1、W,W'質能方程的啟發物理問題：我看見質量為Ma的小球A與質量為Mb的小球B碰撞。A相對我的速度為Va，B相對我的速度為Vb；碰撞后A相對我的速度為Ua，B相對我的速度為Ba。有參考系A 、B 、I。I為我所在的參考系，A為小球A的，B為小球B的。A在伽利略變換下:Pa為A碰撞前的動量，Pa'為A碰撞后的動量；Wa為A碰撞前的能量，Wa'為A碰撞后的能量Pb為B碰撞前的動量，Pb'為B碰撞后的動量；Wb為B碰撞前的能量，Wb'為B碰撞后的能量有能量守恒和動量守恒：MaVa+MbVb=MaUa+MbUb (動量守恒)1/2MaVa2+1/2MbVb2=1/

2、2MaUa2+1/2MbUb2 (動能/機械能守恒)移項有Ma(Va-Ua)=Mb(Vb-Ub) 消去1/2，移項有Ma(Va2-Ua2)=Mb(Ub2-Vb2) 展開，有Ma(Va-Ua)(Va+Ua)=Mb(Ub-Vb)(Vb+Ub) 在中消去的項，有Va+Ua=Ub+Vb 是與質量無關的式子。再移項有Va-Vb=Ub-Ua 結論：在I看來，A與B碰撞前和碰撞后的相對速度大小不變，方向相反。A與B可得同樣結論，僅僅需要把Ma或Mb其中一個視為無窮大值即可。B在允許存在絕對剛體的假設（完全彈性碰撞成立，雖然狹義相對論不允許），洛倫茲變換條件下，根據狹義相對論有:C為光速Ma0為A的靜止時的靜

3、質量，Ma為A碰撞前的質量，Ma'為A碰撞后的質量；Pa為A碰撞前的動量，Pa'為A碰撞后的動量；Wa為A碰撞前的質能，Wa'為A碰撞后的質能Mb0為B的靜止時的靜質量，Mb為B碰撞前的質量，Mb'為B碰撞后的質量；Pb為B碰撞前的動量，Pb'為B碰撞后的動量；Wb為B碰撞前的質能，Wb'為B碰撞后的質能Ma=Ma0/1-Va2/C2Ma'=Ma0/1-Ua2/C2Mb=Mb0/1-Vb2/C2Mb'=Mb0/1-Ub2/C2有質能Wa=Ma0C2/1-Va2/C2Wa'=Ma0C2/1-Ua2/C2Wb=Mb0C2/1-

4、Vb2/C2Wb'=Mb0C2/1-Ub2/C2有動量Pa=Ma0Va/1-Va2/C2Pa'=Ma0Ua/1-Ua2/C2Pb=Mb0Va/1-Vb2/C2Pb'=Mb0Ub/1-Ub2/C2質能與動量間的四維關系得Wa2-Pa2C2=Ma0C4=Wa'2-Pa'2C2Wb2-Pb2C2=Mb0C4=Wb'2-Pb'2C2有質能守恒和動量守恒：Pa+Pb=Pa'+Pb' (動量守恒)Wa+Wb=Wa'+Wb' (質能守恒）左右同乘以C后平方Pa2C2+Pb2C2+2PaPbC2=Pa'2C2+Pb

5、'2C2+2Pa'Pb'C2 左右平方Wa2+Wb2+2WaWb=Wa'2+Wb'2+2Wa'Wb' -，展開有Ma0C4+Mb0C4+2WaWb-2PaPbC2=Ma0C4+Mb0C4+2Wa'Wb'-2Pa'Pb'C2 化簡，有WaWb-2PaPbC2=Wa'Wb'-2Pa'Pb'C2將上式展開Ma0Mb0(C4-VaVbC2)/(1-Va2/C21-Vb2/C2)=Ma0Mb0(C4-UaUbC2)/(1-Ua2/C21-Ub2/C2)Ma0、Mb0都不為零，C為常數，

6、皆可消去，可得出與質量無關的式子(C2-VaVb)/(1-Va2/C21-Vb2/C2)=(C2-UaUb)/(1-Ua2/C21-Ub2/C2)左右平方，整理得(C4-2C2VaVb+Va2Vb2)(C4-C2Ua2-C2Ub2+Ua2Ub2)=(C4-2C2UaUb+Ua2Ub2)(C4-C2Va2-C2Vb2+Va2Vb2)等號左邊標注：(C4-2C2VaVb+Va2Vb2)(C4-C2Ua2-C2Ub2+Ua2Ub2)+C4-2C2VaVb+Va2Vb2+C4-C2Ua2-C2Ub2+Ua2Ub2展開有+C8-2C6VaVb+C4Va2Vb2-C6Ua2+2C4VaVbUa2-C2Va

7、2Vb2Ua2-C6Ub2+2C4VaVbUb2-C2Va2Vb2Ub2+C4Ua2Ub2-2C2VaVbUa2Ub2+Va2Vb2Ua2Ub2同理，對于等式等號右邊+C8-2C6UaUb+C4Ua2Ub2-C6Va2+2C4UaUbVa2-C2Ua2Ub2Va2-C6Vb2+2C4UaUbVb2-C2Ua2Ub2Vb2+C4Va2Vb2-2C2UaUbVa2Vb2+Va2Vb2Ua2Ub2從二表中消去斜體的項。把所有的項移到等號左邊：C6（Va2+Vb2-Ua2-Ub2-2VaVb+2UaUb） 2C4（VaVbUa2+VaVbUb2-UaUbVa2-UaUbVb2） C2（Va2Ua2Ub

8、2+Vb2Ua2Ub2-Va2Vb2Ua2-Va2Vb2Ub2+2UaUbVa2Vb2-2VaVbUa2Ub2） 即應有：+=0整理得C6(Va-Vb)2-(Ub-Ua)2添加減去2VaVbUaUb有2C4(VaVbUa2+VaVbUb2-UaUbVa2-UaUbVb2+2VaVbUaUb-2VaVbUaUb)=2C4VaVb(Ub-Ua)2-UaUb(Va-Vb)2=C4-2UaUb(Va-Vb)2-(-2)VaVb(Ub-Ua)2 整理得C2UaUb(Va-Vb)2-VaVb(Ub-Ua)2組合、有C2(Va-Vb)2(C4-2C2UaUb+Ua2Ub2)-(Ub-Ua)2(C4-2C2VaVb+Va2Vb2)=0消去C2后，把減號后(Ub-Ua)2(C4-2C2VaVb+Va2Vb2)右移等號右邊，即(Va-Vb)2(C2-UaUb)2=(Ub-Ua)2(C2-VaVb)2移項，并開方Va-Vb/C2-VaVb=Ub-Ua/C2-UaUb等式左右同除C2Va-Vb/(1-VaVb/C2)=Ub-Ua/(1-UaUb/C2) 注意到狹義相對論的速度疊加公式為： +/(1-/C2)令=Va,=-Vb或=U