點D(1 , 0),且與橢圓C相交于 巳F兩點.求橢圓C的方程；若4AEF的面積為 標，求直線l的方程；已知直線AE,AF分別交直線x=3于點M, N,線段MN的中點為Q,2設直線l和QD的斜率分別為k(kw。)，k求證：k 兇定值.19 .(本小題滿分16分)設數列an是各項均為正數白等比數列，ai=2, a2a4 = 64,數列bn滿足：對任意的正整數n,都有 aibi + ab2+ + anbn= (n1) 2n 1+2.

6、(1)分別求數列an與bn的通項公式；(2)若不等式 入2b；j r h-2b-j= 對一切正整數n都成立，求實數入的取 值范圍；(3)已知kC N*,對于數列bn,若在bk與bk+1之間插入ak個2,得到一個新數列5.設 數列Cn的前m項的和為Tm,試問：是否存在正整數 m.使得Tm=2 019?如果存在，求出 m的值； 如果不存在，請說明理由.20 .(本小題滿分16分)已知函數 f(x) = aln x bx(a , b C R).(1)若a=1, b=1,求函數y=f(x)的圖象在x=1處的切線方程；(2)若a=1,求函數y=f(x)的單調區間；(3)若b=1,已知函數y= f(x)在

7、其定義域內有兩個不同的零點x1, x2,且x1x2.不等式a0)恒成立，求實數 m的取值范圍.2019屆高三年級第一次模擬考試(二)數學附加題(本部分滿分40分，考試時間30分鐘)21 .(本小題滿分10分)求函數y=3cosj2x 3和圖象在x= 12處的切線方程.22 .(本小題滿分10分)已知定點A( 2, 0),點B是圓x2+y28x+12=0上一動點，求 AB中點M的軌跡方程23 .(本小題滿分10分)AC = 4, AAi=3, D 是 BC 的中點.在直三棱柱 ABCAiBiCi中，已知 ABAC, AB = 2, 求直線DCi與平面AiBiD所成角的正弦值；(2)求二面角BiD

8、CiAi的余弦值.24.(本小題滿分i0分)已知x, y為整數，且xy0 , 帆, + y2)ncosn 0, Bn= (x2+ y2)nsin n 0 .(i)試用x, y分別表示Ai, Bi；(2)用數學歸納法證明：對一切正整數n, An均為整數.x cos 0= Fx-y2工7sin 0= 2 1y 2,記 An=(x22019屆高三年級第一次模擬考試(二)(鎮江)數學參考答案1. 0,2 2. x|x 0, （6 分）則 cos B = 1.（7 分） 3（2）因為 BC（0,九 則 sin B0 , sin B =1 cos2B =l =232.（9 分）因為 |CA CB|=|bA

9、|=c=2, （10 分）又 S= :acsin B= jax 2xp=2/2, 223解得a= 3.（12分）由余弦定理得，b2= a2+c22accos B= 9+4 2 x 3X 2 x；= 9,則 b=3.（14 分）3故邊b的值為3.16 .（1）在四棱錐 VABCD中，因為 VDL平面 ABCD , BC?平面ABCD ,所以VD BC.（3分）因為底面ABCD是矩形，所以 BCCD.（4分）又 CD?平面 VCD , VD ?平面 VCD , CD n VD = D ,則BC，平面 VCD.（7分）（2）因為底面ABCD是矩形，所以 AD /BC, （8分）又AD ?平面VBC

10、, BC?平面 VBC ,則AD /平面 VBC , （11分）又平面 ADNM n平面 VBC = MN , AD ?平面 ADNM ,則 AD / MN.（14 分）17 .（1）因為三樓宇間的距離都為2千米，所以 AB=AC = BC = 2, （1 分）因為樓宇D對樓宇B, C的視角為120,所以/ BDC = 120, （2 分）在4BDC 中，因為 BC2 = BD2+DC22BD- DC cos/ BDC , （3 分）所以 22= BD2+CD22BD CD- cos 120= BD2 + CD2+ BD CD2BD CD + BD- CD = 3BD- CD,則 BD CD函

11、數f（的增函數.所以當0=, f（瞰最小值,i 人,1 + 2sin 0，令f （=0方解得此時 ymin=4a（元）.（12 分）答：（1）四棟樓宇圍成的四邊形區域ABDC面積的最大值為崢平方千米;3（2）鋪設此鵝卵石路和防腐木路的總費用的最小值為4a元.（14分）18. （1）由長軸長2a= 4,準線間距離22Xac=4也解得a= 2, c=m,（2分）則 b2= a2 c2= 2, 22即橢圓方程為：+y = 1.（4分）(2)若直線l的斜率不存在，則 EF=乖, AEF的面積S = 2AD-EF = 3*不合題意；(5分)若直線l的斜率存在，設直線l: y = k(x-1),代入得，(

12、1+2k2)x2-4k2x+ 2k2-4=0,因為點D(1, 0)在橢圓內，所以 A 0恒成立.設點 E(xi, y) F(x2, y2),皿4k*/2/3k2+2則八2= 2(? +V)，(6分)l-r222 2走x/3k2+2EF=q (x 一x2)十 ( yi y2) =/1 + k |xi x2|= V1 + k d , O1-2 .(7 分)1十2K點A到直線l的距離d為j3|K| , (8分),1 + K2則AAEF的面積sSdEF.早/口 呼苧=對2sm=皿，(9分)22 W + k1 + 2K1+2K解得K= 蟲.綜上，直線l的方程為x-y-1 = 0或x+y1 = 0.（10

13、分）(3)設直線 AE: y = xT2(x+2),令x=3,得點M消2j,一5y2同理可得點 N 3, x；+i 所以點Q的坐標為2 （普丁+2（：% ）（12分） 所以直線QD的斜率為K= 473 +xy2 （13分）而 *7 + *= K I1) + K (XL J =x1 + 2 x2+2x+2x2+2f 2x1x2+x1 + x2-4K 11x2 + 2 (x + x2)+4 J(14 分 )(15 分)2 k2 4由(2)中得，x1+ x2= 1 + 2k2, x1x2= 1 +2卜2,代入上式得，y1y2l j4K2-8+4K24 (1 + 2K2) x1 + 2 + x2+ 2

14、 = K! 2K24+8K2+4+8K2 ;12K2218k23k.則K =-56K.5 .所以k 憶一 6為7E值.(16分)19.(1)設等比數列an的公比為q(q0),因為 a=2, a2a4= aiq aiq3= 64,解得 q=2,則 an= 2n.(i 分)當 n= 1 時，aibi = 2,則 bi = 1, (2 分)當 n2 時，abi + a2b2+ anbn= (n_ 1) 2n 1 + 2, aibi + a2b2+ an ibn i= (n - 2) 2n+ 2, 由一得，anbn= n 2n,則 bn= n.因為 G-%-41G-2n)。,n都成立,當入w。時，不等

15、式顯然成立；（5分）1入111設 f(n) = (1 2)(1 4)(1 -2n)N2n+ 1,則402n+ 1 /2n+ 3，4n2+8n+32n+24n2 + 8n+ 4f(2)f(3) f(n) ,13所以予f(n)max=f(1)= Q , 2貝 u 0入 233,綜上入駕3.（8分）3 在數列cn中，從bi至bk（含bk項）的所有項和是:(1+2+3+ k) + (21+22+ 2k 1)x2=k ； 1)+2k+1 4.(10 分) 當 k=9 時，其和是 45+210-4= 1 0652019, (12 分)又因為 2 019- 1 065=954 = 477X2, (14分)所

16、以當 m= 9+(2+22+ 28)+ 477=996 時，Tm=2 019.即存在 m=996,使得Tm=2 019.(16分)20.當 a= 1, b= 1 時，f(x) = ln x-x, (1 分)則 f (x)11,則 f (句；一1 = 0.(3 分) x1又 f(1)=1,則所求切線方程為 y= 1.(4分)(2)當 a= 1 時，f(x) = ln x bx,則f，(x) - - b = -, (5 分) x x由題意知，函數的定義域為(0, +8),若b01成立，則函數f(x)的增區間為(0, +8)； (6分)1若b0,則由f(x)0,得x 二 當xC b 1 ;忖，f (

17、x) 0則函數f(x)的單調增區間為o, b (7分)當xC +寸，f (x)0時，函數f(x)的單調增區間+ 0 .(3)因為x1，x2分別是方程 aln x x=0的兩個根，即 aln x1 = x1，aln x? = x2.兩式相減 a(ln x2ln x1) = x2 x1, 1, x2 Xi -則a=, (9分),X2lnX1則不等式a0),可變為X2 x1X2 ln(1 m)x1 + mx2,邃-1兩邊同時除以X1得，X11 -m+mx2, (10分)X2 lnx;X1aX2t 1. .令t =,則-0 , In t0,LL r、r .t - 1.,所以 In t-1 _m+mt0

18、 在 tC(1, +8)上恒成立，(11 分)4t 1 ，令 k(t) = ln t-則 k傳1 - m+ mt2(m 1)1 ,當m2時，k (t)%(1, +8)上恒成立,則k(x)在(1, +oo )上單調遞增，2t (1 m + mt)m2 (t- 1)(m 1)21I2mJ(t1) m2t ( m 1) 22,t (1 m+ mt)又k(1)=0,則k(t)0在(1, +8)上恒成立；(13分)當(1 m) 2r 一1 71 ,即 0m2時,(1 m)-加，k (t)0則 k(x)在1,(1 m) 2,比單調遞減,則k(x)2.(16分)21.因為 y=3cos2x-y所以 y= 6

19、sin?x 3 j, (4 分)所以函數圖象在x = 12處的切線斜率k = 6sinj3；= -6.(6分)當x =,y=3cos3 0, (7 分)所以所求切線方程為y0= 612/,即 y= 6x+金.(10 分)22 .設點 M(x , y),點 B(x。, y).因為M為AB的中點，dX0 -2yo + 0 八所以 x=-2-, y = -2-，(4 分)所以 Xo=2x+2, y0=2y.(6 分)將點 B(xo, yo)代入圓 x2+y28x+12 = 0 得(2x 2)2 + 4y2=4,化簡得(x-1)2+y2=1.即點M的軌跡方程為(x 1)2 + y2= 1.(10分)2

20、3 .(1)在直三棱柱 ABCAiBiCi 中，有 AB LAC , AAiAB , AAJAC,故可以AB , AC, aAi為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系.（1分）因為 AB = 2, AC =4, AA1 = 3,所以 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(0, 4, 0), A1(0, 0, 3), B1(2, 0, 3), C1(0, 4, 3).因為D是BC的中點，所以D(1 , 2, 0).所以 DC=(1, 2, 3).設n 1=(x，y,4)為平面A1B1D的法向量, 因為 AB1 = (2, 0, 0), 蹌=(1, 2, 3),A. A1B1 n1 = 0, 所以舊1 D n 1 0,2x1 = 0, 即x + 2y 一 3z1 = 0,13m = (0, 3, 2). (3 分)令y1=3,則x = 0, z = 2,所以平面 A1B1D的一個法向量為設直線DC1與平面A1B1D所成的角為0,則 sin 仁 CU5 DC, n 1 |=12= 82,.13X 1491所以直線DC1與平面A1B1D所成角的正弦值為 唔82.（5分） 9 1. . ，,一-，一 -(2)由知DC1 = (T,