1、精選優質文檔-傾情為你奉上11.2與三角形有關的角1三角形內角和定理(1)定理：三角形三個內角的和等于180°.(2)證明方法：證法多樣，主要是運用平行線知識把三個角轉移成一個平角，從而得到內角和是180°.如圖所示，過C作CMAB，將求ABACB轉化為求12ACB，或過A點作DEBC，把求BACBC轉化為求BACDABEAC.(3)理解與延伸：因為三角形內角和為180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定關系如：一個三角形中最多只有一個鈍角或直角；一個三角形中最少有一個角不小于60°；直角三角形兩銳角互余；等邊三角形每個角都是60°等(4)作用

2、：已知兩角求第三角或已知三角關系求角的度數談重點 三角形內角和定理的理解三角形內角和定理是最重要的定理之一，是求角的度數問題中最基礎的定理，應用非常廣泛【例1】 填空：(1)在ABC中，若A80°，C20°，則B_°；(2)若A80°，BC，則C_°；(3)已知ABC的三個內角的度數之比ABC235，則B_°，C_°.解析：(1)三角形內角和為180°，已知兩角求第三角；(2)可設Cx°，那么xx80180，求出x50.所以C50°；(3)設每一份為x，得2x3x5x180，求得x18，所以B5

3、4°，C90°.答案：(1)80(2)50(3)54902直角三角形的性質與判定(1)直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余如圖所示，在RtABC中，如果C90°，那么AB90°.【例21】 將一個直角三角板和一把直尺如圖放置，如果43°，則的度數是()A43° B47° C30° D60°解析：如圖所示，由平行線的性質可知，CEF43°，所以BDCCEF43°，DBC，在RtDBC中，DBCBDC90°，所以43°90°，所以90°43&#

4、176;47°.答案：B(2)直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形如圖所示，在ABC中，如果A+B=90°，那么C=90°，即ABC是直角三角形提示：由三角形的內角和定理可知，三角形的三個內角之和為180°，如果有兩個角的和為90°，那么第三個角自然是直角由直角三角形定義可知，該三角形為直角三角形【例22】 如圖所示，ABCD，直線EF分別交AB，CD于點E，F，BEF的平分線與DFE的平分線相交于點P，求證：EPF是直角三角形證明：ABCD，BEFDFE180°.EP，FP分別平分BEF，DFE，PEFBEF，PFED

5、FE，PEFPFE(BEFDFE)×180°90°，EPF是直角三角形3三角形的外角(1)定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角如圖，ACD就是ABC其中的一個外角(2)特點：三角形的一個外角和與它同頂點的內角互為鄰補角，這是內、外角聯系的紐帶一個三角形有6個外角，其中兩兩互為對頂角，如圖所示破疑點 三角形外角的理解外角是相對于內角而言的，也是三角形中重要的角，一個角對一個三角形來說是外角，而對于另一個三角形來說可能是內角；三角形的角是指的三角形的內角，這點要注意【例3】 在ABC中，A等于和它相鄰的外角的四分之一，這個外角等于B的兩倍，那么

6、A_，B_，C_.解析：A和與它相鄰的外角互為鄰補角，A又等于和它相鄰的外角的四分之一，所以A36°，A的外角為144°，所以B72°，根據三角形內角和為180°，可以求得C72°.答案：36°72°72°4.三角形外角性質(1)性質：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和如圖所示：1BC(或B1C，C1B)注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個頂點處取一個外角，是一半數目外角的和.(2)作用：求角的度數，在外角、不相鄰的兩內角中知道兩角能求第三角，也能求出相鄰內角的度數；證明角相等，一般是把外角作為中間關

7、系式證明角相等析規律 三角形外角的性質的理解三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩內角和，是由三角形內角和是180°和鄰補角關系推導出來的，是它們應用的延伸，所以用這個性質能得出的結論，用三角形內角和也能推出，但走了彎路因為三角形外角是通過圖表現出來的，具有隱蔽性，所以應用時要注意觀察圖形【例4】 如圖，一個直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個四邊形，則12_.解析：由三角形外角性質定理可知，190°AED，290°ADE，所以1290°AED90°ADE.因為90°AEDADE180°，所以12180°90°

8、;270°.答案：270°5三角形外角和(1)定義(規定)：如圖所示，在每一個頂點上取一個外角，如1，2，3，它們的和叫做三角形的外角和(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個頂點處取一個外角，是一半數目外角的和【例5】 如圖所示用兩種方法說明123360°.分析：方法一：根據同頂點的外角與內角互為鄰補角和三角形內角和定理證明；方法二：根據一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和及三角形內角和定理證明解：方法一：因為1BAC180°，2ABC180°，3ACB180°，所以

9、1BAC2ABC3ACB540°.又BACABCACB180°，所以123180°540°.所以123360°.方法二：因為1ABCACB，2BACACB，3ABCBAC，所以123ABCACBBACACBABCBAC2(ABCACBBAC)2×180°360°.點評：同一頂點上的內、外角互為鄰補角是內、外角關系轉換的最基礎的依據6.三角形內角和定理應用三角形內角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中關于角度計算的基礎，也是其他多邊形求角度數問題必備的基礎知識，目前它的應用方式主要表現在以下幾個方面：(1)已

10、知兩角求第三角這是內角和定理最簡單、直接的應用，一般是直接或間接給出三個內角中的兩角，求第三角，比較簡單，直接用180°減去兩角度數得出，往往與考查角的單位換算相聯系(2)已知三角的比例關系求各角這類題目一般給出三個角的比例關系，通過設未知數列方程的方法求解，一般是設每一份為x度，用含未知數的式子分別表示出每一個角的度數，根據它們的和是180°列方程求解，然后再求出每一個角的度數有時是通過求角的度數判斷三角形的形狀，但熟練后從比例關系中可以直接確定三角形的形狀(3)已知三角之間相互關系求未知角這類題目一般是已知各角之間的和、差、倍、分等的數量關系，通過等式變形，用一共同的角

11、表示其他兩角，然后根據內角和是180°列出等式，求出其中一角，然后再根據它們之間的數量關系分別求出另兩角，有時也可以列方程(組)求角的度數解技巧 利用三角形內角和求三角形的內角運用三角形內角和定理求角的度數題目形式多樣，方法也不同，要根據實際靈活運用7三角形外角性質的應用外角性質應用：三角形外角性質是三角形角度計算中的重要定理，也是求角度運算中常用的定理如圖所示，1是ABC的一個外角，在1，B，C三個角中，知道任意兩個角就可以求出第三個角1BC；B1C；C1B.破疑點 利用三角形外角的性質求一個角的方法因三角形外角的性質是由三角形內角和與鄰補角定義推出的，所以用外角性質能進行的運算，

12、用三角形內角和也能進行運算，但有外角時，應用外角性質更簡便，所以要改變原來習慣用三角形內角和定理的思維定式，學會運用外角性質定理解決問題8三角形內角和定理、外角性質、平行線性質綜合運用三角形內角和定理、外角性質定理都反映了角之間的數量關系，在求角度數問題中占有重要地位同樣平行線中也蘊含了大量的角之間的關系(兩直線平行，內錯角相等、同位角相等、同旁內角互補)，因此它們常常結合在一起，綜合應用，通過角的等量轉化，以求角的度數或證明角相等解技巧 三角形內角和、外角性質的綜合運用因為三角形的內角、外角以及形成的鄰補角、對頂角等都是通過圖形反映出來的，在已知中不提及，因此運用時要注意觀察圖形，善于發現各

13、角之間的位置關系，進而確定它們的大小關系【例61】 在ABC中，A80°，B60°，則C_°.解析：根據三角形內角和是180°，直接減去A，B的度數即可得出C的度數答案：40【例62】 已知在ABC中，A40°，BC40°，則B_，C_.解析：由BC40°得B40°C.根據三角形內角和是180°，列出等式ABCA40°CC180°，把A40°代入，求得C50°，進而求得B90°.答案：90°50°【例63】 在ABC中，ABC532，那

14、么ABC是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形 D任意三角形解析：根據比例關系和三角形內角和，設每一份為x °，那么A5x°，B3x°，C2x°，所以5x3x2x180，解得x18，直接得出A90°，所以ABC為直角三角形熟練后大家可以根據A所占的比例是整個比例中的一半，直接得出A90°，所以ABC是直角三角形答案：B【例64】 銳角三角形的三個內角是A，B，C.如果AB，BC，CA，那么，這三個角中()A沒有銳角 B有1個銳角C有2個銳角 D有3個銳角解析：因為三角形為銳角三角形，所以三角形中不存在鈍角和直角根據三角形內角和是1

15、80°可知，180°減任何一個角都大于90°，因此任意兩個角的和都是鈍角，因為，都等于三角形兩內角的和，所以它們都是鈍角，只有A正確，故選A.答案：A【例7】 填空：(1)如圖(1)，P為ABC中BC邊的延長線上一點，A50°，B70°，則ACP_°.(2)如圖(2)所示，已知ABE142°，C72°，則A_°，ABC_°.(3)如圖(3)，3120°，則12_°.解析：(1)由三角形外角性質可知ACPAB50°70°120°.(2)由三角形外角

16、性質可知AABEC142°72°70°；ABC與ABE互補，所以ABC38°.(3)觀察圖形，根據三角形外角性質可知，1是三角形外角，124，4與3互為鄰補角，所以4180°3180°120°60°，即1260°.答案：(1)120(2)7038(3)60【例81】 如圖(1)，將一等邊三角形剪去一個角后，12等于()A120° B240° C300° D360°解析：如圖(2)，由三角形外角性質定理可知，135，234，所以123534.因為三角形為等邊三角形，所

17、以360°，由三角形內角和定理可知345180°，所以1260°180°240°，故選B.答案：B【例82】 如圖，ab，則下列式子中值為180°的是()A BC D9.運用三角形內角和定理判斷三角形形狀判斷三角形形狀是三角形問題中經常遇到的題目，而判定三角形形狀方法多樣，其中運用三角形內角和定理求角，進而判斷三角形形狀是最常用的方法因為三角形按角分類可以分為三類：鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形，此外根據角的度數還能判定等腰三角形、等邊三角形，因此根據三角形內角和定理求出三角形某些角的度數，不僅可以按角分類判斷三角形的形狀，還可以

18、按邊分類判斷三角形的形狀，進而了解邊的大小關系解技巧 利用三角形內角和確定三角形的形狀運用三角形內角和定理求角判斷三角形形狀問題比求角度問題多一步判斷，但不同點是：判斷形狀不是求出所有角，而是根據所給三角形各內角關系，求某些關鍵的角，一般是最大角，然后進行判斷解析：如圖，因為ab，所以2，1.由圖可知12180°，得180°，所以A正確，故選A.答案：A【例91】 一個三角形三個內角的度數之比為237，這個三角形一定是()A直角三角形 B等腰三角形C銳角三角形 D鈍角三角形解析：設三個內角度數分別為2k°，3k°，7k°，由三角形內角和定理，得

19、2k3k7k180，解得k15，所以2k30，3k45,7k105.所以這個三角形是鈍角三角形，故選D.答案：D【例92】 在ABC中，若A2B3C，試判斷這個三角形的形狀分析：根據A2B3C，可設Ax°，那么Bx°，Cx°，根據三角形內角和是180°列方程求出x，再求出最大角的大小，即可判斷出三角形的形狀解：設Ax°，則Bx°，Cx°，于是有xxx180，解得x98.2，即最大角A98.2°.所以可知ABC是鈍角三角形10角平分線的夾角與三角形內角關系的探究根據三角形的內角和，三角形外角與內角的關系及角平分線的意

20、義，可以探究有關角平分線的夾角問題(1)三角形的兩內角平分線的夾角與內角的關系如圖，在ABC中，ABC的平分線與ACB的平分線交于點O，求BOC與A之間的關系結論：三角形兩內角的平分線所夾的鈍角等于90°加上第三角的一半，即BOC90°A.(2)三角形兩外角的平分線的夾角與內角的關系如圖，在ABC中，BP，CP分別是ABC的外角DBC和ECB的平分線，試探究BPC與A的關系結論：三角形的兩個外角的平分線所夾的銳角等于90°減去第三個角的一半，即BPC90°A.(3)一個內角平分線與一個外角平分線的夾角與內角的關系如圖，在ABC中，CE平分ACB，BE是A

21、BC的外角ABD的平分線，試探究BEC與A的關系結論：三角形的一個內角平分線與外角平分線相交成的銳角等于第三個內角的一半，即BECA.【例101】 如圖，已知ABC，ABC的平分線與ACB的平分線交于點O，求BOC與A之間的關系分析：根據角平分線意義和三角形內角和定理，采用整體代入方法，由BOC180°(OBCOCB)，經過代換得，BOC180°ABCACB180°(ABCACB)180°(180°A)，化簡得出結論解：因為BO，CO分別是ABC，ACB的平分線，所以OBCABC，OCBACB.因為BOC180°(OBCOCB)，所以

22、BOC180°ABCACB180°(ABCACB)180°(180°A)90°A.【例102】 如圖，BO，CO分別是ABC，ACB的兩條平分線，A100°，則BOC的度數是()A80°B90°C120°D140°解析：根據以上結論可以直接得出BOC90°A90°×100°140°，故選D.答案：D【例103】 如圖所示，ABC的平分線和ABC的外角ACE的平分線交于點D，D30°，A的度數是_；當D_時，A的度數是90°.解

23、析：(1)題目符合“一個內角平分線與一個外角平分線的夾角與內角的關系”，所以DA，因此A2D2×30°60°；(2)同樣當A90°時，DA，所以D應為45°.答案：60°45°11.與三角形有關的角的問題的一題多解由于用三角形外角性質得到的結論都能用三角形內角和定理和鄰補角定義推出，以及外角的多樣性和求角度的方法多樣性，因此這部分內容中的題目解法多樣，很多題目解法都不唯一，例如：如圖(1)是由平面上五個點A，B，C，D，E連接而成，求ABCDE的度數是多少？由于每個角的度數都不知道，所以需要將五個角轉化到同一個三角形中解決，解決此問題有多種方法，如圖(2)，連接