1、平面幾何五種模型等積，鳥頭，蝶形，相似，共邊1、等積模型等底等高的2個(gè)三角形面積相等2個(gè)三角形高相等，面積比=底之比2個(gè)三角形底相等，面積比 =高之比夾在一組平行線之間的等積變形（方方模型）等積模型是基本應(yīng)用應(yīng)是爛熟于心的都是利用面積公式得到的推定比例如下：1等底等高的2個(gè)平行四邊形面積相等2三角形面積等于它等底等高的平行四邊形面積的一半3 2個(gè)平行四邊形高相等，面積比=底之比；2個(gè)平行四邊形底相等，面積比=高之比2、鳥頭模型（共角定理）鳥頭定理：2個(gè)三角形中，有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這2個(gè)三角形叫做共角三角形。共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角） 兩小乂小夾邊的乘積之比（夾角 2邊大乂

2、大） 鳥頭定理的使用要火眼金睛，經(jīng)常需要自己補(bǔ)一條輔助線同時(shí)經(jīng)過 2次以上轉(zhuǎn)換對(duì)應(yīng)才能得到結(jié)果。如圖，淺紫色的三角形 ADE跟大三角形ABC是公ADX AEAbX AC用A角的，等于淺紫色三角形是“嵌入”在大三角形 ABC里面，注意，鳥頭定理用的是乘積比！不是單獨(dú)的線段比 小一小記憶上用夾角2邊大乂大 最好記，這里等于鳥頭定理的證明，寫出來是因?yàn)楹芏囝}目的解題過程， 都需要補(bǔ)這么一條輔助 線來過度連接2個(gè)看起來無關(guān)的圖形。證明的途徑其實(shí)跟我們?nèi)粘＝忸}途徑重 合，所以寫出來，仔細(xì)看。A經(jīng)由媒介的？ABE,聯(lián)系了 ？ADE和大三角形？ABCBE輔助線很重要！鳥頭定理是用等高（等于是用等積推算而得）

3、第二種的證明方式將對(duì)頂角壓回來 ？ABC內(nèi)，對(duì)頂角性質(zhì)是相等的, 所以壓回來的新？跟？ADE是全等？，再做一條輔助線就能用共角的 方式證明由對(duì)角的鳥頭定理互補(bǔ)角的鳥頭定理證明寫了這幾個(gè)證明，其實(shí)說的目的只有一個(gè)：連接小三角形和大三角形過度的那條輔助線，特 別重要!3蝴蝶模型任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）任蝴蝶GS S4：S3或者§S3S2右下S4S1空上+ 54右上=上面可上色= 三在F $一 F - F向出 二-唯1左上左下=左|»積型=S】有_L 一、：；二F -有間枳 =二戰(zhàn)2） AO ：oc s S2 ： S4 S3S1左上“右上【上下比】§2左下

4、=（有下41左上S2左下【上上比】=。右卜由上述比例可以按數(shù)學(xué)運(yùn)算原則推出很多規(guī)則：如S1左上S4右上面積交叉相乘的乘積相等-左卜=打卜=6 & S2 S, 梯形蝴蝶定理（梯蝴蝶）222-2 S1 : S3 a ： b > 上：下=a ： b2,22, 2 6：&§§ a ：b :ab：ab一上：下：左：右=a ： b :ab：ab,2s的對(duì)應(yīng)份數(shù)為 a b -a2+2ab+b 2=a2+b2+ab+ab有木有T4相似三角形形狀相同，大小不同的三角形，只要形狀不變，無論大小怎么改變， 他們都相似。1相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且 =它們的相

5、似比2相似三角形的面積比=相似比的平方3連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長(zhǎng) =它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半就是三角形任2邊中點(diǎn)連由來的中位線就是第三邊長(zhǎng)的一半！由題幾率：多產(chǎn)生于 2條平行線造成的相似三角形金字塔模型沙漏模型AD AE DE afAB = AC - BC =S?ADE: S?ABC=AF2: AG2特別注意！相似三角形的面積比是等于相似比的平方5共邊定理燕尾模型、風(fēng)箏模型、塞瓦定理共邊定理說明如圖一想知道？PAB和？QAB的面積比？我們就如圖二做個(gè)高，因?yàn)橥祝ň褪枪灿靡粋€(gè)邊）所以面積比 =高之比，再想辦法偷懶，延長(zhǎng) PQ、AB的線相交于 M

6、,那么剛學(xué)的相似三角形可以派上用場(chǎng)，因?yàn)椋縋DM?QEM 如圖三PD PM所以 二工共邊定理：若直線AB和PQ相交于點(diǎn)M （4種情況）則有PABqAB =PMQM圖三最常應(yīng)用到的其實(shí)是圖一，無論在三角形或四邊形上我們喜歡用共邊2方的不同三角形面積比來比曲線段比。（圖形不重疊）圖二的比例圖形有重疊，所以線段長(zhǎng)度也是重疊比圖三就是“燕尾定理”圖形不重疊，所以線段比不重疊。圖四是四邊形，做比的三角形有重疊， 而比值是四邊形的頂： 延長(zhǎng)線段QM（切記，唯一對(duì)比線段不在圖形內(nèi)的哈 ）共邊定理的證明S PABPMS AB =1 , M點(diǎn)是PQ和AB延長(zhǎng)后的交點(diǎn)2,取N ,使得MN長(zhǎng)度=ABS PAB s PNMPM 3、S qAB 二荷二s QNM?PNM和？QNM是等高？，塞瓦定理（燕尾定理模型補(bǔ)充）三邊比例互乘為1在"BC內(nèi)任取一點(diǎn) O,直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于 E、