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文檔簡介

1、“二重積分”的說課稿 自然科學(xué)系 熊光波二重積分是高等數(shù)學(xué)下冊第六章第一節(jié)的內(nèi)容。在此之前,學(xué)生已學(xué)習(xí)了定積分,這為過渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用。本節(jié)內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中,占據(jù)著重要地位,以及為其他學(xué)科和今后專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。本著課程標(biāo)準(zhǔn),在吃透教材的基礎(chǔ)上,我確立了如下的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn):一、 教學(xué)目標(biāo):1、理解二重積分的概念與性質(zhì) 2、掌握利用直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):二重積分的計(jì)算三、教學(xué)準(zhǔn)備:1、教師:查看參考書、編寫教案或課件制作 2、學(xué)生:課前預(yù)習(xí)四、教學(xué)時(shí)間:2課時(shí)五、教學(xué)方案設(shè)計(jì)為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),突出重點(diǎn),突破難點(diǎn),我把教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)為

2、四個(gè)階段:創(chuàng)設(shè)情境,引入課題;歸納探索,形成概念;掌握求法,適當(dāng)延展;歸納小結(jié),提高認(rèn)識(shí),具體過程如下:1、創(chuàng)設(shè)情境,引入課題長期以來,我們的學(xué)生為什么對數(shù)學(xué)不感興趣,甚至害怕數(shù)學(xué),其中的一個(gè)重要因素就是數(shù)學(xué)離學(xué)生的生活實(shí)際太遠(yuǎn)了。事實(shí)上,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該與學(xué)生的生活融合起來,從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景出發(fā),讓他們在生活中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)并掌握數(shù)學(xué)。 概念的形成主要依靠對感性材料的抽象概括,只有學(xué)生對學(xué)習(xí)對象有了豐富具體經(jīng)驗(yàn)以后,才能使學(xué)生對學(xué)習(xí)對象進(jìn)行主動(dòng)的、充分的理解,因此在本節(jié)的教學(xué)中,我從具體的兩個(gè)實(shí)例引出概念:(1)、曲頂柱體的體積先用兩分鐘時(shí)間,讓學(xué)生回憶學(xué)習(xí)定積分時(shí)求

3、曲邊梯形面積的方法,再利用類比的方法講解求曲頂柱體的體積。(2)、平面薄片的質(zhì)量用同樣的方法求出平面薄片的質(zhì)量2、歸納探索,形成概念把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型是學(xué)生形成和掌握概念的前提,也是培養(yǎng)學(xué)生觀察分析能力的重要一步,以上兩個(gè)實(shí)例可以抽象地給出二重積分的定義,從而引出二重積分的概念。(1)、對概念作進(jìn)一步解釋,并與定積分的概念作比較,加深學(xué)生的印象,最后強(qiáng)調(diào)幾個(gè)要點(diǎn)。(2)、給出二重積分的性質(zhì),使學(xué)生能更深刻地理解二重積分。3、掌握求法,適當(dāng)延展(1)、直角坐標(biāo)系下二重積分的求法在講二重積分的計(jì)算前,先讓學(xué)生回顧定積分的基本公式和計(jì)算方法,提問兩位學(xué)生,得出結(jié)論。再重點(diǎn)介紹二重積分的計(jì)算方法

4、,對于不同的區(qū)域要用不同的積分次序進(jìn)行積分,詳細(xì)講解兩種區(qū)域的特點(diǎn),推導(dǎo)出計(jì)算二重積分的公式。(2)、講解例題選擇典型而具有代表性的例題3個(gè),一個(gè)的積分區(qū)域是-型,一個(gè)既是-型又是-型,一個(gè)既不是-型也不是-型,使學(xué)生掌握不同積分區(qū)域的二重積分的計(jì)算,并及時(shí)對解題方法和規(guī)律進(jìn)行概括,有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。(3)、極坐標(biāo)下二重積分的求法很多學(xué)生沒有學(xué)過極坐標(biāo),所以先對極坐標(biāo)作簡單的介紹,再講解用極坐標(biāo)求二重積分,通過直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換得出公式,并強(qiáng)調(diào)在什么情況下選擇用極坐標(biāo)求二重積分。(4)、講解例題選擇例題2個(gè),一個(gè)是既可以用直角坐標(biāo)計(jì)算又可以用極坐標(biāo)計(jì)算,另一個(gè)是只能用極坐標(biāo)計(jì)算的例

5、子,經(jīng)過對比,使學(xué)生了解有時(shí)用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分會(huì)減少很多計(jì)算量。(5)、能力訓(xùn)練為了使學(xué)生達(dá)到對知識(shí)的深化理解,從而達(dá)到鞏固提高的效果,我特地設(shè)計(jì)了一組即時(shí)訓(xùn)練題,并且把課本的例題熔入即時(shí)訓(xùn)練題中,隨機(jī)抽兩位學(xué)生到黑板上做課堂練習(xí),再作評(píng)講,使學(xué)生能鞏固所學(xué)知識(shí)與解題思想方法。(6)、變式延伸,進(jìn)行重構(gòu)重視課本例題,適當(dāng)對題目進(jìn)行引申,使例題的作用更加突出,有利于學(xué)生對知識(shí)的串聯(lián)、累積、加工,從而達(dá)到舉一反三的效果。4、歸納小結(jié),提高認(rèn)識(shí)提出問題:這節(jié)課你們學(xué)到了什么?鼓勵(lì)學(xué)生積極回答,答不完整的沒有關(guān)系,其它同學(xué)補(bǔ)充。以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力,歸納概括能力。5、布置作業(yè) 根據(jù)學(xué)生的不同層

6、次分為必做和選做,由學(xué)生自主選擇。六、板書設(shè)計(jì)好的板書就像一份微型教案,此板書力圖全面而簡明的將授課內(nèi)容傳遞給學(xué)生,清晰直觀,便于學(xué)生理解和記憶,理清文章脈絡(luò)。我在上這節(jié)課時(shí)較注重板書的設(shè)計(jì),將定義、性質(zhì)和計(jì)算方法寫在黑板的左邊,例題和講解寫在黑板的右邊,特別是有的例題沒有馬上擦去,保留到下一個(gè)例子講完,這樣就可以進(jìn)行對比。下面附上板書設(shè)計(jì)與詳細(xì)教案:附1:板書設(shè)計(jì)6.1二重積分一、 二重積分的概念與性質(zhì)1引例(1)、曲頂柱體的體積(2)、平面薄片的質(zhì)量2、二重積分的概念3、二重積分的性質(zhì)二、二重積分的計(jì)算1、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算例題:2、利用極坐標(biāo)計(jì)算例題練習(xí):*附2:教案第一節(jié) 二重積分教學(xué)

7、目標(biāo):1、理解二重積分的概念與性質(zhì) 2、掌握利用直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)計(jì)算二重積分教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):二重積分的計(jì)算一、二重積分的概念1. 引例1:曲頂柱體的體積設(shè)有一空間立體,它的底是面上的有界區(qū)域,它的側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線,而母線平行于軸的柱面,它的頂是曲面(),稱這種立體為曲頂柱體。曲頂柱體的體積可以這樣來計(jì)算:(1) 用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域分成個(gè)小區(qū)域,以這些小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線,作母線平行于軸的柱面,這些柱面將原來的曲頂柱體分劃成個(gè)小曲頂柱體,。 (假設(shè)所對應(yīng)的小曲頂柱體為,這里既代表第個(gè)小區(qū)域,又表示它的面積值, 既代表第個(gè)小曲頂柱體,又代表它的體積值)。從而 圖9-1-1(2) 由

8、于連續(xù),對于同一個(gè)小區(qū)域來說,函數(shù)值的變化不大。因此,可以將第個(gè)小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體,于是 ,整個(gè)曲頂柱體的體積近似值為 (3) 為得到的精確值,只需讓這個(gè)小區(qū)域越來越小,即讓每個(gè)小區(qū)域向某點(diǎn)收縮。為此,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念:一個(gè)閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點(diǎn)距離的最大者。所謂讓區(qū)域向一點(diǎn)收縮性地變小,意指讓區(qū)域的直徑趨向于零。設(shè)個(gè)小區(qū)域直徑中的最大者為,定義2.引例2:平面薄片的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片占有面上的區(qū)域, 它在處的面密度為(),現(xiàn)計(jì)算該平面薄片的質(zhì)量。(1)將分成個(gè)小區(qū)域 ,既代表第個(gè)小區(qū)域又代表它的面積。(2)第小平面薄片的質(zhì)量可近似為 圖9-1-2 , 整個(gè)平面薄片的

9、質(zhì)量的近似值為 (3)記為的直徑,, 整個(gè)平面薄片的質(zhì)量定義為 綜上,兩種實(shí)際意義完全不同的問題, 都?xì)w結(jié)同一形式的極限。因此,有必要撇開這類極限問題的實(shí)際背景, 給出一個(gè)更廣泛、更抽象的數(shù)學(xué)概念,即二重積分。3. 二重積分的定義定義 設(shè)是閉區(qū)域上的有界函數(shù)。(1) 將區(qū)域任意分成個(gè)小區(qū)域,其中, 既表示第個(gè)小區(qū)域, 也表示它的面積。(2) 在第個(gè)小區(qū)域上任取一點(diǎn),作乘積 ,作和 (3) 記為的直徑,若極限 存在,則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分,記作 ,即 其中: 稱為被積函數(shù), 稱為被積表達(dá)式,稱為面積元素,稱為積分變量, 稱為積分區(qū)域, 稱為積分和式。4. 幾點(diǎn)說明:(1) 極限 的

10、存在性不依賴區(qū)域的分割,也不依賴的取法。 (2) 二重積分的存在性定理:若在閉區(qū)域上連續(xù), 則在上的二重積分存在。(3) 中的面積元素象征著積分和式中的。由于二重積分的定義中對區(qū)域的劃分是任意的,若用一組平行于坐標(biāo)軸的直線來劃分區(qū)域,因此,可以將記作 (為直角坐標(biāo)系下的面積元素 ) 二重積分也可表示成為 。 圖9-1-3 (4) 若,二重積分表示以為曲頂,以為底的曲頂柱體的體積,即 二、二重積分的性質(zhì)1. 線性性質(zhì)其中:是常數(shù)。2. 對區(qū)域的可加性若區(qū)域分為兩個(gè)部分區(qū)域,則3. 若在上, ,表示區(qū)域的面積,則4. 若在上, ,則有不等式特別地,由于,有5. 估值不等式設(shè)與分別是在閉區(qū)域上最大值

11、和最小值,是區(qū)域的面積,則6. 二重積分的中值定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù), 是的面積,則在上至少存在一點(diǎn),使得證明:由于在閉區(qū)域上連續(xù),故在閉區(qū)域上取得其最大值和最小值。由性質(zhì)5,得顯然,因此有再由二元函數(shù)的介值性質(zhì)知道,至少存在一點(diǎn),使得 即例1 比較積分與,其中是三頂點(diǎn)為,和的三角形。例2 估計(jì)積分值 其中三、二重積分的計(jì)算法1、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分根據(jù)二重積分的幾何意義可知, 當(dāng)時(shí),的值等于以為底,以曲面為頂?shù)那斨w的體積。在區(qū)間上任意取定一個(gè)點(diǎn),作平行于面的平面,這平面截曲頂柱體所得截面是一個(gè)以區(qū)間為底, 為曲邊的曲邊梯形,其面積為 一般地,過區(qū)間上任一點(diǎn)且平行于面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為利用計(jì)算平行截面面積為已知的立體的體積的方法,該曲頂柱體的體積為從而有這也稱為先對, 后對的二次積分,也常記作其中:積分區(qū)域?yàn)椤H绻e分區(qū)域?yàn)椋瑒t二重積分也可化為例1 計(jì)算 ,其中解:由二重積分的計(jì)算方法,得例2 ,其中是由直線、和所圍成的閉區(qū)域。解:由于積分區(qū)域,得例3計(jì)算 ,其中是由拋物線、所圍成的閉區(qū)域。解:由與積分區(qū)域可表為,用先對后對的積分次序,得如果用先對后對的積分次序,積分區(qū)域分成兩個(gè)區(qū)域,即因此2、

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