1、1 引言18 世紀(jì)數(shù)學(xué)本身的發(fā)展， 以及這個(gè)世紀(jì)后期數(shù)學(xué)研究活動(dòng)的擴(kuò)張和數(shù)學(xué)教育的改革都 為 19 世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展準(zhǔn)備了條件 微積分學(xué)的深人發(fā)展， 才有了后面的洛比達(dá)法則， 而且 在英國(guó)和歐洲大陸是循著不同的路線進(jìn)行的在歐洲大陸，新分析正在萊布尼茨的繼承者 們的推動(dòng)下蓬勃發(fā)展起來(lái)伯努利家族的數(shù)學(xué)家們首先繼承并推廣萊布尼茨的學(xué)說(shuō) . 雅各 布·伯努利運(yùn)用萊布尼茨引用的符號(hào)，并稱之為積分，萊布尼茨采用他的建議，并列使用 微分學(xué)與積分學(xué)兩個(gè)術(shù)語(yǔ)雅各布·伯努利的弟弟約 . 翰·伯努利在萊布尼茨的協(xié)助之下 發(fā)展和完善了微積分學(xué) . 他借助于常量和變量，用解析表達(dá)式來(lái)定義函數(shù)

2、，這比在此之前 對(duì)函數(shù)的幾何解釋有明顯的進(jìn)步 . 他在求“ 0 / 0”型不定式的值時(shí)，發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)稱為洛必達(dá) 法則的方法，即用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限 . 約翰·伯努利的學(xué)生、法國(guó) 數(shù)學(xué)家洛必達(dá)的無(wú)限小分析 (1696) 一書(shū)是微積分學(xué)方面最早的教科書(shū)，在十八世紀(jì)時(shí) 為一模范著作，他在書(shū)中規(guī)范了這一種算法即洛必達(dá)法則，之后洛必達(dá)法則的也得到了廣 泛應(yīng)用，這對(duì)傳播微分學(xué)起到很大的作用 .從極限概念的產(chǎn)生到現(xiàn)在已經(jīng)經(jīng)歷了兩千五百多年的發(fā)展，漫漫的歷史長(zhǎng)河，人類在 尋求真理和科學(xué)的過(guò)程中不斷探索和總結(jié)，對(duì)于數(shù)學(xué)的探索給了人類科學(xué)發(fā)展以強(qiáng)大的動(dòng) 力我們應(yīng)當(dāng)對(duì)任何知識(shí)都認(rèn)真的學(xué)習(xí)、研

3、究及做出總結(jié)不僅踏尋前人的路跡，同時(shí)也 要從中開(kāi)創(chuàng)新的空間極限是數(shù)學(xué)分析的基石，是微積分學(xué)的基礎(chǔ)不定式極限是一種常見(jiàn)和重要的極限類 型，其求法多種多樣，變化無(wú)窮本文先介紹了洛必達(dá)法則的定義，然后對(duì)洛必達(dá)法則使 用條件及其常見(jiàn)誤區(qū)進(jìn)行了詳細(xì)分析，闡述了該法則適用于解決函數(shù)極限的類型并舉例說(shuō) 明其應(yīng)用，總結(jié)了洛必達(dá)法則的各種形式及使用范圍，并介紹了洛必達(dá)法則的基本應(yīng)用， 以及在使用洛必達(dá)法則解題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 文章還將法則的適用范圍推廣至求數(shù)列極限， 然后分析法則的使用過(guò)程中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤；最后通過(guò)具體實(shí)例說(shuō)明了可以將法則和其他 求極限方法結(jié)合起來(lái)使用，使我們對(duì)法則有了更深入的理解，進(jìn)而提高了應(yīng)用

4、洛必達(dá)法則 解決問(wèn)題的能力2 洛必達(dá)法則及使用條件在計(jì)算一個(gè)分式函數(shù)的極限時(shí)，常常會(huì)遇到分子分母同時(shí)趨向于零或無(wú)窮大的情況，由于這時(shí)無(wú)法使用“商的極限等于極限的商”的法則，運(yùn)算將遇到很大的困難，事實(shí)上， 這時(shí)極限可能存在，也可能不存在，當(dāng)極限存在時(shí)，極限的值也會(huì)有各種各樣的可能，如當(dāng) x a(或 x )時(shí)，兩個(gè)函數(shù) f (x)與 g (x)都趨于零或都趨于無(wú)窮大，那么極限lim f (x)可能存在也可能不存在 . 通常把這種極限叫做未定式，并分別簡(jiǎn)記為 0 型和 (xx a) g(x)0型. 未定式極限除了以上兩種外，還有0 型、 型、 0型、1 型、 00型等五種，后面幾種都可以轉(zhuǎn)換成前面兩

5、種類型來(lái)進(jìn)行計(jì)算， 因此掌握 0 型和 型極限的計(jì)算方法是0前提洛必達(dá)法則 0 型0定理 設(shè)函數(shù) f (x)， g(x) 滿足：(1)當(dāng) x a時(shí)，函數(shù) f(x)及 g(x)都趨于零；(2)在點(diǎn) a的某去心鄰域內(nèi)， f '(x)及 g'(x)都存在且 g'(x) 0；(3)lim f ' (x)存在(或?yàn)闊o(wú)窮大) ，x a g'(x)那么lim f(x) lim f'(x).x a g(x) x a g'(x)這就是說(shuō)，當(dāng) lim f'(x)存在時(shí)， lim f ( x)也存在且等于 lim f '( x) ；當(dāng)lim f

6、 '(x)為x a g'(x) x a g(x) x a g'(x) x a g'(x)無(wú)窮大時(shí)， lim f (x) 也是無(wú)窮大， 這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確 x a g(x)定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則 .證 明 因 為 f(x) 當(dāng) x a 時(shí) 的 極 限 與 f (a) 及 g(a) 無(wú) 關(guān) ， 所 以 可 以 假 定 g(x)f(a) g(a) 0 ，于是由條件( 1)、(2)知道， f (x)及g(x)在點(diǎn) a的某一鄰域內(nèi)是連續(xù)的，設(shè) x是這一鄰域內(nèi)的一點(diǎn)，那么在以 x及 a為端點(diǎn)的區(qū)間上，柯西中值定理的條件均滿足，因此有g(shù)

7、f(xx)gf(xx) gf(aa)gf''( )( 在x與a之間).令x a并對(duì)上式兩端求極限，注意到 x a時(shí)a ，再根據(jù)條件( 3)便得要證明的結(jié)論如果 f'(x)當(dāng) xg'(x)a 時(shí)仍屬于 0 型，且這時(shí)0f ' (x) ， g'(x) 都能滿足定理中f (x) ，g(x)所要滿足的條件，那么可以繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，從而確定lxima gf(xx)，即limxaf(x) g(x)lim f '(x)x a g'( x)lim f ''(x)x a g''( x)且可以依次類推 定理 設(shè)函數(shù)

8、 f (x)， g(x) 滿足：1)當(dāng) x時(shí)，函數(shù) f(x)及 g(x)都趨于零；(2)當(dāng) x N時(shí)， f '(x)及 g'(x)都存在且 g'(x) 0；(3) lim f '(x) 存在(或?yàn)闊o(wú)窮大) ，x g '( x)那么lim f(x) lim f'(x)x g(x) x g'( x)洛必達(dá)法則 型定理 設(shè)函數(shù) f (x)， g(x) 滿足：(1)當(dāng) x a 時(shí)，函數(shù) f (x)及 g(x) 都趨于 ；(2)在點(diǎn) a的某去心鄰域內(nèi)， f '(x)及 g'(x)都存在且 g'(x) 0；(3)lim f &

9、#39; (x)存在(或?yàn)闊o(wú)窮大) ， x a g' (x)那么limxaf (x) g(x)limxaf '( x) g'(x)定理 設(shè)函數(shù) f (x)， g(x) 滿足：1)當(dāng) x時(shí)，函數(shù) f(x)及 g(x)都趨于2)當(dāng) x N時(shí)， f '(x)及 g'(x)都存在且 g'(x) 0；3)lim f'(x) 存在(或?yàn)闊o(wú)窮大) x g '( x)那么limxf (x) g(x)limxf '( x)g'(x)這幾如下0型其他類型未定式除了上述的 0 型和 型未定式外，還有 1 ,00 , 0 ,0 , 等類型

10、的未定式 0種類型的未定式， 都可轉(zhuǎn)化為 0 型或 型的未定式， 即可利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解0圖所示：00,1 , 0 型具體步驟如下：(1) 0 型未定式，則可將乘積化為除的形式，即當(dāng) x x0或 時(shí)，若 f (x) 0, g(x)這樣， 0(2)這樣，xlimx0 f x g型未定式就變?yōu)樾臀炊ㄊ娇赏ㄟ^(guò)通分計(jì)算，即當(dāng)x limx x0 1f x 或 lim f xx x0gx0 型或 型未定式 .0x x0 或時(shí)，若 f (x)gxlximx g1x ，x x0 1, g(x)fx，則lim f x g xx x01( f xxlimx01 1f x g x型未定式就變?yōu)?0 型未定式0(

11、3) 00 ，1 ， 0型未定式可先化為以 e 為底的指數(shù)函數(shù)的極限, 再利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性, 轉(zhuǎn)為直接求指數(shù)的極限 , 而指數(shù)的極限形式為“ 0 ”型 ,再轉(zhuǎn)化為0 ” 型或“0”型計(jì)算 .當(dāng)xx0 或時(shí)，若 f(x) 0(或 f (x)1，或 f (x)， g(x) 0(或g(x)limx x0f(x)g(x)lim eg(x)ln f(x)x x0或 lim f(x)g(x)x x0g(x)ln f (x) lim eg(x)ln f (x) x x0lim g( x)ln f (x)ex x0 ，這樣就可利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解洛必達(dá)法則求極限的條件從定理知道 , 無(wú)論是“ 0 ”0型

12、還是“ ”型, 都必須具備一個(gè)重要條件 , 即在自變量的同一變化過(guò)程中， lim f '(x) 存在(或?yàn)?)時(shí)，才有 lim f(x) 存在(或?yàn)?)，且a) g'(x)(xx a) g(x)x(xlim f (x) lim f '(x) (xx a) g(x) (xx a) g'(x)但是此條件卻不便先驗(yàn)證后使用，所以連續(xù)多次使用法則時(shí)，每次都必須驗(yàn)證它是否為0 ”型或“ ”0型，其使用程序如下：lim f(x)(“ 0”)，(xx a) g(x) 0limxa(x )f '(x) (“ 0 ”)， (“ ”)， g'(x) 0. ，lxim

13、a f (nn 11)(x) (“ 0 ”)，若lim(xx a) g( n 1)(x)0(xx a)gf(nn)(xx)存在(或?yàn)?)，那么才有式子 lim f (x) lim f '(x)(xx a) g(x)(xx a) g'(x)(n 1)(x)(n 1)lim (n 1)(xx a) g(n 1)(x)lximagf(nn)(xx)成(xx a) g(n)(x)立。而上式成立是基lim f (x) (xx a) g(x)，lim f'(x) ，. ，lim(xx a) g'(x)(xx a)f(n 1)(x)gf (n 1)(xx)都是0 ”型未定式，

14、0而且從右到左依次相等， 但為了書(shū)寫(xiě)方便， 在應(yīng)用此法則求極限時(shí)總是習(xí)慣于從左至右寫(xiě)這樣 , 如果忽略了對(duì)條件的驗(yàn)證 , 就有可能出錯(cuò) .例題 問(wèn) a,b取何值時(shí)，下式成立？lxim01bx sinx0x t2 dt0 a t1，a 0.1解法( 1) limx 0 bx sinx0x t 2 dt0at“00”)limx 0 bx sin x a x0，I）x2而 lim0 ，由此可以得到 lim(b cosx)x 0 a x x 00，是 b 1 ，所以lxim012xcosx a xlxim0x2axaxx22x1lim lim x 0 1 cosx a x 0 sin x1，即 a 4

15、. 根據(jù)以上從左至右的推導(dǎo)順序，問(wèn)題出在式（I），即 limx10 b cosx2x 的存 ax在性并沒(méi)有論證，根據(jù)洛必達(dá)法則的條件，只有當(dāng)limx 0 b cosx存在時(shí)，式（ I ） ax才能成立，這個(gè)問(wèn)題往往在求極限時(shí)被忽視，因此后面的做法就是去了根基，所以上述解法 （1） 錯(cuò)誤 .x t20 dt 0解法( 2) lim 0 a t (“ 0 ”)x 0 bx sinx 0x2lim a x 0 ，如果 b 1 ，則上式等于 0，x 0 b cosx b 12與已知條件矛盾； 如果 b 1 ，則型未定式， 可用洛必達(dá)法則求解，x lim a x 是“ 0 ” x 0 b cosx 0x

16、 t 2 dt lim 0 a t ("0") x 0 bx sinx 0xaxlim a x (" 0x 0 1 cosx 0lim0ax2x1 cosx1 lim x2a x 0 1 cosxlxim0ax2x1 cosx11a lxim2.a.2x0 1 cosx2x lim x 0 sin x1, a 4.2 根據(jù)以上從右至左 , 多次應(yīng)用法則得a2x解法(2) 求出 lim a xx 0 b cosx0 后，b1討論了其存在性，排除了 b1的情形后，得出2”型未定式，若繼續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解，就避免了x b 1 ；此時(shí) lim a x 是“ 0x 0

17、 b cosx 0判定上述極限存在的錯(cuò)誤，該問(wèn)題的關(guān)鍵是討論 lim f '(x) 的存在性，只有它存在，才能 (xx a) F'(x)使用洛必達(dá)法則 .3 洛必達(dá)法則的應(yīng)用基本類型 : 0型及 型未定式0 在自變量的某變化過(guò)程中 , 對(duì)上述兩種基本類型可直接應(yīng)用法則求極限例 1 求 lim sinax (b 0) .x 0 sinbx解 這是“ 0 ”型未定式，0例2解例3解例4解例5解例6解例7sin axa cos ax alim limx 0 sin bx x 0 b cosbx b求 lxim1x3 3x 232xxx1這是“ 0 ”型未定式，0lxim1x33 x

18、2x2 x 13x2 3 lim 2 x 1 3x2 2x 1lim 6x 3x 1 6x 2 22 arctan x求 lim 2x1x2 arctanxlim 2 x1xlimx11 x21x22lim x 2 1 x 1 x2求 lim xnxx ( n 為正整數(shù)， e0).這是“”型未定式，相繼用洛必達(dá)法則n 次，得這是“ ”型未定式，n1limxlimxnxxelimxn ( n 1)x n 22xelimn!nxe0求 limx3sin x這是“ 0 ”型未定式，0求極限 limxnxxelimx 0 x3xsin xmli3x2cosxlim 6xsin x6limxnn 1x

19、nxxxlimxex en2n(n 1) xn 2 limx.xexn!. lim x 0 xe x3求極限 limxxln x這是“ ”型未定式，解 這是“ ”型未定式，32lim xlim 3xlim 3x3x ln x x 1xx注：在求極限時(shí) , 如果lim f'(x)還是 0型未定式 ,且 f'(x) , g'(x)仍滿足洛必達(dá)法則條 g'(x) 0件，則可繼續(xù)使用該法則求極限例8求 limx0ln cot xlnxln cot x lim x 0 ln x1( csc2 x)(“ 0 ”)lim cotxlim xx01x 0 sin xcosx0x

20、x1limlim1.x0sin x x 0cosx”)注：計(jì)算時(shí)要注意已知極限的分離如 lim x 1 ，否則會(huì)越算越復(fù)雜 x 0 sin x可轉(zhuǎn)化為基本類型的未定式極限洛必達(dá)法則只能解決 0 型及 型未定式函數(shù)極限 , 而對(duì)于某一極限過(guò)程中“ 0 0“”，“ 00 ”，“ 0”，“ 1 ”等 5 種類型的極限也可經(jīng)過(guò)一定變形 , 轉(zhuǎn)化為基本類型再用法則求之 .1例 9 求 lim x ex 1 .x解 此題為“ 0 ” 型未定式 , 將原式中的 x 寫(xiě)在分母上 , 使其變?yōu)椤?0 ”型后應(yīng)用洛 0必達(dá)法則 , 即1x e m lix1x1211xem lix”00“111xe m lixex

21、 m limli求解 此題為型未定式，lim 1 1x 1 x 1 lnx11 求極限 lim xx . x0這是 00 型未定式，設(shè)因?yàn)閘im所以ln x x 1 lim x1(x 1) ln“00”)limx11 x1ln xlimx12x12x，取對(duì)數(shù)得lny x ln x時(shí)，上式右端是未定式eln y，而y lim eln y12 求極限 lim (1x0，lim ln yx0limln y lim x ln x ee1x2)x.此極限是 0 型未定式，1 lim (1 x2 ) x x故有即可得到lim ( x ln x)x0limlnx1ex1 lim x1x20，limelim0

22、lim0e01.limx1 ln(1 exx2)lim exln(1xx2)limxex2x1 x 22x13 求極限 lim ( arctan x) x .當(dāng)x， arctan x2 arctan x1，因此這是limxxln(2 arctan x) limln( 2 arctan x)limxlimxarctan x“00”)當(dāng)x 0 ），e0 1.1 型未定式，由于有1 2 12 arctan x 1 x212x2，2 x xln( arctan x )lim ( arctan x) xlim exx數(shù)列極限的洛必達(dá)法則求解例14求 limnln n2解 此問(wèn)題可歸類到 “ ”型未定式極

23、限但由于題目中變量 n 為正整數(shù)對(duì)這些孤立點(diǎn)n 無(wú)法求導(dǎo) , 故不能直接利用洛必達(dá)法則求解應(yīng)先將極限式中的 n 換成連續(xù)變量 x ,求函數(shù) lim x 2 極限 , 再由歸結(jié)原則知原數(shù)列極限值， n ln x2故由歸結(jié)原則得limnlimnnln n2xlnx2limn12 2xlim xn. 該法則盡管求極限很方便但也并不是萬(wàn)能的 , 而且使用時(shí)也要謹(jǐn)慎 , 否則容易出錯(cuò)使用洛必達(dá)法則時(shí)不要忽視別的求極限方法洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法， 但最好能與其他求極限的方法結(jié)合使用 . 例如 能化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)盡可能先化簡(jiǎn)，可以應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小替代或重要極限時(shí)，應(yīng)盡可能應(yīng)用，這樣 可以運(yùn)算簡(jiǎn)便 .例 1

24、5 求lxim0taxn2sxinxx.解 如果直接用洛必達(dá)法則，那么分母的導(dǎo)數(shù)（尤其是高階導(dǎo)數(shù)）較復(fù)雜，如果作一個(gè)等 價(jià)無(wú)窮小替代，那么運(yùn)算就方便得多，其運(yùn)算如下：tanx xtanxxxtanxxlim 2lim 3lim 3x 0 x2 sinxx 0 x3sin xx 0 x3例 16求 limxolxim0sec2 x3x22sec2 xtanx1tanx1limlimx 0 6x3 x 0x313x sin3x2 tan x ln(1 x)解 顯然當(dāng) x 0 時(shí)， tanx x ， ln(1 x)x ，故lim 32x sin3xlim3x s3in3x lim 3 3co2s3x

25、x 0 tan x ln(1 x) x 0xx 03xlim 3sin3xx 0 2x該法則是通過(guò)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù) , 利用導(dǎo)數(shù)的極限求出原函數(shù)的極限 , 故只適用于函數(shù)極限的求解 . 然而在應(yīng)用時(shí) , 對(duì)“ 0 ”型及“ ” 型數(shù)列極限也可間接應(yīng)用 04 使用洛必達(dá)法則時(shí)常見(jiàn)錯(cuò)誤不符合條件的使用有時(shí)極限式并不滿足法則條件如用法則求解會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)果 , 主要有兩種情形1）極限式非未定式例17求lim 1 cos2x x 0 1 x2lxim01 cosx1 x2lim (1 cos2x)'x 0 (1 x2)'limsin x 12x 2由于本題不是未定式0 ”型 , 而上面錯(cuò)誤

26、地應(yīng)用了洛必達(dá)法則0從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論. 事實(shí)上 , 此題可以直接利用函數(shù)連續(xù)性得到結(jié)果lim 1 cos2xx 0 1 x22）使用法則求導(dǎo)后出現(xiàn)極限不存在現(xiàn)象1 特別當(dāng) x 0 時(shí) , 函數(shù)式中含有 sin1 或 cos 或當(dāng) x xx時(shí)函數(shù)式中含有sin x 或cosx 時(shí) , 用法則求極限時(shí)出現(xiàn)極限振蕩 , 此時(shí)法則失效 .21 x sin 例 18 求極限 lim x x 0 sin x分析 這問(wèn)題是0 ”型未定式 , 但分子、 分母分別求導(dǎo)后變成 lim0 x 012xsinx1cosx，cosx11而 sin 與 cos 當(dāng) xxx0 時(shí)極限均不存在，即此時(shí)法則失效，但原極限存在

27、，可用如下方法求得 .21 x sin lim x x 0 sin xlim xx 0 sin x1 x 1x sin lim lim x sin 1 0 0.x x 0 sin x x 0 xxmli 求9 例sinxx解 lim x sinx (“ xx0 ”)0lim 1 cosx （振蕩），法則失效，但原函數(shù)極限存在，可用如x方法求得 .limxx sinxsin x1 lim x1.多次使用法則后極限式出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象例 20 求 limxxxeexex e 解 lim x xex“00”)limxxexexexe“00”)limxxxeex ，求導(dǎo)兩次后極限 e式出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象 , 故洛

28、必達(dá)法則失效, 不能使用 . 但原式極限存在, 可用下面方法求得 :對(duì)離散點(diǎn)列求導(dǎo)例21 求 lim n n .xlimxxex elimx2xe2xe1.錯(cuò)解 屬于 0 型，先進(jìn)行變形，lim n n limxx1 nnlimx1lnnnx exlim lnn n1 lim n ex1e0 1.錯(cuò)誤原因： f （n） n n 是離散的點(diǎn)列，系列孤立的點(diǎn)，連續(xù)都談不上， 更不用說(shuō)可導(dǎo) .正解lim x x lim xxxlimx1lnxexlim ln x exxlimxex1x1 e0 1.因?yàn)?lim x xx1 所以 lim n nn1 （這是般”到“特殊”的過(guò)程）濫用導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性例

29、22 設(shè) f (x)在某U(0, )存在，且 f(0) 1, f (0)2 求 limxf(x)錯(cuò)解limx 0 1xf(x)lxim01f (x)11f (0) 2錯(cuò)誤原因：f (x) 在 x=0 處未必連續(xù) .選擇題可以用此解法，這是一種策略.)正解mli導(dǎo) 可 階 二mlimlilim xlim 1lim 11 1 (導(dǎo)數(shù)定義)x 01 f (x)x 0 f (x) 1x 0 f (x)f (0)f (0) 2xx01lim f (x h) f (x) f (x h) f (x)2 lhim0h h2 lhim0f (x) f (x)錯(cuò)誤原因：沒(méi)有分清在極限過(guò)程中0.h和x 誰(shuí)是變量，誰(shuí)

30、是常量錯(cuò)解 2xfmlix(fmlix(fmlim0lih1)x錯(cuò)誤原因：二階導(dǎo)函數(shù)未必連續(xù)，即：lim f (x h) f (x) 不一定成立 h0注：由 f (x)存在，但 f ( x)不一定連續(xù)， 所以第 2 個(gè)等號(hào)后面不符合洛必達(dá)法則的條件正解mli)( f2mlimlim lih11 f (x) f (x) f (x) (這是由導(dǎo)數(shù)定義得到的)25 用洛必達(dá)法則解題應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題洛必達(dá)法則是求不定式函數(shù)極限的一種普遍且有效的方法但在運(yùn)用洛必達(dá)法則解題 時(shí)發(fā)現(xiàn)，解題過(guò)程有時(shí)仍然較復(fù)雜，有時(shí)出現(xiàn)循環(huán)，甚至無(wú)法求解為充分發(fā)揮洛必達(dá)法 則的作用，提高解題效率，解題時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題 .1

31、）及時(shí)化簡(jiǎn)使用洛必達(dá)法則前，有時(shí)需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以視函數(shù)式的特征進(jìn)行分子、分母 有理化，或進(jìn)行簡(jiǎn)單的分離例24 求lim 1 x 1 3sinxcosx x 0x3分析：本題分子有 2個(gè)根式， 若直接運(yùn)用洛必達(dá)法則， 解題過(guò)程則較復(fù)雜， 如果進(jìn)行分子有理化并及時(shí)分離，則可以簡(jiǎn)化，解題過(guò)程如下：解 lim 1 x 1 sinxcosx x0lxim0 ( 31 x)2 ( 1 sinxcosx)2x 0 x3( 1 x 1 sin x cosx)2）及時(shí)替換在使用洛必達(dá)法則前，可以應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小替換時(shí)，應(yīng)及時(shí)進(jìn)行替換，以減少中間計(jì) 算量，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程x sin x 例 25 求 limx 0 xsin分析：注意到當(dāng)0 時(shí)， sinx解 lim x si2nxx 0 xsin2 xlimx0x sin x3xlim 2 x 0 sin2 xlim 1 cosxx02lim sin x 13x2x 0 6x63）及時(shí)變換有時(shí)使用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限時(shí)，發(fā)現(xiàn)會(huì)反復(fù)循環(huán)這時(shí)需要觀察題目的特征，及時(shí)變換例 26 求xx xlim 33x 33 x分析：直接使用洛必達(dá)法則，無(wú)法求解，分子分母同時(shí)除以x3 ，則問(wèn)題迎刃而解解 xlim 3xx 3 xxx 3x 3 xlimx32x 132x 1xlim 2ln3 322xx 1.x 2ln3 32x（4）及時(shí)整