1、河海大學理學院高等數學河海大學理學院高等數學第七章 常微分方程 高等數學上）高等數學上）河海大學理學院高等數學河海大學理學院高等數學)(xfqyypy 二階常系數非齊次線性方程二階常系數非齊次線性方程對應齊次方程對應齊次方程,0 qyypy通解結構通解結構, yYy 研究類型研究類型),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 問題：如何求特解？問題：如何求特解？方法：待定系數法方法：待定系數法.形如：)(xf河海大學理學院高等數學設想非齊方程特解為設想非齊方程特解為xexQy )( 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm

2、不不是是特特征征方方程程的的根根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可設設是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可可設設;)(xmexQy ;)(xmexxQy 一、一、 型型)()(xPexfmx 河海大學理學院高等數學是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可設可設綜上討論綜上討論, )(xQexymxk 設設 是是重重根根是是單單根根不不是是根根2,10k注意注意 上述結論可推廣到上述結論可推廣到 n n 階常系數非齊階常系數非齊次線性微分方程

3、次線性微分方程k k 是重根次數）是重根次數）. .)(2xmexQxy 河海大學理學院高等數學例例1 1 寫出下列微分方程的待定特解的形式寫出下列微分方程的待定特解的形式. . xeyyy396)1( （二重）32,1rxeAxy32*特解形式為32)2(2 xyyir2,1CBxAxy2*特解形式為河海大學理學院高等數學xexyyy228644 解解 設設 的特解為的特解為2644xyyy *1yxeyyy2844 設設 的特解為的特解為*2y*2y *1*yy 則所求特解為則所求特解為0442 rr特征根特征根22,1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （二重根）（二重根）*2y

4、 *1*yy CBxAx 2.22xeDx 河海大學理學院高等數學.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解對應齊次方程通解對應齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是是單單根根，2 ,)(2xeBAxxy 設設代入方程代入方程, , 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于于是是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例2 2河海大學理學院高等數學.12422)3()4(的通解求方程xxyy例例3 3解解特征方程特征方程, 0234 rr特征根特征根，三三重重），2(043,

5、2, 1 rr是是三三重重根根，0 ),(23CBxAxxy 設設代入方程代入方程, , 得得61,241,301 CBA河海大學理學院高等數學又對應齊次方程通解又對應齊次方程通解因此原方程通解為因此原方程通解為. )61241301(23242321xxxeCxCxCCyxxeCxCxCCy242321河海大學理學院高等數學*y,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次多項式，次多項式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是是單單根根不不是是根根 iik型型二二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx 河海大學理學院高等數學

6、例例寫出下列微分方程的待定特解的形式寫出下列微分方程的待定特解的形式. . xeyyyxcos96)1(2 不不是是特特征征根根ii 2 )sincos(2*xBxAeyx 特特解解形形式式為為xxyysin)2( )(單單根根是是特特征征根根ii )sin)(cos)(*xDCxxBAxxy 特特解解形形式式為為河海大學理學院高等數學.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY ,是單根ii),sincos(*xBxAxy故代入原方程代入原方程 , , 得得0, 2BA所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2*xxy原方程通解為原方

7、程通解為.cos2sincos21xxxCxCy 例例4 4河海大學理學院高等數學解解 對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY 例例5 5原方程通解為原方程通解為. 1cos2sincos21 xxxCxCy對應非齊方程對應非齊方程 特解特解xyysin4 對應非齊方程對應非齊方程 特解特解1 yy, 1*2 y.1sin4的的通通解解求求方方程程 xyy,cos2*xxy1sin44 xyy通解通解. 1sin342sin2cos21 xxCxCy河海大學理學院高等數學三、小結)()() 1 (xPexfmx);(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk ( (待定系數法待定系數法) ) 是是重重根根是是單單根根不不是是根根2,10k,10 是是單單根根不不是是根根 iik河海大學理學院高等數學XT.2sin4