1、立體幾何二面角求法練習題1正方形ABCD-A iBiCiDi中，二面角 B-A iC-A的大小為 2、將/ A為60 °勺棱形ABCD沿對角線BD折疊，使A、C的距離等于BD，則二面角 A-BD-C的余弦值3、正四棱柱ABCD AiBiCiDi中對角線BDi = 8,BDi與側面BiBCC所成的為30。，則二面角Ci BDi Bi的大小為_;4、 從點P出發引三條射線 PA、PB、PC,每兩條的夾角都是60°則二面角 B-PA-C的余弦值是 _5、 二面角 a-l-3 的平面角為 i20 ° A、B l , AC 二 a , BD 二 3, AC 丄 l , BD

2、 丄 l，若 AB=AC=BD=i ，則CD的長;6、ABCD為菱形，/ DAB = 60 ° , PD丄面ABCD ,且PD = AD ,則面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小為。7、空間三條射線 CA、CP、CB , / PCA= / PCB=600 , / ACB=90 0 ,求二面角 B-PC-A 的大小。立體幾何二面角求法練習題第i頁立體幾何二面角求法練習題第i頁,AG8、如圖：Rt/ ABC中，斜邊 AB在平面與a所成角。立體幾何二面角求法練習題第i頁1、P是二面角：- AB - -的棱AB上一點，分別在:-,-上引射線PM、PN,若.BPM =/BPN =45

3、6; , .MPN =60°，則二面角- AB - -的大小為（）0 0 0 °A. 30B. 45C. 60D. 902、正方體 ABCD - A1B1C1D1中二面角 A-C1D1 -幾的大小為3、 在一個45。的二面角的一個面內有一條直線與二面角的棱成-角為4、如圖，立體圖形1A. arccos-345°則此直線與二面角的另一個面所成的OV-ABC的四個側面是全等的正三角形，則二面角V-AB-C的度數為（B.2 arccos-3C.J31arccos D. arccos- 6B5、如圖，若P為二面角 M-l-N的面N內一點，PB丄I, M所成角為3,A si

4、n6、在四棱錐 的大小。為I上一點，且/ FAB=a , PA與平面面角M-l-Na =sin 3 sin 丫 B P-ABCD中,ABCD是平行四邊形，PA丄平面的大小為y則有 （sin 3 =sin a sin 丫 C為垂足，A)sin 丫 =sinABCD , PA=AB=a , / ABC=30° ,求二面角 P-BC-Aa sin 3 D以上都不對7、過正方形 ABCD所在平面外一點 P作PA 平面ABCD，設PA=AB= a，求平面 PAB與平面PCD所 成二面角的大小。立體幾何二面角求法練習題第3頁8、如圖所示，已知四棱錐P-ABCD , PB_ AD ,側面PAD為邊

5、長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形, 側面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°。求二面角A-PB-C的大小。D1、如圖，在棱長為 a的正方體ABCD A1B1C1D1中，求：（1 ）面AiABB 1與面ABCD所成角的大小；（2） 二面角C1 BD C的正切值。2、如圖，在直三棱柱 ABC -A1B1C1中，平面ABC _側面AABBJI）求證：AB _ BC ； （II）若直線AC與 平面A1BC所成的角為 '二面角A - BC -A的大小為-，試判斷二與：的大小關系，并予以證明.3、如圖所示，多面體EF ABCD中，ABCD是梯形，AB/CD , ACFE是矩形

6、，平面ACFE _平面ABCD ,AD =DC =CB =AE =a , ACB 。 (1)求證：BC _ 平面 ACFE ; ( 2)若 M 是棱 EF 上一點，AM / 2平面BDF，求EM ；(3)求二面角B EF _D的平面角的余弦值。立體幾何二面角求法練習題第5頁立體幾何二面角求法練習題第#頁B立體幾何二面角求法練習題第#頁立體幾何二面角求法練習題第#頁4、如圖，在六面體 ABCD -A1B1C1D1中，四邊形 長為1的正方形， DD _平面ABCD， DD =2。ABCD是邊長為2的正方形，四邊形 A1B1C1D1是邊(1)求證：A1C1與AC共面，B1D1與BD共面；立體幾何二面

7、角求法練習題第#頁(2)求證：平面A1ACC1 _平面B1BDD1 ；(3)求二面角A - B1B - C的大小(用反三角函數表示)。C1立體幾何二面角求法練習題第#頁必考問題7：二面角參考答案_ _ O11(I)1、602、-3、 arcs in4、-5、23337、過PC上的點D分別作DE丄AC于E, DF丄BC于F,連EF,/ EDF 為二面角 B-PC-A 的平面角，設 CD=a, v/ PCA= / PCB=60°, CE=CF=2a，DE=DF= , 3a，又 v/ ACB=90 0，ef=2 2a,2 2 2 / 3a2 +3a2 8a2 . / EDF= -2 3a2

8、8、過點C作CD丄a于D，連AD、BD，/ DAC和/CBD分別為 AC、BC與a所成角，即/ DAC=45 0, / CBD=30 0,過點D作DH丄AB于H，連CH , CH丄AB ,即/ CHD為 平面ABCL2恵,AB= .6a , CH= a , / CHD=60 0,即為平面 ABC3 AC=2a, BC=2a與a所成角，設CD=a ,a所成的角。(II)1、D6、解:2、如圖°3、3045oPA丄平面 BD，過A作AH丄BC于H ,連結PH 丄 BC故/ PHA是二面角P-BC-A的平面角,a2PH , 則 又AH丄BC, 在中,AH=ABsin / ABC=aSin3

9、0Rt ABHLPRt PHA中,tan/ PHA=PA/AH= =2a2則/7、解：過 P 作 PQ/AB，貝U PQ 二平面 PAB , 因為 AB/CD，所以 PQ/CD , PQ 平面 PCD。 所以PQ為平面PAB與平面PCD的交線。因為PA _ AB，所以PA _ PQ。又因為PA_面ABCD , 所以CD _PD。故.APD即為所求。由于PA=AB=AD，所以故平面 PAB與平面 PCDPHA=arcta n2.CD _ AD ,DAPD =45°。所成二面角的大小為 45或13B。8、解：取PB的中點G, PC的中點F，連結EG, AG , GF,貝U AG _ PB

10、,所以EG=上3，在直角三角形 GAE中：AE= 1 AD = 1。2 23_ 3,又/ AGE -二- GAE ,所以所求角為二-arctan 2在直角三角形PEG中:EG 于是 tan GAE -AE(III)1、(1)900(2)正切值為<22、解(I)證明：如右圖，過點面AC丄側面 A1ABB1,且平面A在平面A1ABB1內作AD丄A1B于D,則由平A1BC 側面 A1ABB1=A1B,得AD丄平面A1BC又BC 平面A1BC，所以 AD 丄 BC.因為三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱，則 AA1丄底面ABC ,BC_ PB,且 PEG =60° ,K立體幾何二面

11、角求法練習題第7頁所以AAi丄BC.又AAi AD=A,從而BC丄側面AiABBi,又 AB 二狽5面 AiABBi,故 AB丄BC.(H)解法1:連接CD，則由(I)知.ACD是直線AC與平面AiBC所成的角,.ABA,是二面角Ai BCA的平面角，即.ACD - - . ABA,二監ADAD于是在 Rt ADC 中，sin,在 Rt ADB 中，sin,ACABTT由 AB vAC,得 sin rv sin :，又 Ov r,v ,所以 wx2解法2 :由(I)知，以點 B為坐標原點，以 BC、BA、BBi所在的直 線分別為 x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AAi=a,A

12、C=b,AB=c,則 B(O,O,O), A(O,c,O), C(.J ,0,0), A,(O, c,a),于是 BC =( b2 -c2,0,0), BA(0,c,a)1hN =AC = C.b2 -c2, -c,0), AA = (0,0, a).設平面A1BC的一個法向量為 n=(x,y,z)，貝UNW.丄 n _BA =0,m cy az =0,由 n 得 n _BC =0,b2 -c2x =0,可取n=(0,-a,c)，于是niAC二ac>0,AC與n的夾角一：為銳角，則與二互為余角.口 r n§ACacn 岸AC bja2 +c2cos® =BA¥

13、;BA = J : 2 ,所以 sin ® = J BA 曲A Ja2+c2Ja2+c2立體幾何二面角求法練習題第8頁立體幾何二面角求法練習題第#頁于是由cvb，得acb、a2 c2a.a2 c2立體幾何二面角求法練習題第#頁立體幾何二面角求法練習題第#頁即 sin rv sin :又 0v v,：:v ,所以， 23、解：(1 )平面 ACF E ABCD , ACB ，從而 BC AC。又因為 面 ABCD , 2面ACFE 平面ABCD,所以BC _平面ACFE .(2)練接 BD，即 AC BD =0,在梯形 ABCD 中，因為 AD 二 DC 二 CB = ： , AB /

14、 CD,n所以 ACD=/CAE=/DAC,n= “ABC BCD=“DAB ACD ACB=3 DAC ,2DAC =n,從而 CBO .又因為 ACB =n ,CB 二 a.連接 FO,由AM /平面 BDF 得6 6 2ir 3 AM / FO,又因為ACFE是矩形，所以EM二CO a.3立體幾何二面角求法練習題第9頁(3)以C為原地，CA、CB、CF分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系C 一 xyz,J3a則C(0,0,0), A(、. 3a,0,0), B(0, a,0),D(a, -一，0), F (0,0, a), E( . 3a,0, a),設平面 DEF22的一個法向量為

15、阮 BF =0r - cm =(r,s,t),則有.，即 3a r=0解得 n =(0,2,_1).壓 DF =0 '3 a,ar s a t =02 2同理可得平面 BEF的一個法向量為n2 =（0,1,1）,觀察知二面角B _ EF _ D的平面角為銳角，所以其余弦值cos Vn1 n2.J10nJ n2104、（ 1）證明：因為 所以 DD1 _DA， 于是 C1D1/CD， A1D1/DA。設E、F分別為DA、DC的中點，連結EF，A1E，C1F ,有 A1E/DD1，C1 F / DD 1，所以 A1E/C1F，于是 EF /A1C。由 DE=DF=1，得 EF/AC，故 A

16、1C1/AC，A1C1 與 AC 共面。過點 B1 作 BQ _ 平面 ABCD 于點 O,則 B1O/A1E, B1O/C1F。連結OE，OF，于是 因為 A1B A1D1, 所以點O在BD 上,（2）證明：因為 DD _平面ABCD，所以DD _ AC，又BD _ AC，DD1與BD時平面B1 BDD1內的兩條相交直線，所以 AC _平面B1BDD1。 又平面A1ACC1過AC，所以平面 A1ACC1 _平面B1BDD1。（3）解：直線 DB是直線BB1在平面ABCD上的射影，AC _ DB， 根據三垂線定理，有 AC _ BB。過點A在平面ABB1A1內作AM _ BB1于點M，連結MC，貝V BB1 _ 平面 AMC，于是 BB1 _ MC， BB1 _ MO， 所以.AMC是二面角A - BB -C的一個平面角。 根據勾股定理，有 AA = .5 ，C® =