線性方程與常數變易法_第1頁
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文檔簡介

1、§2.2 線性方程與常數變易法內容提要:本節要求：熟練掌握線性方程和伯努利方程的求解方法。 了解黎卡提方程的簡單性質及其求解方法。一 一階線性微分方程一般形式形如 的方程稱為一階線性微分方程(即關于 是線性的)其中 為 x 的已知函數。當 時，稱為齊次線性方程; 當 時，稱為非齊次線性方程。線性方程解的存在性定理假設 函數在區間a<x<b上連續,則根據解的存在性及唯一性定理可知，在帶形區域：方程 的初值問題的解是存在唯一的。解法：（1）先求線性齊次方程的通解分離變量，得:積分，得: 得因為 為齊次方程的解,所以其通解為:其中c為任意常數。滿足初始條件 的解是例1 求 的通

2、解,并求滿足條件 的特解。解:由公式(2.2.3)得，所求通解為：由公式(2.2.3)得，所求特解為:（2）再求非齊次線性方程的通解采用常數變易法求解設想方程 有形如(2.2.3)的解，但其中的常數c變易為x的待定函數。(2.2.3)即設為非齊次方程的解。上式代入方程(2.2.1)，得:即:積分得: 代入(2.2.4) ，得通解為積分得: 上式代入方程(2.2.1)，得:同時，方程滿足初始條件 的特解為 :由通解公式得:其中第一項是線性齊次方程的通解，第二項是線性非齊次方程特解。非齊次線性方程通解的結構： 通解等于其對應齊次方程通解與自身的一個特解之和。例2 求解方程解：1) 先求對應的齊次方

3、程通解 2) 用常數變易法求方程通解設 是方程的解，代入原方程，得說明：對于一階線性方程，也可直接用通解公式計算得出。例3 解: 1) 轉換變量位置2) 用公式求方程通解 注意: 有時方程關于 不是線性的，但如果視x 為y 的函數，方程關于 是線性的，于是仍可以根據上面的方法求解。練習:二 可化為線性方程的方程1 伯努利(Bernoulli)方程形如的方程稱為伯努利方程，其中它通過變量代換可化為線性方程。解法：將方程(2.2.6)的各項同乘以得:令用上式求解后，代入原變量, 便得原方程的通解。例4 求解方程解: 將方程改寫為:令故2* 黎卡提(Riccati)方程形如 的方程稱為黎卡提方程。特點:在一般情況下，此類方程的解不能用初等函數及其積分形示表示，如果先由觀察法或其他方法知道它的一個特解時，才可以通過初等積分法，求出它的通解。解法：若方程有一特解為設則化為伯努利方程。例5 求解方程解：由觀察看出 是方程的一個特解，于是 令則得故原方程的通解為例6 試求 形如 的特解, 解此微分方程。解 設 代入方程得: 所以 故 是方程的一個特解。令于是方程化為伯努利方

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