1、全國第三屆研究生數學建模競賽題 目 維修線性流量閥時的內筒設計問題（C題）針對問題1，首先考察了內孔為四種特殊形狀的情況下，“過流面積”隨曲線下降距離的變化情況，得到凸凹圓曲線與嚴格線性面積特性曲線偏差的平方和最小，線性關系保持得比較良好。此后利用微元法證明了“過流面積”呈嚴格線性變化時曲線和外孔圓交點橫坐標的差為定值這一性質，得出了在此種情況下曲線在兩交點處的斜率應為無窮大。基于以上分析，利用最小二乘原理建立了無約束泛函極值模型，采用了變分法將其轉化為微分方程，再轉化為等效的變分原理，采用Ritz算法近似求解。最后通過對內筒孔曲線的合理假設，得到了滿足線性關系較好的內孔曲線形狀（見圖11），

2、其樣本點的偏差平方和為0.064412。針對問題2，利用最小二乘原理建立了有約束泛函極值模型。根據文中第四節中的引理，給出理想狀態下的內孔形狀。之后對其進行了微調，通過犧牲嚴格的線性關系來使其逐漸滿足兩個約束和，并最終找到了合適的內孔設計方案（見圖13（b）。最后針對外孔磨損情況提出了基于自動控制理論和逆向工程技術等的解決辦法。本文提出的模型是從考察內孔的特殊形狀中得到啟發的，從而具有實際應用價值和準確性。關鍵詞：線性閥體 最小二乘法 泛函極值模型 變分原理 非線性規劃一、問題的提出閥體是我們日常工作和生活中一種十分常見的工具。它種類繁多，其中線性閥體可使閥體的旋轉角度和流量成正比。因而它可使

3、人們方便地對流量進行控制。而如何設計線性閥體成為當今控制領域中研究的熱點問題之一。現在我們需要設計出一種閥體，它由兩個同心圓柱筒組成。外筒固定，其側面上有一個孔，形狀為兩個直徑不等的圓柱體的交線。內筒和外筒軸向之間沒有相對運動，內筒可以自由轉動。內筒的側面上也有一個孔，但它原來的形狀未知。要求設計出內筒孔的形狀，使得“過流面積”與內筒旋轉角成近似線性關系；在線性區間至少達“最大范圍”區間長度的75%以上，而且主要工作區的最大“過流面積”至少要達到外筒孔面積的85%以上，并且使“過流面積”和內筒的旋轉角度之間的“線性關系”盡量好的約束限制下，重新設計內筒孔的形狀。并且還要考慮當外筒孔發生磨損時要

4、采取的應對措施。二、模型假設1、閥體的旋轉角度與內圓筒相對移動距離成正比，圓筒移動距離與“過流面積”成正比。2線性閥體內外筒為薄壁筒，不考慮其壁厚給設計帶來的影響。3、外圓筒直徑與外圓孔直徑相差很大，展開后外圓孔面積變化足夠小，可近似視為圓形。4、內筒在轉動過程中，只存在周向水平運動，不存在垂直方向的運動。5、假設內圓孔設計曲線與外圓孔曲線最多只有兩個交點，可以有一段相切，且曲線連續。6、為簡化計算，假設外圓孔半徑為一個單位長度。三、變量設定：圓的半徑，在本文中為一個單位長度1；：待求內孔的曲線方程；：內孔下邊沿曲線方程；：外圓孔上半圓方程，即圓的方程；：曲線下降的距離微元；：曲線下降到某一位

5、置時其與初始位置的距離；：曲線從初始位置下降至“過流面積”達到最大值時的距離；、：分別表示曲線F(x)在移動過程中與曲線G(x)的交點；，：分別表示點、的坐標值；：曲線下降的距離與“過流面積”之間的線性比例；：曲線下降時“過流面積”的增加量；：“過流面積”的理想值，。四、問題的分析本文將內外兩個圓柱筒展開為平面，得到兩個長方形，于是將三維空間中物體的轉動問題化簡為二維平面上內孔與外孔相對移動的問題來求解，此外根據問題假設可將外筒孔近似視為圓孔。建立如圖1所示直角坐標系，用以坐標原點為圓心的單位圓來表示外圓孔，X軸與內、外筒的軸心平行。用任意曲線表示內圓孔曲線初始位置時的一部分，另一部分與其組成

6、封閉圖形，但是未畫出的部分與圓不相交，如圖1（a）所示。 （a） （b）圖1 曲線與圓相交求微元面積示意圖引理：若要使內孔旋轉角度（稱為開度）與“過流面積”滿足線性關系（這種關系稱為面積特性曲線），則內孔曲線必滿足其與外孔圓的交點橫坐標之差衡為常數，即，其中分別為內孔曲線與外孔圓的交點橫坐標。或者可以說即為面積特性曲線保持線性的必要條件。證明：假設某一時刻內孔曲線向下移動與圓相交，其方程為，當曲線向下移動微元時，“過流面積”的增加量由三部分組成，兩邊近似三角形面積和中間矩形面積（如圖1（b）所示），并可用以下積分表示： （1）若要使內孔旋轉角度（稱為開度）與“過流面積”滿足線性關系（這種關系式

7、稱為面積特性曲線），則只須使曲線的向下移動距離與“過流面積”滿足線性關系即可，即微元面積也與有線性關系： （2）曲線與圓的交點坐標x由方程（表示下降時的曲線）求得：， （3）， （4）整理方程（1）至（4）得： （5）其中表示利用（3）、（4）式算出的關于自變量的表達式，將（5）式整理可得： （6）兩邊同時取微分，并用代替，整理可得：在滿足條件下，根據方程（3）、（4）得： （7）即：（7）式的含義為：如果“過流面積”線性增加，則內孔曲線必滿足其與外孔圓的交點橫坐標之差為常數。即在向下移動過程中，其與圓的交點橫坐標之差為常數。到此引理證明完畢。以下在面積特性曲線呈嚴格線性關系時，對曲線的形狀進

8、行討論。沿坐標系軸的負方向移動，根據在與外孔圓交點處的斜率分兩種情況討論：1. 如果斜率的符號相反，則下一時刻新產生交點的橫坐標必然一個增大一個減小，那么它們的差值改變，因而不滿嚴格足線性關系；2. 如果斜率的符號相同，在曲線下移過程中兩交點橫坐標在某一時間段內的增減情況是一致的，但是當的某一交點先和外孔圓與X軸的交點重合后，該分支與外孔圓交點的橫坐標的增減情況將改變，而另一交點橫坐標的增減情況保持不變，此時差值改變，同樣也不滿足嚴格線性關系。由以上分析我們得出結論：只有在曲線在同外孔圓兩交點處的斜率都是無窮大的情況下，兩交點的橫坐標的差才是恒定的，此時，曲線下移距離與“過流面積”呈嚴格線性關

9、系，見圖2。圖2 滿足理想線性關系的內孔形狀由上圖可見該曲線從開始下降到A點時，完全滿足面積特性曲線呈線性關系，但是在A點以下就出現了非線性，且不滿足題目中“最大范圍”為外筒孔面積的要求，因此不可能存在嚴格線性關系的面積特性曲線，即不能通過選擇內筒孔形狀實現“過流面積”與內筒旋轉角度呈嚴格的線性關系。但此曲線證明了只要曲線與圓相交兩點的橫坐標之差為常數，那么面積特性曲線一定是線性的。當曲線與圓相交面積最大時即為外圓的面積，又因為面積與下降距離成線性比例，故五、基于問題1的模型建立1.模型探索在二維坐標系內，假設內孔曲線沿Y軸負方向移動。為了探索最佳內孔曲線形狀，本文首先考慮四種特殊的內孔：矩形

10、孔，凸圓孔，凹圓孔和凸凹圓孔，分別見圖3，圖4，圖5及圖6。圖4 凸圓孔圖3 矩形孔圖5 凹圓孔 圖6 凸凹圓孔以下利用方差分析評價四種不同形狀內孔的控制效果。根據最小二乘原則可得：面積特性曲線與嚴格面積特性曲線偏差的平方和越小，則其控制效果越好。(1)矩形內孔：矩形是最為簡單的情況，它在移動過程中與外圓孔所圍面積可表示為：在曲線上均勻選取200個樣本點，利用最小二乘法求得其與理想面積曲線偏差的平方和為3.4190。(2)凸圓孔：凸圓與外圓孔所圍面積可表示為：。由兩圓方程可得方程組，求解得到上式的積分區間為。選取樣本點后利用最小二乘法求得其與理想面積曲線偏差的平方和為13.6761。(3)凹圓

11、孔：我們設開始時凹圓和外圓孔是相切的，其方程為，下降后凹圓與外圓孔相交的邊界曲線方程為，而外筒孔下半圓曲線方程為。因而，凹圓與外圓孔所圍面積為。由可得到上式的積分區間為。選取樣本點后利用最小二乘法求得其與理想面積特性曲線偏差的平方和為13.6761。(4)凹凸圓孔：凹凸圓與外圓孔所圍面積分為Y軸左邊凸圓與外圓孔所圍面積和Y軸右邊凹圓與外圓孔所圍面積之和。我們分別計算兩部分面積，左邊凸圓與外圓孔所圍面積為：，我們由得出上式中的。右邊凹圓與外圓孔所圍面積為：，由得出上式中。選取樣本點后利用最小二乘法求得所對應的曲線與理想面積特性曲線偏差的平方和為0.4750。以上四種內孔形狀控制的面積特性曲線于嚴

12、格的線性面積特性曲線如圖7所示。通過對上述幾種特殊形狀內孔面積特性曲線的分析可知，凸凹圓作為內孔的形狀對砂漿流量的控制效果比較理想，然而與實際精度要求還相差甚遠。2.建立泛函極值模型結合以上對問題的分析和模型的初探，發現選取極特殊的內孔形狀無法得到較理想的面積特性曲線，為了更精確地逼近線性面積特性曲線，本文引入了最小二乘法的思想，通過殘差的平方和是否達到最小，來判斷面積特性曲線是否最優。圖7 5種面積特性曲線的比較為了使“過流面積”最大，內孔曲線形狀的上半部分須全部與外孔上半圓相交（見圖中陰影部分重合），因而假設內孔曲線形狀上半部分為半圓，而其余部分的形狀未定，為了簡化計算，可以假定內孔曲線形

13、狀的右半部分為直線，進一步可以假定是一條豎直線，根據以上分析內孔曲線形狀大致可取如圖8中的粗實線形狀，這樣只需確定圖中的曲線形狀即可。圖8 內外孔曲線示意圖定義：對某一類函數中的每一個函數有一個的值與之對應，那么變量稱為依賴于函數的泛函，記作：圖9 凸凹圓孔面積特性曲線不同的內孔曲線形狀影響了面積特性曲線的取值，因而是依賴于并與變量有關的泛函，記作：根據式（1）得本文的泛函極值數學模型為：目的是求，使得此泛函極值模型取得極小值。由圖所示可得邊值條件為：3.模型求解采用變分法求解泛函極值條件下未知場函數的形式，由泛函極值的必要條件歐拉方程，可將泛函極值模型轉化為未知場函數滿足的微分方程問題。考慮

14、到求解的復雜性，在求得歐拉方程之后，本文不將其轉化為歐拉方程形式，而變成微分方程仍將會建立與之相等效的變分原理，進而再求得基于它的近似解，這里采用Ritz算法。選取滿足以下邊界條件的一項多項式近似解則有 由于過流面積”一般形式的表達式復雜，故泛函求極值困難，本文將轉而利用已知條件及引理，合理地假設內孔曲線的形式，通過求解假設曲線中的參數，把問題簡化為求解一個有約束的非線性優化泛函極值問題。4.曲線假設及求解本文以關于點)對稱為原則選取形式。這主要是考慮到如果關于中心對稱，那么曲線下降后仍關于中心對稱。 圖10 中心對稱示意圖如圖所示，下降曲線與上半圓相交部分面積為：而對稱的下降曲線與下半圓相交

15、部分的面積為： 且曲線和距原點的距離均為，故積分結果相等。假如移入時相交面積為線性，則移出時相交面積仍為線性。根據以上假設，本文選擇的曲線方程是中心對稱的，且在開始時候與圓相切一段，曲線下移后與圓方程相交為兩個交點。曲線方程為：接下來求解，使其滿足上述泛函極值模型。曲線與圓只有兩個交點，把曲線與圓圍成的面積分成三段進行積分。通過設定的變化步長及范圍，求得使得總體殘差的平方和達到最小的，由上公式可得到，則上四分之一圓的曲線方程為：相交面積由三部分組成，分段求和：將含參積分以上各式帶入泛函極值模型 ，對各參數項再求偏導，令其等于0，并用Matlab步進搜索最優解求得極值情況如下：其中，是依據上述分

16、析得到的，曲線如圖11所示。圖11 最優內孔曲線形狀面積特性曲線如圖12所示。這一中心對稱形狀的面積特性曲線與嚴格面積特性曲線的最小二乘偏差平方和為0.0644，可見這一結果前面探索的模型相比精度很高了，此曲線為最優解。紅色嚴格面積特性曲線綠色中心對稱形狀面積特性曲線圖12 中心對稱形狀與嚴格面積特性曲線面積特性曲線六、基于問題2的模型建立依題意可知內孔曲線形狀應同時滿足以下兩個約束條件： （8）其中表示連續線性區域的總長度，于是基于問題1的無約束泛函極值問題轉化為有約束的泛函極值問題，即：由引理假設的形狀如圖13(a)所示，其函數方程為：其中，分別為中間矩形的寬和高，通過計算取最接近以上兩約

17、束的，值有：。此時純線性區間占“最大范圍”的70.71%，純線性區間內的最大“過流面積”為81.83%，可見不滿足題意要求。依據題目中“使過流面積和內筒的旋轉角度之間的線性關系盡量好”的要求，本文將通過犧牲嚴格的線性關系，來增加主要工作區的最大“過流面積”。(b)(a) 圖13 基于問題2的內孔形狀設計示意圖基于上述思想，本文將圖13（a）中的繞其與小圓弧的交點分別向外轉動角度，與其上端點相交為一半圓，如圖13（b）所示，此時的曲線方程為： （9）經計算有近似線性區間占“最大范圍”的70.71%，近似線性區間內的最大“過流面積”為95.18%，其面積特性曲線如圖14所示。仍然不滿足實際要求，但

18、是我們可以通過面積特性曲線發現：當梯形部分穿過外筒孔面積時，面積特性曲線可以近似為線性，通過計算其最小二乘偏差為0.0425689815，完全滿足實際需要。圖14 中間為梯形內筒孔的面積特性曲線圖下面我們用初等幾何的方法來計算內孔覆蓋面積與角度的關系，見圖15所示。圖15由圖可見ABCD是單位圓的內接正方形，設，由是圓心我們可得，。則。因為扇形EOD的面積為，所以陰影部分的面積為：那么最大“過流面積”為：由問題2對過流面積的要求我們得到，解此不等式發現，當時過流面積不低于外孔圓面積的85%。經計算，式9所示特殊情況下，本文利用Matlab編程，在范圍內，改變梯形的腰長，選擇最大的線性區間，此問

19、題轉化在約束條件下求極值問題。由于時間關系，本文沒能完成此項工作，但是經過我們充分的推理分析，計算處的最大線性區域必能滿足問題的要求，且求解簡單，具有相當大的可行性。七、對外筒孔磨損的討論考慮到內筒圓和外筒圓相對轉動時，外筒圓上各個部分受到摩擦的時間是不同的。外筒圓上最先和內筒圓邊沿曲線接觸的部位磨損得更加嚴重一些，原因是該部位在整個“開、關”過程中都處于“工作狀態”，見圖16。此外，外筒孔的磨損情況還與內筒孔的形狀有關。圖16當外筒孔發生磨損時，本文考慮到了以下問題：1) 閥體實際工作時外筒孔的磨損程度還與砂漿流量大小有關，流量越大，磨損程度越大，為了減小這樣的磨損，本文提出利用自動控制原理

20、，采用傳感器接觸檢測外筒孔磨損情況，當檢測到外筒孔磨損時，調整閥體旋轉角度使流量減小。2) 當外筒孔發生程度較輕的磨損時，外筒孔形狀發生變化，而且展開之后不能近似成圓形了，面積要變大，從而還要根據現有的外孔形狀重新設計內孔形狀以保證“過流面積”與內筒旋轉角近似成線性關系，這樣由于外孔磨損后的形狀不能確定，因而再次設計內孔形狀將面臨很大的困難，除非已知了外孔磨損后的形狀。3) 當僅僅需要固定的“過流面積”時，外筒孔磨損之后形狀向外擴展了，因而不需要原來的旋轉角度控制的流量來達到現有的“過流面積”，此時可以調整旋轉角度減小流量同樣能夠達到所需要的“過流面積”。八、模型的評價1通過分析，發現如果曲線

21、下移距離與“過流面積”呈線性關系，那么該曲線與外圓孔的兩交點橫坐標的差必為常數這一性質，并證明了當兩交點的橫坐標之差為常數時，曲線的在兩交點處的斜率為無窮大。以上對求解問題2提供了重要的理論依據。2針對問題1我們首先利用最小二乘原則對矩形孔，凸圓孔，凹圓孔和凸凹圓孔幾個規則外孔形狀對“過流面積”的控制效果進行了考察，實驗結果表明凸凹圓孔最優，并以此為基礎建立了比較合理的泛函極值模型。3最后設計出的內孔形狀比較簡單，只由圓弧和線段組成，從而降低了加工的難度和成本。4線性關系保持的還不太理想，需要設計補償孔來進行調整。5問題1中的模型雖然與實際情況符合的比較好，但這也為正確求解制造了不少麻煩，由于

22、解題時間有限，今后將嘗試對模型進行簡化。九、問題的進一步探索本節將闡述一下關于維修線性流量閥時內筒設計問題的有益探索。對于一些極其缺少的關鍵部件，國際上比較流行的制造方法是逆向工程（也稱為反向工程），它是以點云幾何造型為核心的逆向工程技術，以產品原型、食物、軟件或影像等作為研究對象，應用系統工程學、產品設計方法學和計算機輔助技術的理論與方法，探索并掌握支持產品、生命周期設計、制造和管理的關鍵技術，進而開發出同類的或更先進的產品。作為一種逆向思維的工作方式，逆向工程技術與傳統的產品正向設計方法不同，按照產品引進、消化、吸收與創新的思路，以“實物原理功能三維重建再設計”框架進行工作。對于本文在維修

23、線性閥時遇到的內筒孔設計問題完全可以在使用固井機之前先利用逆向工程技術對線性閥體進行數字化制造，重建線性閥體原型的數字化模型。這樣可以解決由于內筒孔磨損甚至外筒孔磨損了而導致沒有替代品的問題。【參考文獻】1張也影.流體力學.高等教育出版社.2002.22邢繼祥，張春蕊，徐洪澤.最優控制應用基礎.科學出版社.2003.3程其襄，張奠宙，魏國強，胡善文，王漱石.實變函數與泛函分析基礎.高等教育出版社.2004.4求是科技.MATLAB7.0從入門到精通.人民郵電出版社.2006.5何青，袁榮，王麗芬等.MAPLE經典.高等教育出版社.2002.6姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型.高等教育出版社.20

24、05.附錄1.步進搜索算法程序i:=0;for h from 0.0 by 0.01 while h a:=seq(j*3.14/316,sj,j=1.115);plot(a,style=point);i:=115;for h from 1.15 by 0.01 while h a:=seq(j*3.14/316,sj,j=115.201);plot(a,style=point);i:=201; for h from 2 by 0.01 while h a:=seq(j*3.14/316,sj,j=201.316);plot(a,style=point);2.基于K0.9開始搜索最優結果程序

25、k := .9; y1 := sqrt(1-(1-k)2); y0 := 3.1415926/2/k; k2 := -(y0-y1)/(1-k); i := 0; for h from 0 by .2e-1 while h = 2*(y0-y1) do i := i+1; upxi := fsolve(sqrt(1-x2) = k2*x+y0-h,x = -1.1 . 1.1,complex); dnxi := fsolve(-sqrt(1-x2) = sqrt(1-x2)-h,x = -1.1 . 1.1,complex); si := int(sqrt(1-x2)-(k2*x+y0-h),

26、x = x2 . 1-k)+2*int(sqrt(1-x2),x = x1 . 1)+h*(x1-(1-k) end do; for h from 2*(y0-y1) by .2e-1 while h = 2*y1 do i := i+1; upxi := fsolve(sqrt(1-x2) = -sqrt(1-x2)+2*y0-h,x = -1.1 . 1.1,complex); dnxi := fsolve(-sqrt(1-x2) = sqrt(1-x2)-h,x = -1.1 . 1.1,complex); si := int(sqrt(1-x2)-(-sqrt(1-x2)+2*y0-h

27、),x = -upxi . -(1-k)+2*int(sqrt(1-x2),x = dnxi . 1)+int(sqrt(1-x2)-(k2*x+y0-h),x = -(1-k) . 1-y1k)+h*(dnxi-(1-k) end do; for h from 2*y1 by .2e-1 while h a:=.9936708861e-2,0, .1987341772e-1,.9999958333e-2+.3443736326e-20*I, .2981012658e-1,.1999966666e-1+0.*I, .3974683544e-1,.2999887496e-1+0.*I, .496

28、8354430e-1,.3999733317e-1+0.*I, .5962025317e-1,.4999479118e-1+.3452514174e-20*I, .6955696203e-1,.5999099878e-1+0.*I, .7949367089e-1,.6998570571e-1+0.*I, .8943037975e-1,.7997866155e-1+0.*I, .9936708861e-1,.8996961577e-1+0.*I, .1093037975, .9995831769e-1+0.*I, .1192405063, .1099445165+0.*I, .129177215

29、2,.1199279611+.1385964056e-20*I, .1391139241, .1299084002+0.*I, .1490506329, .1398855825+0.*I, .1589873418, .1498592561+0.*I, .1689240506, .1598291691+0.*I, .1788607595, .1697950692+0.*I, .1887974684, .1797567039+0.*I, .1987341772, .1897138202+0.*I, .2086708861, .1996661649+0.*I, .2186075949, .20961

30、34844+0.*I, .2285443038, .2195555246+0.*I, .2384810127, .2294920312+0.*I, .2484177215, .2394227494+0.*I, .2583544304, .2493474239+0.*I, .2682911392, .2592657989+0.*I, .2782278481, .2691776183+0.*I, .2881645570, .2790826252+0.*I, .2981012658, .2889805625+0.*I, .3080379747, .2988711723+0.*I, .31797468

31、36, .3087541962+0.*I, .3279113924, .3186293753+0.*I, .3378481013,.3284964498+.1508293631e-20*I, .3477848101, .3383551597+0.*I, .3577215190, .3482052440+0.*I, .3676582279, .3580464411+0.*I, .3775949367, .3678784887+0.*I, .3875316456, .3777011237+0.*I, .3974683544, .3875140824+0.*I, .4074050633, .3973

32、171002+0.*I, .4173417722, .4071099118+0.*I, .4272784810, .4168922508+0.*I, .4372151899, .4266638503+0.*I, .4471518987, .4364244423+0.*I, .4570886076, .4461737580+0.*I, .4670253165, .4559115274+0.*I, .4769620253, .4656374801+0.*I, .4868987342, .4753513441+0.*I, .4968354430, .4850528468+0.*I, .5067721

33、519, .4947417143+0.*I, .5167088608, .5044176717+0.*I, .5266455696, .5140804431+0.*I, .5365822785, .5237297515+0.*I, .5465189874, .5333653185+0.*I, .5564556962, .5429868646+0.*I, .5663924051,.5525941092+0.*I, .5763291139,.5621867704+.2810204030e-20*I, .5862658228, .5717645649+0.*I, .5962025317, .5813

34、272082+0.*I, .6061392405, .5908744144+0.*I, .6160759494, .6004058963+0.*I, .6260126582, .6099213650+0.*I, .6359493671, .6194205304+0.*I, .6458860760, .6289031010+0.*I, .6558227848, .6383687833+0.*I, .6657594937, .6478172827+0.*I, .6756962025, .6572483029+0.*I, .6856329114, .6666615456+0.*I, .6955696

35、203, .6760567114+0.*I, .7055063291, .6854334986+0.*I, .7154430380, .6947916040+0.*I, .7253797469, .7041307226+0.*I, .7353164557, .7134505474+0.*I, .7452531646, .7227507697+0.*I, .7551898734, .7320310786+0.*I, .7651265823, .7412911613+0.*I, .7750632912, .7505307030+0.*I, .7850000000, .7597493868+0.*I

36、, .7949367089, .7689468934+0.*I, .8048734177, .7781229017+0.*I, .8148101266, .7872770879+0.*I, .8247468355, .7964091263+0.*I, .8346835443, .8055186885+0.*I, .8446202532, .8146054439+0.*I, .8545569620, .8236690592+0.*I, .8644936709, .8327091986+0.*I, .8744303798, .8417255237+0.*I, .8843670886, .85071

37、76935+0.*I, .8943037975, .8596853640+0.*I, .9042405064, .8686281888+0.*I, .9141772152, .8775458181+0.*I, .9241139241, .8864378995+0.*I, .9340506329, .8953040774+0.*I, .9439873418, .9041439930+0.*I, .9539240507, .9129572845+0.*I, .9638607595, .9217435867+0.*I, .9737974684, .9305025309+0.*I, .98373417

38、72, .9392337450+0.*I, .9936708861, .9479368537+0.*I, 1.003607595, .9566114775+0.*I, 1.013544304, .9652572334+0.*I, 1.023481013, .9738737347+0.*I, 1.033417722, .9824605905+0.*I, 1.043354430, .9910174060+0.*I, 1.053291139, .9995437820+0.*I, 1.063227848, 1.008039315+0.*I, 1.073164557, 1.016503598+0.*I,

39、 1.083101266, 1.024936218+0.*I, 1.093037975, 1.033336759+0.*I, 1.102974684, 1.041704798+0.*I, 1.112911392, 1.050039909+0.*I, 1.122848101, 1.058341660+0.*I, 1.132784810, 1.066609614+0.*I, 1.142721519, 1.074843330+0.*I: b :=1.142721519, 1.074843330+0.*I, 1.152658228, 1.083555961, 1.162594937, 1.092868

40、881, 1.172531646, 1.102519673, 1.182468354, 1.112430281, 1.192405063, 1.122556901, 1.202341772, 1.132870231, 1.212278481, 1.143348775, 1.222215190, 1.153975816, 1.232151899, 1.164737819, 1.242088608, 1.175623495, 1.252025316, 1.186623210, 1.261962025, 1.197728588, 1.271898734, 1.208932241, 1.2818354

41、43, 1.220227569, 1.291772152, 1.231608614, 1.301708861, 1.243069946, 1.311645570, 1.254606579, 1.321582279, 1.266213904, 1.331518987, 1.277887630, 1.341455696, 1.289623743, 1.351392405, 1.301418468, 1.361329114, 1.313268237, 1.371265823, 1.325169667, 1.381202532, 1.337119534, 1.391139241, 1.34911475

42、7, 1.401075949, 1.361152382, 1.411012658, 1.373229564, 1.420949367, 1.385343561, 1.430886076, 1.397491719, 1.440822785, 1.409671463, 1.450759494, 1.421880289, 1.460696203, 1.434115756, 1.470632911, 1.446375478, 1.480569620, 1.458657119, 1.490506329, 1.470958390, 1.500443038, 1.483277034, 1.510379747

43、, 1.495610831, 1.520316456, 1.507957590, 1.530253165, 1.520315142, 1.540189873, 1.532681339, 1.550126582, 1.545054047, 1.560063291, 1.557431146, 1.570000000, 1.569810522, 1.579936709, 1.582190066, 1.589873418, 1.594567669, 1.599810127, 1.606941218, 1.609746835, 1.619308594, 1.619683544, 1.631667666,

44、 1.629620253, 1.644016288, 1.639556962, 1.656352297, 1.649493671, 1.668673501, 1.659430380, 1.680977689, 1.669367089, 1.693262609, 1.679303798, 1.705525977, 1.689240506, 1.717765465, 1.699177215, 1.729978696, 1.709113924, 1.742163238, 1.719050633, 1.754316596, 1.728987342, 1.766436210, 1.738924051,

45、1.778519437, 1.748860760, 1.790563548, 1.758797468, 1.802565719, 1.768734177, 1.814523012, 1.778670886, 1.826432368, 1.788607595, 1.838290587, 1.798544304, 1.850094312, 1.808481013, 1.861840007, 1.818417722, 1.873523930, 1.828354430, 1.885142110, 1.838291139, 1.896690302, 1.848227848, 1.908163949, 1

46、.858164557, 1.919558132, 1.868101266, 1.930867495, 1.878037975, 1.942086172, 1.887974684, 1.953207674, 1.897911392, 1.964224749, 1.907848101, 1.975129195, 1.917784810, 1.985911602, 1.927721519, 1.996560975, 1.937658228, 2.007064191, 1.947594937, 2.017405124, 1.957531646, 2.027563187, 1.967468354, 2.

47、037510629, 1.977405063, 2.047206714, 1.987341772, 2.056581584, 1.997278481, 2.065441213: c:=1.997278481, 2.065441213, 2.007215190, 2.065441186, 2.017151899, 2.073669407, 2.027088608, 2.081931938, 2.037025317, 2.090228336, 2.046962025, 2.098558164, 2.056898734, 2.106920987, 2.066835443, 2.115316380,

48、2.076772152, 2.123743919, 2.086708861, 2.132203187, 2.096645570, 2.140693771, 2.106582279, 2.149215262, 2.116518987, 2.157767256, 2.126455696, 2.166349354, 2.136392405, 2.174961161, 2.146329114, 2.183602284, 2.156265823, 2.192272336, 2.166202532, 2.200970933, 2.176139241, 2.209697697, 2.186075949, 2

49、.218452250, 2.196012658, 2.227234219, 2.205949367, 2.236043237, 2.215886076, 2.244878937, 2.225822785, 2.253740956, 2.235759494, 2.262628936, 2.245696203, 2.271542520, 2.255632911, 2.280481356, 2.265569620, 2.289445093, 2.275506329, 2.298433384, 2.285443038, 2.307445885, 2.295379747, 2.316482255, 2.

50、305316456, 2.325542154, 2.315253165, 2.334625246, 2.325189873, 2.343731198, 2.335126582, 2.352859679, 2.345063291, 2.362010360, 2.355000000, 2.371182915, 2.364936709, 2.380377019, 2.374873418, 2.389592352, 2.384810127, 2.398828593, 2.394746836, 2.408085425, 2.404683544, 2.417362534, 2.414620253, 2.4

51、26659606, 2.424556962, 2.435976329, 2.434493671, 2.445312396, 2.444430380, 2.454667498, 2.454367089, 2.464041330, 2.464303798, 2.473433589, 2.474240506, 2.482843973, 2.484177215, 2.492272182, 2.494113924, 2.501717918, 2.504050633, 2.511180883, 2.513987342, 2.520660784, 2.523924051, 2.530157326, 2.53

52、3860760, 2.539670218, 2.543797468, 2.549199168, 2.553734177, 2.558743890, 2.563670886, 2.568304094, 2.573607595, 2.577879494, 2.583544304, 2.587469807, 2.593481013, 2.597074748, 2.603417722, 2.606694035, 2.613354430, 2.616327388, 2.623291139, 2.625974526, 2.633227848, 2.635635172, 2.643164557, 2.645309048, 2.653101266, 2.654995878, 2.663037975, 2.664695387, 2.672974684, 2.674407300, 2.682911392, 2.684131346, 2.692848101, 2.693867252, 2.702784810, 2.703614747, 2.712721519, 2.713373561, 2.722658228, 2