1、1第第2章章連續時間信號分析連續時間信號分析基本內容基本內容連續信號的時域分析連續信號的時域分析周期信號的頻譜分析周期信號的頻譜分析傅里葉級數傅里葉級數非周期信號的頻譜分析非周期信號的頻譜分析傅里葉變換傅里葉變換抽樣信號的傅里葉變換抽樣信號的傅里葉變換 2 信號分析是將一復雜信號分解為若干簡單分量的疊信號分析是將一復雜信號分解為若干簡單分量的疊加，并以這些分量的組成情況去考察信號的特性。加，并以這些分量的組成情況去考察信號的特性。時域分析時域分析（波形分析）：是研究信號的幅值等參數、（波形分析）：是研究信號的幅值等參數、信號的穩態和交變分量隨時間的變化情況，其中最常用信號的穩態和交變分量隨時間

2、的變化情況，其中最常用的是把一個信號在時域上分解為具有不同延時的簡單沖的是把一個信號在時域上分解為具有不同延時的簡單沖激信號分量的疊加，通過卷積的方法進行系統的時域分激信號分量的疊加，通過卷積的方法進行系統的時域分析。析。 頻域分析：頻域分析：是把一個復雜信號分解為一系列正交函是把一個復雜信號分解為一系列正交函數的線性組合，把信號從時域變換到頻域中進行分析，數的線性組合，把信號從時域變換到頻域中進行分析，其中最基本的是把信號分解為不同頻率的正弦分量的疊其中最基本的是把信號分解為不同頻率的正弦分量的疊加，即傅里葉變換（級數）的方法來進行信號分析，也加，即傅里葉變換（級數）的方法來進行信號分析，也

3、稱稱“頻譜分析頻譜分析”。 3 時域：方法直觀；一般求解微分方程，對復雜信號時域：方法直觀；一般求解微分方程，對復雜信號的分解很難。的分解很難。 頻域：可得到直觀的頻譜圖；對復雜信號轉換成簡頻域：可得到直觀的頻譜圖；對復雜信號轉換成簡單代數方程求解。單代數方程求解。2.1 2.1 連續時間信號的時域分析連續時間信號的時域分析 最為重要的方法是將信號分解為沖激信號的疊加，最為重要的方法是將信號分解為沖激信號的疊加，在這一基礎上，連續系統的響應，可應用卷積積分的方在這一基礎上，連續系統的響應，可應用卷積積分的方法來求解。法來求解。2.1.1 2.1.1 基本的連續信號基本的連續信號1 1、正弦信號

4、正弦信號 x(t) = Asin( t + ) t x(t) A2 4正弦信號是周期信號，周期為正弦信號是周期信號，周期為T，角頻率為，角頻率為和頻率為和頻率為ffT12 0sin00)(ttAettxat 在信號與系統分析中，有時要遇到衰減的正弦信號在信號與系統分析中，有時要遇到衰減的正弦信號01x(t)t 5 a 速率，速率，a 越大，速率越快越大，速率越快。 =1/ a 時間常數。時間常數。實際中，較多遇到的是單邊衰減指數信號。實際中，較多遇到的是單邊衰減指數信號。2 2、指數信號指數信號 x(t) = Aeat式中，式中，a是實常數。是實常數。若若a 0, 信號隨時間而增加。信號隨時間

5、而增加。若若a 0a1)或擴展或擴展( a 1)。此運此運算也稱為時間軸的算也稱為時間軸的尺度倍乘或尺度變換，也可簡稱尺度尺度倍乘或尺度變換，也可簡稱尺度。 17o 1 2x(t)to 1 x(2t)to 2 4x(t/2)t 18 【例【例2-1】已知信號】已知信號x(t)的波形如圖，試畫出的波形如圖，試畫出x( 3t 2)的的波形。波形。 2 1 o 1x(t)t 2 1 o 1x(3t)t 2 1 o 1x( 3t)t 2 1 o 1x( 3t 2)t 19（二）微分和積分（二）微分和積分 信號信號x(t)的微分運算是指的微分運算是指x(t)對對t取導數，即取導數，即o 1 2x(t)t

6、o x (t)t 1 2 信號信號x(t)經微分經微分后突出了他的變化后突出了他的變化部分。部分。dttdxtx)()( 20o x(t)t 1 21 信號信號x(t)的積分運算是指的積分運算是指x( )在在(，t)區間內的定區間內的定積分，即積分，即 信號信號x(t)經積分經積分后，突變部分可變后，突變部分可變的平滑，利用這一的平滑，利用這一作用可削弱信號中作用可削弱信號中的毛刺的影響。的毛刺的影響。 tdx )(o t 1 21tdx)( 21（三）兩信號的相加或相乘（三）兩信號的相加或相乘 x1(t) = sin t x2(t) = sin8 t x1(t) + x2(t) = sin

7、t + sin8 t x1(t) x2(t) = sin t sin8 t x1(t) 22 x2(t)x1(t)+x2(t) 23 x1(t) x2(t) x1(t) x2(t) 242.1.3 連續信號的時域分解連續信號的時域分解 為了便于分析與處理，有時需要將信號分解為一些為了便于分析與處理，有時需要將信號分解為一些簡單的基本信號之和，猶如在力學中將任一方向的力分簡單的基本信號之和，猶如在力學中將任一方向的力分解為幾個分力一樣。信號可以從不同角度分解：解為幾個分力一樣。信號可以從不同角度分解： 1. 1. 直流分量與交流分量直流分量與交流分量 信號平均值即為信號的直流分量。從原信號去掉直

8、信號平均值即為信號的直流分量。從原信號去掉直流分量即為信號的交流分量。流分量即為信號的交流分量。 x(t) = xD + xA(t) 2. 2. 奇分量與偶分量奇分量與偶分量 xe(t) = xe( t) xo(t) = xo( t) TttDdttxTx00)(1 25 x(t) = 0.5 x(t) + x(t) + x( t) x( t) = 0.5 x(t) + x( t) + 0.5 x(t) x( t) xe(t) = 0.5 x(t) + x( t) xo(t) = 0.5 x(t) x( t) 1 o 1 2x(t)t1 1 o 1 2 xo(t)t0.5 1 o 1 2xe(

9、t)t10.5 26x(t)to1xe(t)to0.5xo(t)to0.5 27t 0 x(t)t1 t1 在任意時刻在任意時刻t t = = t1時時, ,脈沖可表示為脈沖可表示為 當當 t1 , ,窄脈沖變為沖激函數。所以窄脈沖變為沖激函數。所以, ,任意復雜信任意復雜信號分解為具有不同時延沖激信號的疊加號分解為具有不同時延沖激信號的疊加, ,其沖激強度即為其沖激強度即為沖激處的函數值沖激處的函數值x (t1)與與 t1 的乘積。的乘積。 3. 3. 脈沖分量脈沖分量 一個復雜信號可以分解為一系列具有不同時延的矩一個復雜信號可以分解為一系列具有不同時延的矩形窄脈沖的疊加。形窄脈沖的疊加。x

10、(t1)u(t t1) u t t1 t1 )()()()(11111tttuttutxtxt 1111111)()()(ttttttuttutx 28 上式實際上是函數的卷積積分表達式上式實際上是函數的卷積積分表達式, ,表明：時域里表明：時域里任意函數等于這一函數與沖激函數的卷積任意函數等于這一函數與沖激函數的卷積, ,卷積的幾何解卷積的幾何解釋是上述一系列矩形窄脈沖的求極限過程。釋是上述一系列矩形窄脈沖的求極限過程。 4. 4. 實部分量與虛部分量實部分量與虛部分量 若若 x(t)是復函數是復函數 x(t) = xr(t) + j xi (t) 共軛函數共軛函數 x*(t) = xr(t

11、) j xi (t) x(t) x*(t) = | x(t)|2 = xr2(t) + xi2(t) 11111110)()()(lim)(tttttttuttutxtx 111011)()(limttttxtt 111)()(dttttx 29 雖然實際信號都是實函數，但在信號分析理論中，雖然實際信號都是實函數，但在信號分析理論中，常借助復信號來研究實信號的問題。它可以建立某些有常借助復信號來研究實信號的問題。它可以建立某些有益的概念或簡化運算。益的概念或簡化運算。 5. 正交函數分解正交函數分解 如果用正交函數集來表示一個信號，那么組成信號如果用正交函數集來表示一個信號，那么組成信號的各分

12、量就是相互正交的。例如，用各次諧波的正弦與的各分量就是相互正交的。例如，用各次諧波的正弦與余弦信號疊加表示一個矩形脈沖，各正弦、余弦信號就余弦信號疊加表示一個矩形脈沖，各正弦、余弦信號就是此矩形脈沖信號的正交函數分量。是此矩形脈沖信號的正交函數分量。 把信號分解為正交函數分量的研究方法，在信號與把信號分解為正交函數分量的研究方法，在信號與系統理論中占有重要地位，這將使本課程的主要課題之系統理論中占有重要地位，這將使本課程的主要課題之一。一。 302.1.4 2.1.4 連續信號的時域分析方法連續信號的時域分析方法卷積法卷積法 (i) (i) 輸入信號可分解為一系列矩形窄脈沖輸入信號可分解為一系

13、列矩形窄脈沖 時的時的極限極限不同時延沖激信號分量的疊加不同時延沖激信號分量的疊加 (ii) (ii) 分別求出每個沖激信號分量的響應分別求出每個沖激信號分量的響應(iii) (iii) 根據根據LS的疊加性，各分量響應的疊加得到系統總的疊加性，各分量響應的疊加得到系統總的輸出響應。的輸出響應。 h(t)y(t)x(t) 1 1、卷積法求線性系統的零狀態響應、卷積法求線性系統的零狀態響應 設一線性系統，其初始條件為設一線性系統，其初始條件為0，若系統的沖激響，若系統的沖激響應為應為h(t),當輸入為當輸入為x(t)時，可用卷積法求出其零狀態響時，可用卷積法求出其零狀態響應應y(t)。 31 d

14、thxdtHxdtxHtxHty)()(lim)(0 kthkxtyk dthx )()()()(thtx t 0 x(t) t 0 x( )h(t )t 0 y(t t) 322.2.卷積運算的圖解卷積運算的圖解 (i)變量置換變量置換 t ，將，將x(t), h(t) x(), h( )；(ii) 反褶反褶 h( ) h( ) 時間軸反轉時間軸反轉 ；(iii)平移平移 h( ) h(t ) ；(iv)相乘相乘 x( )與與h(t ) 兩圖形相乘，有重疊部分即為乘兩圖形相乘，有重疊部分即為乘積值，不重疊部分乘積為零；積值，不重疊部分乘積為零；(v)積分求和積分求和 x( )與與h(t )

15、乘積曲線下的面積，就是乘積曲線下的面積，就是t時時刻的卷積值。再不斷平移刻的卷積值。再不斷平移h(t )， h(t ) 和和x( )兩圖兩圖形無重合面積為止，即可得到所有相應時刻的卷積值。形無重合面積為止，即可得到所有相應時刻的卷積值。舉例說明舉例說明 0 x(t)t0.5 0 h(t)t 33（a）變量置換）變量置換（d）最終卷積結果）最終卷積結果 0 x() 0.5 0 h()（b）反褶）反褶0.5 1 0h( )（c）平移相乘）平移相乘 0 t x() h(t ) 0 x() h(t ) 0 t 0 t 21y(t)t0 2 34 t 0 y(t) = x(t) h(t) = 00 t

16、1tddthxtytt5 . 05 . 01)()()(00 1 t 2 y(t) = x(t) h(t) = 0 35卷積的性質卷積的性質（）任意（）任意函數與沖激函數的卷積仍為該函數本身函數與沖激函數的卷積仍為該函數本身x(t) (t t0) = x(t t0) （）任意函數（）任意函數 x(t)與階躍函數的卷積有與階躍函數的卷積有（）交換率（）交換率 x1(t) x2(t) = x2(t) x1(t) （）分配率（）分配率 x1(t) x2(t) + x3(t) = x1(t) x2(t) + x1(t) x3(t) )()()()()(txdtxttx tdxtutx )()()( 3

17、6物理意義：物理意義： (i)(i)系統對于幾個相加輸入信號的零狀態響應等于每系統對于幾個相加輸入信號的零狀態響應等于每個激勵單獨作用的疊加。個激勵單獨作用的疊加。 (ii) (ii)由沖激響應為由沖激響應為h1(t)及及h2(t)的并聯系統等效于一個的并聯系統等效于一個沖激響應為沖激響應為h1(t)+h2(t)的系統。的系統。 h(t)y(t)x1(t)+ x2(t)y(t)+ + + h(t)y1(t)x1(t) h(t)y2(t)x2(t)y(t)+ + + h1(t)y1(t) h2(t)y2(t)x(t) h1(t)+ h2(t) y(t)x(t) 37（）結合率（）結合率 x1(t) x2(t) x3(t) = x1(t) x2(t) x3(t)若沖激響應分別為若沖激響應分別為h1(t)和和h2(t)的串聯系統可等效為一個的串聯系統可等效為一個沖激響應為沖激響應為h1(t) h2(t)系統系統。 h1(t) x(t) h2(t) y(t) h1(t) h2(t) y(t)x(t)（6）兩函數卷積后的導數