1、立方體諧振腔中基模的場(chǎng)分布和能流分布的數(shù)值模擬08300190026 呂正大書(shū)上第233頁(yè)和講義中第二十一講都給出了諧振腔內(nèi)場(chǎng)的空間部分:% = 0諧振腔內(nèi)場(chǎng)的空間部分的解析解滿(mǎn)4足磁場(chǎng)和電場(chǎng)在諧振腔端面的邊界條其中ko, kc，kz分別等于:所以諧振腔中允許存在的諧振頻率為:由此，在諧振腔中磁感應(yīng)強(qiáng)度的系數(shù)己知的情況下，就可以得到諧振腔 內(nèi)各點(diǎn)的電場(chǎng)與磁場(chǎng)。并且若將諧振腔中的電磁波行為與等離子體中具有虛波矢的電磁波行為類(lèi) 比，可以看到二考的磁場(chǎng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度均有夕的相位差。推斷出在諧振腔內(nèi)部 半均沒(méi)有能流，即電磁波在腔中形成駐波，在三個(gè)方向上都沒(méi)有凈能最流動(dòng)。但是，在周期很短時(shí)，當(dāng)諧振腔內(nèi)的

2、電磁波來(lái)不及“往返”傳播一次時(shí)，由 于各處的電場(chǎng)和磁場(chǎng)都不為零，則必然會(huì)在諧振腔內(nèi)部形成能流Sp,并且能流大小方向均隨時(shí)間和位置變化，其平均值<Sp>=0o我嘗試采用Matlab軟件對(duì)諧振 腔內(nèi)部的電場(chǎng)和磁場(chǎng)強(qiáng)度，以及能流密度進(jìn)行了數(shù)值模擬，希望可以以更加直觀 的方式展現(xiàn)一個(gè)周期內(nèi)諧振腔內(nèi)電場(chǎng)、磁場(chǎng)和能流密度變化的情況。考慮時(shí)間因素后，任意時(shí)間t時(shí)諧振腔內(nèi)電磁場(chǎng)應(yīng)當(dāng)乘上時(shí)間部分因此= BQx (isina)t coscot) "Icdf = BOx (isina)t cosa)t) 一3 = 一Bg (isina)t coscot)eT3t = _Eg (isin3t c

3、osa)t) eia)t = EQx (isin3t coscot) eia)t = Eg (isinat coscot)能流密度Sp(波印廷矢量)為：Sp=(EXB)P Mo由于電場(chǎng)和磁場(chǎng)有效地部分只有它們的實(shí)部，而波印廷矢量只與真實(shí)的場(chǎng)有 關(guān)，所以在這里不能直接使用復(fù)數(shù)的E和B計(jì)算能流密度，而是要將它們先取實(shí) 部再代入公式，這也是我將時(shí)間部分寫(xiě)成isinu)t+cosu)t形式的原因。這樣真實(shí)的磁場(chǎng)和電場(chǎng)在x, y, z三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為:/7H7T /H7T (pil sin cos (石 y 丿 cos dZ)厲兀(3上)兀)s'71 (盼y) C0S (牛 z)/7n7T

4、/H7T /pH Bz = 2Bqcos (二-*丿 cos (zj sin(wt)Ty)5171 Vdzfcosx) cos (盲卩丿 si" z) cos(3t)爲(wèi)=0mnBx = 2Bq nnBy = 2 Bq cosH7T Cka= 2Bo 萬(wàn)幣y cosmnckQEv = 2Bqsin，a ki可以看到時(shí)間部分對(duì)電場(chǎng)起作用的只有COS(U)t),而對(duì)磁場(chǎng)部分起作用的只有sin(u)t),用這些實(shí)數(shù)量可以計(jì)算出能流密度Sp的解析式:Sp = »(ExB)l Mo=± (EyBz ex EXBZ ey 4- (ExBy - EyBx) ez)得到能流密度Sp

5、的三個(gè)分最:mnckQcosnn /nnTy）siny-ycos（3r）sin（3t）1 9Spx = 4F° a 好（霽加裁）D c°s 叫百刃 sinTyJ）sin （罟z） cos（3t）sin（3t）/mn /mn /nn /nn 蛙（vx）cos yx）sin Wy）sin yy）cos.z）sin（-z）m2n2 ckokz /mn 、 $rmi 、 zn/t 、 zn/i 、+ / 蛙 血（可*叫耳COS （萬(wàn)刃COS （石刃cos （號(hào)z） sin （竽z） coscotsint）mn /mn x） sin （x） cos a 丿 a fCOS1 o nn

6、ckQ% = 4亦百爲(wèi)咖（PH cos z a c . 1 d2 n27r2ckokz Sp"憂(yōu)瞰卡coscos（3t）sin（3t）mnnnnn這里可以將能流密度Sp的表達(dá)式化為2x, 2y, 2z, 2t的函數(shù)，但這樣會(huì)使 表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜，我們交給計(jì)算機(jī)來(lái)做這一步工作。同時(shí)可以看出實(shí)際上能流密 度Sp隨x, y, z, t的變化周期分別是蘭，與電場(chǎng)（磁場(chǎng)）隨x, y, z, t的 m n p變化周期竺，竺為兩倍的關(guān)系。所以，時(shí)間上，電場(chǎng)電場(chǎng)（磁場(chǎng)）變化一個(gè) m n p周期的時(shí)間內(nèi)能流密度Sp已經(jīng)變化了兩個(gè)周期：空間上，電場(chǎng)電場(chǎng)（磁場(chǎng)）的“波 峰數(shù)”恒定為能流密度Sp的“波峰數(shù)”的

7、一半。而同時(shí)，如果我們不考慮電磁場(chǎng)傳播和反射時(shí)的哀減，即諧振腔內(nèi)不需耍額外的波源來(lái)激勵(lì)電磁場(chǎng)，這樣電磁場(chǎng)內(nèi)任何一點(diǎn)的能量u（r,t）應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足電磁場(chǎng)能 量守恒的連續(xù)性方程：V - Sp（r, t） =t）知道了連續(xù)性方程后也就可以求出諧振腔內(nèi)各點(diǎn)電勢(shì)。軟件產(chǎn)生的是三維圖像，雖然可以通過(guò)直方圖或者切片圖顯示空間中各點(diǎn)的 能流密度Sp和能星u,但那將使動(dòng)畫(huà)變得復(fù)雜并且難以看懂，所以我們可以選擇 了幾個(gè)比較有代表意義的平而觀察能流密度Sp和能量u的變化情況。注意到我們計(jì)算的是TE波在諧振腔傳播的情況，所以這時(shí)p不能為0,否 則將沒(méi)有電場(chǎng)、磁場(chǎng)以及能呈的變化。同時(shí)，由于立方體的對(duì)稱(chēng)性，將諧振腔旋 轉(zhuǎn)90

8、度就可以得到相同條件下TM波的電場(chǎng)、磁場(chǎng)以及能最的變化。故我們可 以選取z=0.5和“0.7兩個(gè)平而來(lái)觀察電場(chǎng)、磁場(chǎng)以及能最的變化。并且由此推 測(cè)單周期內(nèi)諧振腔內(nèi)能最的流動(dòng)。考慮最簡(jiǎn)單的情況，a=b=d=lm,因?yàn)閺膱?chǎng)的表達(dá)式可以看出a, b, c取其 它數(shù)值只是等比例改變圖像各分量的大小，不改變場(chǎng)變化的形式。我嘗試用Matlab軟件模擬以下情況：，z=0.5時(shí) 基模101能流密度&能最的變化；2, z=0.7時(shí) 基模101能流密度&能暈:的變化；3, z=0.5時(shí) 基模101能流密度在xy平面上的變化：4, z=0.5時(shí) 基模101滋場(chǎng)強(qiáng)度的變化：5, z=0.7時(shí) 基模10

9、1磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化：6, z=0.5時(shí) 基模101電場(chǎng)強(qiáng)度的變化：7, z=0.7時(shí) 基模101電場(chǎng)強(qiáng)度的變化：8, z=0.5時(shí) 基模011能流密度&能量的變化；9, z=0.7時(shí) 基模011能流密度&能最的變化；10, z=0.5時(shí)模式111能流密度&能量的變化：1, z=0.7時(shí) 模式111能流密度&能最的變化：12, z=0.5時(shí) 模式111能流密度&能臺(tái)在xy 'F面上的變化；從動(dòng)畫(huà)1與8、2與9可以看出，基模011和基模101只不過(guò)是在xy軸上做 了一個(gè)交換，其他參量沒(méi)有改變，對(duì)電場(chǎng)和磁場(chǎng)強(qiáng)度的其他數(shù)值模擬（這里沒(méi)有 列出）也證明了這一

10、點(diǎn)。可以預(yù)測(cè)，TM波的基模與TE波基模的振動(dòng)形式應(yīng)當(dāng)完 全一致，即在長(zhǎng)方體諧振腔中，它們之間可以通過(guò)坐標(biāo)軸的變換而相互轉(zhuǎn)化。從動(dòng)畫(huà)47中可以看出，諧振腔中電場(chǎng)和磁場(chǎng)的變化卻呈現(xiàn)出不同，由邊界 條件可以得知，電場(chǎng)E在諧振腔邊緣只有法相分量，而磁場(chǎng)B則只有切向分最。 相似的地方在于，并且，無(wú)論z取何值，電場(chǎng)E的振動(dòng)方式兒乎不改變，依舊在 同一方向上振動(dòng)，而磁場(chǎng)B的水平方向分量則會(huì)發(fā)生變化。當(dāng)然這僅僅是對(duì)TE 波而言，對(duì)TM波，則振動(dòng)方式不改變的就是磁場(chǎng)B 了。關(guān)于能流密度Sp,可以發(fā)現(xiàn)基模時(shí)，能量其實(shí)是在4個(gè)對(duì)稱(chēng)的半腔內(nèi)來(lái)回反 射（TE/TM波），正好驗(yàn)證了前文能最隨空間變化率是電磁場(chǎng)兩倍的論斷。為此我 特意模