1、CH13 拉普拉斯變換(Laplace Transformations)本章介紹拉普拉斯變換的定義、性質和反變換的應用；運算電路圖的畫法；用拉普拉斯變換分析電路。§13-1拉普拉斯變換定義教學目的：拉普拉斯變換的定義。教學重點：拉普拉斯正變換，拉普拉斯變換存在的條件。教學難點: 用拉普拉斯變換定義求幾個常見函數的拉氏變換。 教學方法：課堂講授。教學內容： 一、引言拉普拉斯拉斯變換可用于求解常系數線性微分方程，是研究線性系統的一種有效而重要的工具。拉普拉斯拉斯變換是一種積分變換，它把時域中的常系數線性微分方程變換為復頻域中的常系數線性代數方程。因此，進行計算比較簡單，這正是拉普拉斯拉斯

2、變換（簡稱：拉氏變換）法的優點所在。二、拉普拉斯拉斯變換的定義一個定義在區間的函數,其拉氏變換定義為:e-stdt式中：s=+j為復數，有時稱變量S為復頻率。應用拉普拉斯拉斯變換進行電路分析有稱為電路的復頻域分析，有時稱為運算法。F(s)又稱為f(t)的象函數，而f(t)稱為F(s)的原函數。通常用“L  ”表示對方括號內的函數作拉氏變換。三、幾個常見函數的拉氏變換12§13-2拉普拉斯變換的基本性質教學目的：本節將介紹拉氏變換的一些基本性質，利用這些基本性質，可以很容易的求得一些較復雜的原函數的象函數，同時，這些基本性質對于分析線性非時變網絡也是非常必要的。教學重點：拉普

3、拉斯變換的性質。教學難點: 用拉普拉斯變換的性質求得象函數。 教學方法：課堂講授。教學內容： 一、唯一性定義在區間的時間函數與其拉氏變換存在一一對應關系。根據可以唯一的確定其拉氏變換；反之，根據，可以唯一的確定時間函數。唯一性是拉氏變換非常重要的性質，正是這個性質，才是我們有可能將時域中的問題變換為復頻域中的問題進行求解，并使在復頻域中求得的結果有可能再返回到時域中去。唯一性的證明從略。二、線性性質若和是兩個任意的時間函數，其拉氏變換分別為和，和是兩個任意常數，則有：證：根據拉氏變換的定義可得例：求的拉氏變換。解：三、時域導數性質（微分性質）例：應用時域導數性質求的象函數。解：四、時域積分性質

4、（積分規則）例：  求單位斜坡函數及的象函數。解：五、時域平移性質（延遲性質）§13-3拉普拉斯反變換教學目的：具有單根、復根、重根三種情況下用部分分式及分解定理求待定系數法。教學重點：具有單根、復根時求待定系數法，熟練掌握反變換的求法。教學難點：部分公式及分解定理求待定系數法。教學方法：課堂講授。教學過程：每講完一種情況都讓學生練習，以鞏固學過的內容。教學內容：一、拉普拉斯反變換在應用拉氏變換分析問題時，首先要將時域中的參量變換為復頻域中的參量，并求得用象函數表示的解答，然后，再對象函數形式的解答進行拉斯反變換，以求得時域中的解答。求拉斯反變換最簡單的方法是利用拉氏變換表

5、，但一般必須進行一些數學處理，使其變為表中所列的形式。在電路理論中，常見的響應函數的象函數往往是s的有理函數，可直接應用部分分式展開法。將F(s)化為如下形式：式中：是被所除而得的商；是余式，其次數低于的次數。二、有個單實根設的個單實根分別為，則可展開為式中：為待定系數。若要求，將上式兩邊都乘，得令，則等式右端除外，其余各項均為零。故            同里可求得。所以，確定待定系數的公式為由于，所以因為是的一個根，所以上式為型不定式，故可用洛比塔法則來確定的值所以，確定待定系數的

6、另一公式為對應的原函數為例：  。解：三、有共軛復根的情況在式中，設有一對共軛復根，記為。則在的展開式中將包含以下兩項：其中由于實系數有理分式，故必為共軛復數。若設則于是，對應的原函數將是例：  求的原函數。解：四、有重根的情況設有一個階重根，其他均為單根，則的部分分式展開式為式中系數可按前面介紹的方法確定。為了求得系數，可將上式兩端同乘以，得到令，即可求得為了求出，可將上式兩端對求一次導數，再令，即得以此類推，可求得又因為，所以，當各系數確定后，即可求得的原函數例： 求的原函數。解  有一個三重根和一個單根，所以，可展開為  式中所以

7、0;     其相應的原函數為§13-4 運算電路教學目的：運算電路圖的畫法。教學重點：熟練掌握運算電路圖的畫法，正確計入儲能元件的的附加電源。教學難點：各種運算電路圖的畫法，注意電壓、電流的方向。教學方法：課堂講授。教學內容：一、基爾霍夫定律的復頻域形式二、電路元件電壓電流關系的復頻域形式及其電路模型1電阻2電感3電容4RLC串聯電路的復頻域模型   在討論各元件運算電路圖的基礎上，現在用運算法來分析RLC串聯電路，如下圖(a),其為運算電路圖如(b)圖。圖13-4 RLC串聯電路的復頻域模型注意：圖中的電壓和電流的方向。

8、§13-5用拉普拉斯變換進行線性電路的分析教學目的：會用拉普拉斯變換進行線性電路的分析。教學重點：熟練掌握用拉普拉斯變換進行線性電路的分析及步驟。教學難點：躍變的問題，方向的問題，畫輸出曲線的問題。教學方法：多媒體，課堂講授。教學內容：一、用拉普拉斯變換分析線性電路   對于一個線性時域動態電路來說，將其中的每一個元件用其復頻域電路圖表示，而不改變各元件間的聯接關系，可獲得該線性動態電路的復頻域電路圖。根據復頻域電路圖，便可用運算法進行分析，其一般步驟如下：（1）根據換路前一瞬間電路的工作狀態，計算電感電流和電容電壓的初始植，從而確定電路的復頻域模型中反映初始狀態的附加電壓源的電壓或附加電流源的電流。若已給出初始值，則不必再進行計算。（2）繪出電路的復頻域電路圖。（3）應用以前介紹的各種電路分析方法，對電路的復頻域電路進行分析，求出響應的象函數。（4）