1、第七章美式期權定價由于美式期權提前執行的可能，使得解決最優執行決策成為美式期權定價和套期保 值的關鍵。由第三章的內容我們知道，如果標的股票在期權的到期日之前不分紅，則美式 看漲期權不會提前執行，因為在到期日之前執行將損失執行價格的利息。但是，如果標的 股票在期權到期日以前支付紅利，則提前執行美式看漲期權可能是最優的。提前執行可以 獲得股票支付的紅利，而紅利的收入超過利息損失。事實上，我們將證明，投資者總是在 股票分紅前執行美式看漲期權。對于美式看跌期權而言，問題變的更復雜。看跌期權的支付以執行價格為上界，這 限制了等待的價值，所以對于美式看跌期權而言，即使標的股票不支付紅利，也可能提前 執行。

2、提前執行可以獲得執行價格的利息收入。許多金融證券都暗含著美式期權的特性，例如可回購債券(called bond),可轉換債券(convertible bond)，假設：1 市場無摩擦2.無違約風險3 .競爭的市場4.無套利機會1.帶息價格和除息價格每股股票在時間t支付紅利dt元。當股票支付紅利后，我們假設股價將下降，下降 的規模為紅利的大小。可以證明，當市場無套利且在資本收益和紅利收入之間沒有稅收差 別時，這個假設是成立的。Sc t = Se t dt這里Sc t表示股票在時間t的帶息價格，Se t表示股票在時間t的除息價格。這個假設的證明是非常直接的。如果上述關系不成立，即Sc t - Se

3、 t dt，則存在套利機會。首先，如果Sc t Se t dt，則以帶息價格賣出股票，在股票分紅后馬上以除息 價格買回股票。因為我們賣空股票，所以紅利由賣空者支付，從而這個策略的利潤為Sc t - Setdt °因為紅利是確定知道的，所以只要var Sc t - Se t =0,則利潤是沒有風險的。其次，如果Sc t <Se t dt，則以帶息價格買入股票，獲得紅利后以除息價格賣出，獲得利潤為Se t dt -Sc t。12 美式看漲期權在這一節，我們將證明，如果標的股票在美式期權到期日之前分紅，則美式期權有 可能提前執行，而且，如果美式看漲期權提前執行，則提前執行只發生在分紅

4、前瞬間。研究美式看漲期權提前執行的關鍵是看漲期權的時間價值（time value）的概念。下面我們引入時間價值的概念并分析時間價值的性質。符號：C 0 :美式期權在時間0的價格C0 :歐式期權在時間0的價格S 0 :標的股票在時間0的價格T :美式期權的到期日K :美式期權的執行價格B 0,T :面值為1的債券在時間0的價格PVJ I：括號內現金流在時間 0的現值考慮美式看漲期權這樣的執行策略：在到期日，不管股票價格是否大于執行價格， 我們都執行期權。（如果股票價格在到期日是虛值時，這個策略顯然不是最優的，但在這個 策略下美式看漲期權的現值是容易計算的）在這樣一個執行策略下，美式期權等價于執行

5、價格為K的遠期合約，所以為美式看漲期權的目前值為PV0 S T - K 1= S 0 - KB 0,T下面引入時間價值的概念。定義：以不支付紅利的股票為標的物的美式看漲期權的時間價值為TV 0 i=c 0 - S 0 - KB 0,T 丨（1）直觀上來說，時間價值是由于等待以決定執行期權而給期權合約帶來的價值增加 值。因為在到期日，期權是虛值時可以不執行，所以時間價值是非負的。因為C 0 -C 0 _ Max i, S 0 -KB 0,T，（ 2）所以（1）時間價值大于美歐式期權價格之差；（2）時間價值是非負的。下圖說明了看漲期權的時間價值作為股票價格的函數的性質。2下面我們我們考慮紅利的影響

6、。為簡單起見，假設紅利的大小和支付時間都是已知 的。我們先研究在期權的有效期之內，提前執行可能發生的時間。性質：給定正的利率，在兩次分紅之間或者到期日之前執行美式看漲期權不是最優 的。證明：考慮下圖0TodayTMaturity of OptiontEx-Divide nd Date首先證明在時間t之前不會執行。考慮兩種交易策略：策略1:馬上執行期權。這個策略價值為S 0 - K策略2:等到分紅前瞬間執行，即使期權是虛值的。這個策略在時間t的價值為cS t -K，從而該策略在時間0的價值為S 0 - KB 0,t 策略2的價值大于策略1的價值，所以應該等待。其次證明在分紅后和到期日之前的任何時

7、間也不會執行。 考慮兩種交易策略：策略1 :在分紅后馬上執行期權。這個策略在時間t的價值為Se t - K，策略2 :等到到期日執行，即使期權是虛值的。這個策略在時間T的價值為Se T - K，從而該策略在時間t的價值為Se t -KB t,T 策略2的價值大于策略1的價值，所以應該等待。如果期權的執行不是發生在分紅前的瞬間，則會損失利息但不會有任何收入。提前 執行的唯一收入是獲取紅利，所以美式期權除了在分紅前的瞬間和到期日外，其余時間不 會執行。下面討論在什么條件下會在分紅前瞬間提前執行美式看漲期權。我們通過比較分紅前瞬間執行與不執行美式看漲期權所獲得的收入來說明提前執行美式看漲期權的條件。

8、如果在分紅前的瞬間提前執行，則期權的價值為Sc t - K = Se t dt - K如果不提前執行，則期權的價值為C t。這個值是以股票的除息價為基礎的。C t = Se t - KB t,T TV(t)這里Se t -KB t,T是在到期日不管股票價格如何都執行的期權這樣一個策略在時間t的價值，TV(t)是利用除息價Se t來確定的。在分紅前瞬間執行期權當且僅當執行的價值大于不執行的價值，即Se t dt -K>Set - KB t,T TV(t)即dt>K 1-Bt,T 1 TV(t)( 3)條件(3)說明，在時間t執行期權當且僅當紅利大于執行價格的利息損失K 1 - B t

9、,T 1與以除息價為基礎的時間價值 TV (t)之和。由條件(3)(1 )如果股票不分紅，則美式期權不會提前執行。(2)美式期權提前執行是最優的當且僅當紅利充分大，以足以抵消執行價格的利息損失和 期權的時間價值。如果紅利很小，而離到期的時間很長，則不會提前執行。3 美式看跌期權美式看跌期權的提前執行問題與美式看漲期權的提前執行有很大區別。區別的原因 在于，美式看跌期權的支付以執行價格為上界，這限制了等待帶來的收益。相反，美式看 漲期權的支付沒有上界。即使標的股票不支付紅利，美式看跌期權的有界支付使得提前執 行變成最優的(當股票價格變的非常低時)。提前執行美式看跌期權的收益是獲得支付的 利息，而

10、成本是放棄任何可能的額外收益。當這種額外收益非常小時，提前執行的收益超 過放棄的成本。我們先定義美式看跌期權的時間價值。定義：以不支付紅利的股票為標的物的美式看跌期權的時間價值為TV 0 二 P 0 -KB 0,T -SO】(4)這里p(o)是美式看跌期權在時間o的價值，Kb o,t -so 1不是在到期日不管股票價格為多少都執行期權這樣策略在時間0的價值。直觀上來說，時間價值是由于等待以決定執行期權而給期權合約帶來的價值增加 值。因為在到期日，期權是虛值時可以不執行，所以時間價值是非負的。因為P 0 _ p 0 _ Max0, KB 0,T -S 0 ?(5)這里p(0)是執行價格、到期日均

11、與美式期權相同的歐式看跌期權的價值，所以(1)時間價值大于美歐式期權價格之差；(2)時間價值是非負的。下圖說明了看跌期權的時間價值作為股票價格的函數的性質。4下面我們討論紅利對看跌期權提前執行的影響。和前面一樣，我們假設在期權的有 效期內，每股股票在時間t支付已知紅利dt。我們先拓展看跌期權時間價值的定義。在期權到期日不管股票價格如何都執行期權 這樣一個策略在時間 0的價值為PV0 I.K Sb）丨-KB 0,T -So dtB 0,t 1它表示執行價格的現值減去股票除息價格的現值。和無紅利股票期權比較起來，由于分紅 導致的股價下降使得該策略增值。定義：以支付紅利的股票為標的物的美式看跌期權的

12、時間價值為TV 0i=P 0 KB 0,T - So -dtB 0,t E（6）（6）與（4）比較起來，差別在于紅利現值導致的調整。下面我們考慮美式看跌期權的提前執行問題。和前面一樣，我們通過比較執行與不 執行美式看漲期權所獲得的收入來說明提前執行美式看漲期權的條件。如果美式看跌期權在時間0執行，它的值為K - S（0） 如果不提前執行，它的價值是P（0）。利用（6）,我們可以寫成P 0KB 0,T - S 0 -dtB 0,t E TV 0因此，在時間0提前執行是最優的當且僅當K S（0 ）akB（0,T ） S（0）dtB（0,t W+TV（0）即K H - B 0,T 1 dtB 0,t

13、 TV 0（7）換句話說，提前執行是最優的當且僅當，在執行價格上獲得的利息超過損失紅利的現值與 看跌期權時間價值的和。從（7），我們得到性質：即使標的股票不分紅，美式看跌期權也可能提前執行。這個性質說明了美式看漲期權和美式看跌期權之間的主要差別。給定標的股票不分 紅，美式看漲期權不提前執行，而美式看跌期權有可能提前執行。性質：（H）紅利將推遲美式看跌期權的提前執行。 （2 ）美式看跌期權不會在分紅前瞬間提前執行。證明：（H）當紅利增加時，（7）左邊超過右邊的可能性減少。（2）考慮下面兩個可能的執行策略：策略在分紅前瞬間執行看跌期權，期權的價值為K - Se（t） d策略2:在分紅后馬上執行，期

14、權的價值為K -Se（t）期權在策略2下價值更高。（1）說明，紅利趨向于推遲美式看跌期權的提前執行，因為將來的紅利將導致股票價格在分紅日下降，等待這個下降將增加美式看跌期權價值。（2）說明進一步說明這個性質。它說明應該在分紅后而不是分紅前提前執行。4定價 前面討論了美式期權提前執行的一般性質。為了確定美式期權更明確的價格，我們 應該給出標的股票價格運動分布的進一步假設。本節我們在二項樹模型中討論美式期權的 定價。美式看漲期權 標的股票不分紅時，美式看漲期權的價格等于歐式看漲期權的價格。標的股票分紅 時，我們看下面的例子。例子 ：美式看漲期權定價考慮一個美式看漲期權，到期日為 1 年。標的股票現

15、在的價格為 100 元，股票在 6 個月時 將支付紅利 5 元。支付紅利的時間和大小都是確定的。期權的執行價格為90 元。6美式看跌期權 我們在前面已經證明，對于美式看跌期權而言，即使標的股票不分紅，美式看跌期 權也可能提前執行。而分紅推遲提前執行的時間。我們通過例子來說明。例子 ：美式看跌期權7The fact that it may be optimal to prematurely exercise an American put option, even if the un derly ing stock pays no divide nds, implies that at each

16、 node in the lattice we must check to see if the opti on should be exercised. This calculati on in creases the amount of comput ing time n ecessary to value the America put opti on.代數表示In the limit as =ttends to zero, an exact value for the American put is obtained. In practice, N =30 usually gives

17、reas on able results.5.利用二項樹模型給指標期權、外匯期權定價期權定價的二項樹模型可以拓展到標的股票提供以q為比率的連續紅利流的美、歐式看漲和看跌期權的定價。因為紅利提供的回報率為q，所以股票價格本身提供的回報率為 r -q。這時有等價鞅測度 p滿足Se(T = pSu + (l - p)Sde(r_q 冷(u + d) - ud -e«rT 4 =口加所以u -d因為我們可以把股票指標、外匯視為支付連續紅利收益率的股票，所以上面二項樹 模型可以以來給指標期權、外匯期權定價。這時，股票指標的紅利率是組成指標的證券組 合的紅利率，外匯的紅利率是外國的利率。例子：股

18、票指標期權定價 例子：外匯期權定價考慮一年到期的以英鎊為標的物的美式看跌期權。現在的匯率是1.6100美元，執行價格是1.6000美元。每個國內的利率是 8%,而英國國內利率是 9%，匯率的波幅為12%。求該期 權的價格。86 計算的復雜性當標的股票支付紅利后，二項樹模型中股票的價格不再重合。這增加了價格分枝的數量，從而增加了計算的復雜性。This in crease in the number of lattices causes comput ingtime to in crease exp onen tially as the nu mber of divide nds to be paid over the opti on '