1、 論 文:線性代數的應用與心得體會 班 級： 姓 名： 學 號: 指導老師: 完成時間：2014年10月20日 目錄【摘要】2【關鍵詞】2一、線性代數被廣泛運用的原因2二、線性代數在實際中的應用21. 用二階行列式求平行四邊形面積，用三階行列式求平行六面面體22. 希爾密碼23.在人們平常日常生活的應用減肥配方的實現34、在城市人們出行的應用交通流的分析45、馬爾可夫鏈56、在人口遷移的應用人口遷徙模型6三、 心得與體會7 【摘要】我們對線性代數的了解大概是，線性代數理論有著悠久的歷史和豐富的內容，還有其主要知識：矩陣、方程組和向量；我們也應該了解其在眾多的科學技術領域和實際生活中的應用都十分

2、廣泛。下面就是看一些具體實例應用，和一些心得體會。【關鍵詞】線性代數 ；實際生活 ；應用實例；心得體會；。一、線性代數被廣泛運用的原因為什么線性代數得到廣泛運用，也就是說，為什么在實際的科學研究中解線性方程組是經常的事，而并非解非線性方程組是經常的事呢？原因之一，大自然的許多現象恰好是線性變化的，研究的是單個變量之間的關系。例如我們高中學過的物理學科中，物理可以分為機械運動、電運動、還有量子力學的運動。而比較重要的機械運動的基本方程是牛頓第二定律，即物體的加速度同它所受到的力成正比，其實這又恰恰符合基本的線性微分方程。再如電運動的基本方程是麥克思韋方程組，這個方程組表明電場強度與磁場的變化率成

3、正比，而磁場的強度又與電場強度的變化率成正比，因此麥克思韋方程組也正好是線性方程組。原因之二，之后隨著科學的發展，我們不僅要研究單個變量之間的關系，還要進一步研究多個變量之間的關系，因為各種實際問題在大多數情況下可以線性化，而且由于計算機的發展，線性化了的問題又可以計算出來，所以，線性代數因這方面的成為了解決這些問題的有力工具而被廣泛應用。原因之三，在數學中線性代數與幾何和代數有著不可分割的聯系。線性代數所體現的幾何觀念與代數方法之間的聯系，從具體概念變為抽象出來的公理化方法，對于強化人們的數學訓練，增強科學性是非常有用的。二、線性代數在實際中的應用1. 用二階行列式求平行四邊形面積，用三階行

4、列式求平行六面面體2. 希爾密碼希爾密碼（Hill Password）是運用基本矩陣論原理的替換密碼，由Lester S. Hill在1929年發明。每個字母當作26進制數字：A=0, B=1, C=2. 一串字母當成n維向量，跟一個n×n的矩陣相乘，再將得出的結果模26。注意用作加密的矩陣（即密匙）在mathbb_n必須是可逆的，否則就不可能譯碼。只有矩陣的行列式和26互質，才是可逆的。例題、設明文為HPFRPAHTNECL,密鑰矩陣為：3.在人們平常日常生活的應用減肥配方的實現大學生在飲食方面存在很多問題，多數大學生不重視吃早餐，日常飲食也沒有規律，為了身體的健康就需要注意日常飲

5、食中的營養。大學生每天的配餐中需要攝入一定的蛋白質、脂肪和碳水化合物，下表給出了這三種食物提供的營養以及大學生的正常所需營養（它們的質量以適當的單位計量）。設三種食物每100克中蛋白質、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中還給出了80年代美國流行的劍橋大學醫學院的簡捷營養處方。現在的問題是：如果用這三種食物作為每天的主要食物，那么它們的用量應各取多少？才能全面準確地實現這個營養要求。營養每100g食物所含營養(g)減肥所要求的每日營養量脫脂牛奶大豆面粉乳清蛋白質36511333碳水化合物52347445脂肪071.13設脫脂牛奶的用量為x1個單位（100g），大豆面粉的用量為x2個單位（100g

6、），乳清的用量為x3個單位（100g），表中的三個營養成分列向量為： 則它們的組合所具有的營養為使這個合成的營養與劍橋配方的要求相等，就可以得到以下的矩陣方程：用MATLAB解這個問題非常方便，列出程序ag763如下：A=36,51,13;52,34,74;0,7,1.1b=33;45;3x=Ab程序執行的結果為：即脫脂牛奶的用量為27.7g，大豆面粉的用量為39.2g，乳清的用量為23.3g，就能保證所需的綜合營養量。4、在城市人們出行的應用交通流的分析某城市有兩組單行道，構成了一個包含四個節點A,B,C,D的十字路口如圖6.5.2所示。在交通繁忙時段的汽車從外部進出此十字路口的流量（每小時

7、的車流數）標于圖上。現要求計算每兩個節點之間路段上的交通流量x1,x2,x3,x4。解：在每個節點上，進入和離開的車數應該相等，這就決定了四個流通的方程：節點A: x1+450x2+610節點B: x2+520x3+480節點C: x3+390x4+600節點D: x4+640x2+310將這組方程進行整理，寫成矩陣形式：圖3 單行線交通流圖其系數增廣矩陣為： 用消元法求其行階梯形式，或者直接調用U0=rref(A,b),可以得出其精簡行階梯形式為注意這個系數矩陣所代表的意義，它的左邊四列從左至右依次為變量x1,x2,x3,x4的系數，第五列則是在等式右邊的常數項。把第四列移到等式右邊，可以按

8、行列寫恢復為方程，其結果為：x1=x4+330, x2=x4+170, x3=x4+210 00由于最后一行變為全零，這個精簡行階梯形式只有三行有效，也就是說四個方程中有一個是相依的，實際上只有三個有效方程。方程數比未知數的數目少，即沒有給出足夠的信息來唯一地確定x1,x2,x3,和x4。其原因也不難從物理上想象，題目給出的只是進入和離開這個十字路區的流量，如果有些車沿著這四方的單行道繞圈，那是不會影響總的輸入輸出流量的，但可以全面增加四條路上的流量。所以x4被稱為自由變量，實際上它的取值也不能完全自由，因為規定了這些路段都是單行道，x1,x2,x3,和x4。都不能取負值。所以要準確了解這里的

9、交通流情況，還應該在x1,x2,x3,和x4中，再檢測一個變量。5、馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈（Markov Chain），描述了一種狀態序列，其每個狀態值取決于前面有限個狀態。馬爾可夫鏈是具有馬爾可夫性質的隨機變量的一個數列。這些變量的范圍，即它們所有可能取值的集合，被稱為“狀態空間”，而的值則是在時間n的狀態。如果對于過去狀態的條件概率分布僅是的一個函數，則這里x為過程中的某個狀態。上面這個恒等式可以被看作是馬爾可夫性質。例題、6、在人口遷移的應用人口遷徙模型設在一個大城市中的總人口是固定的。人口的分布則因居民在市區和郊區之間遷徙而變化。每年有6%的市區居民搬到郊區去住，而有2%的郊區居民搬到市

10、區。假如開始時有30%的居民住在市區，70%的居民住在郊區，問十年后市區和郊區的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？ 這個問題可以用矩陣乘法來描述。把人口變量用市區和郊區兩個分量表示，即其中xc為市區人口所占比例，xs為郊區人口所占比例，k表示年份的次序。在k=0的初始狀態：。一年以后，市區人口為xc1= (1-0.02) xc0+0.06xs0，郊區人口xs1= 0.02xc0 + (1-0.06)xs0，用矩陣乘法來描述，可寫成：此關系可以從初始時間到k年,擴展為,用下列MATLAB程序進行計算：A=0.94,0.02;0.06,0.98x0=0.3;0.7x1=A*x0,x10=

11、A10*x0x30=A30*x0x50=A50*x0程序運行的結果為：無限增加時間k，市區和郊區人口之比將趨向一組常數 0.25/0.75。為了弄清為什么這個過程趨向于一個穩態值，我們改變一下坐標系統。在這個坐標系統中可以更清楚地看到乘以矩陣A的效果。選u1為穩態向量0.25,0.75T的任意一個倍數，令u1=1,3T和u2=-1,1T。可以看到，用A乘以這兩個向量的結果不過是改變向量的長度，不影響其相角（方向）：初始向量x0可以寫成這兩個基向量u1和u2的線性組合；因此式中的第二項會隨著k的增大趨向于零。如果只取小數點后兩位，則只要k>27，這第二項就可以忽略不計而得到適當選擇基向量可

12、以使矩陣乘法結果等價于一個簡單的實數乘子，避免相角項出現，使得問題簡單化。這也是方陣求特征值的基本思想。這個應用問題實際上是所謂馬爾可夫過程的一個類型。所得到的向量序列x1,x2,.,xk稱為馬爾可夫鏈。馬爾可夫過程的特點是k時刻的系統狀態xk完全可由其前一個時刻的狀態xk-1所決定，與k-1時刻之前的系統狀態無關。3、 心得與體會沒上線性代數的時候，心中還有點忐忑，怕自己學不好。但是當真的學時，用心聽老師講的每節課，還是感覺很輕松的。然后每章結束后的習題，自己認真完成，不會的再翻翻以前學過的知識點和筆記，自己就會豁然開朗，而且死死地記住題型，考試的時候不會緊張而且游刃有余。可以總結一下，線性

13、代數主要研究三種對象：矩陣、方程組和向量。這三種對象的理論是密切相關的，大部分問題在這三種理論中都有等價說法。因此，熟練地從一種理論的敘述轉移到另一種中去，是學習線性代數時應養成的一種重要習慣和素質。如果說與實際計算結合最多的是矩陣的觀點，那么向量的觀點則著眼于從整體性和結構性考慮問題，因而可以更深刻、更透徹地揭示線性代數中各種問題的內在聯系和本質屬性。由此可見，只要掌握矩陣、方程組和向量的內在聯系，遇到問題就能左右逢源，舉一反三，化難為易。線性代數作為數學的一門，體現了數學的思想。數學上的方法是相通的。比如，考慮特殊情況這種思路。線性代數中行列式按行或列展開公式的證明就是從更簡單的特殊情況開始證起；解線性方程組時先解對應的齊次方程組，這些都是先考慮特殊情況。高數上解二階常系數線性微分方程時先解其對應的齊次方程，這用的也是這種思路。通過思想方法上的聯系和內容上的關系，線性代數中的內容以及線性代數與高等數學甚至其它學科可以聯系起來。只要建立了這種聯系，線代就不會像原來那樣瑣碎了。在線性代數的學習中，注重知識點的銜接與轉換，努力提高綜合分析能力。線性代數從內容上看縱橫交錯，前后聯系緊密，環環相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，學習時應當常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結，努力搞清內在聯系，使所學知識融會貫通，接口與切入點多了，熟悉了，思路自然就開闊了。現在我