1、南通大學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告定積分與定積分的近似計(jì)算學(xué)院：理學(xué)院班級(jí)：數(shù)師 153 班學(xué)號(hào)：1502012072姓名：顧陽(yáng)第一部分實(shí)驗(yàn)報(bào)告書(shū)解讀一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)主要是分析用矩陣公式， 梯形公式，辛普森公式求定積分的近似值， 并比較它們與定積分的近似情況?？梢韵葘W(xué)習(xí)定積分的數(shù)值計(jì)算方法，理解定積分的定義，掌握牛頓 - 萊布尼茨公式。二、實(shí)驗(yàn)材料1.1 定積分的數(shù)值計(jì)算計(jì)算定積分 abf ( x)dx 的近似值，可將積分區(qū)間n 等分而得矩形公式程序?yàn)閎in 1f a (i 1) b ab aa f ( x)dxnn或in 1 f a i b a b aa f ( x)dxbnn也可用梯形公式近似計(jì)算a )f

2、(b) ba f ( x)dx in11 f (a i bf (a)abn2n如果要準(zhǔn)確些，可用辛普森公式bf (x)dx 2n 1b a)nf (a (i1 b ab aai1 f (a in4 i 1) f (a) f (b)2 26n對(duì)于 01sin xdx ，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica 程序?yàn)閍=0;b=1;k=10;fx_:=Sinx;d=NIntegratefx,x,a,b,k;（計(jì)算精確值）s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;（取小區(qū)間左端點(diǎn)的矩形公式）s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/

3、m*(b-a)/m,i,0,m-1,k（取小區(qū)間中點(diǎn)的矩形公式）s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k;（取小區(qū)間右端點(diǎn)的矩形公式）s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k;（梯形公式）s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1+4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;（辛普森公式）t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,10

4、00,1001.2 可積的條件設(shè) f(x)=sinx,取a=0,b=1對(duì)于10 sin xdx ，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序?yàn)閍=0;b=1;k=10;fx_:=Sinx;d=NIntegratefx,x,a,b,k;（計(jì)算精確值）s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;（取小區(qū)間左端點(diǎn)的矩形公式）s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k（取小區(qū)間中點(diǎn)的矩形公式）s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k;（取小區(qū)間右端點(diǎn)的矩形公式）s

5、4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k;（梯形公式）s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1+4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; （辛普森公式） r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:= t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r 5m, m,100,1000,1001.3 牛頓 - 萊布尼茨公式設(shè)函數(shù) f ( x) 在 a,b上連續(xù)

6、，而且 F ( x) 是 f ( x) 的一個(gè)原函數(shù)，則有牛頓 - 萊布尼茲公式 abf ( x) dxF (b)F (a) 。1x0在 1,2不連續(xù)、不存在原函數(shù)，但在1,2 上可積；函數(shù)函數(shù) f (x)x00g( x)2xx0在1,2 不連續(xù)，但在 1,2 上可積。11x02xsin xcos x此外函數(shù) D (x)1xQ0xQ處處不連續(xù)、不存在原函數(shù)，在任意區(qū)間 ( 長(zhǎng)度大于0) 上不可積。求原函數(shù)并驗(yàn)證牛頓 - 萊布尼茲公式的 Mathematica 程序 fx_:=Sinx;Integratef(x),x（求不定積分）Fx_:=%（定義原函數(shù)）d=NIntegratef(x),x,a

7、,b（求定積分）df=Fb-Fa（計(jì)算原函數(shù)的增量）三、實(shí)驗(yàn)所用軟件及版本Mathematica5.0第二部分實(shí)驗(yàn)計(jì)劃（一）定積分的數(shù)值計(jì)算1. 程序修改 a=0;b=1;k=10;fx_:=Sinx;d=NIntegratefx,x,a,b,k;s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k;s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)

8、/m,i,0,m-1,k;s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1+4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,10011xdx ，12 dx ，11利用以上程序計(jì)算，dx ，xexdx ，In(1 x) dx 并對(duì)幾個(gè)公00000式比較。2. 實(shí)驗(yàn)思路對(duì)以上程序，分別將 sin

9、x 的 x替換成 1，x，In(1+x)（二）可積的條件1. 實(shí)驗(yàn)思路：（1）如果函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f(x) 在區(qū)間 a,b 上可積，反之亦然。（2）設(shè)一連續(xù)函數(shù)，判斷其是否可積。2. 程序修改a=0;b=1;k=10;fx_:=Sinx;d=NIntegratefx,x,a,b,k;s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,ks3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k;s4m_:=NSum(fa+i*(

10、b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1+4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,10011xdx ，12 dx ，11利用以上程序計(jì)算，dx ，xexdx ，In(1 x) dx 并對(duì)

11、幾個(gè)公00000式比較。（三）牛頓 - 萊布尼茨公式1. 程序修改fx_:=Sinx;Integratef(x),xFx_:=%d=NIntegratef(x),x,a,bdf=Fb-Far=d-df2實(shí)驗(yàn)思路（ 1）先對(duì)一個(gè)函數(shù)sinx 在區(qū)間 0,1 時(shí), 運(yùn)行程序計(jì)算。（2）在考慮其他函數(shù)， y=1,y=x ， y= ，y= ，y=In(1+x) ， y=sign(x) 在 0,1 時(shí)，進(jìn)行程序計(jì)算。第三部分實(shí)驗(yàn)過(guò)程與結(jié)果實(shí)驗(yàn)一定積分的實(shí)驗(yàn)計(jì)算1. 在 mathmatica 上輸入以下程序a=0;b=1;k=10;fx_:=Sinx;d=NIntegratefx,x,a,b,k;s1m_

12、:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,ks3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k;s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1+4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-

13、s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100運(yùn)行結(jié)果為：2. 在 mathmatica 上輸入以下程序 a=0;b=1;k=10;fx_:=1d=NIntegratefx,x,a,b,k;s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,ks3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k;s4m_:=NSum(f

14、a+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1+4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100運(yùn)行結(jié)果為：3. 在 mathmatica 上輸入以下程序 a=0;b=1;k=10;f

15、x_:=xd=NIntegratefx,x,a,b,k;s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,ks3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k;s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1+4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;

16、r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100運(yùn)行結(jié)果為：4.在 mathmatica 上輸入以下程序a=0;b=1;k=10;fx_:=x2d=NIntegratefx,x,a,b,k;s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,ks3m_:=NSumfa+i*(b-a)

17、/m*(b-a)/m,i,1,m,k;s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1+4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100運(yùn)行結(jié)果為：5. 在 ma

18、thmatica 上輸入以下程序 a=0;b=1;k=10;fx_:=Expxd=NIntegratefx,x,a,b,k;s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,ks3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k;s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1

19、+4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100運(yùn)行結(jié)果為：6. 在 mathmatica 上輸入以下程序 a=0;b=1;k=10;fx_:= Log1+xd=NIntegratefx,x,a,b,k;s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a

20、)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,ks3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k;s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1+4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m

21、,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100運(yùn)行結(jié)果為：7.實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果：隨著n 的增大，以及公式的更加精確性，求積分的誤差d 越來(lái)越小，結(jié)果越來(lái)越準(zhǔn)確。實(shí)驗(yàn)二可積條件1. 以實(shí)驗(yàn)一的 6 組數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，再加一組數(shù)據(jù)；2. 在 mathmatica 上輸入以下程序 a=0;b=1;k=10;fx_:=Signxd=NIntegratefx,x,a,b,k;s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,ks3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)

22、/m,i,1,m,k;s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k;s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1+4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100運(yùn)行結(jié)果為：3. 實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果：連續(xù)函數(shù)一定可積，但是非連續(xù)函數(shù)不一定不可積實(shí)驗(yàn)三 牛頓 - 萊布尼茨公式1. 在 mathmatica 上輸入以下程序 a=0;b=1;fx_:=x; Integratefx,x Fx_=% d=NIntegratefx,x,a,b df=Fb-Far=d-df運(yùn)行結(jié)果為2. 在 mathmatica 上輸入以下程序 a=0;b=1fx_:=1; Integratefx,xFx_:=%d=NIntegratefx,x,a,