1、高中數學遞推思想在解題中的應用例析遞推思想及遞推方法常見于數列有關題目求解中，然而在實際中卻有許多別的數學問題與此思想相結合形成一類“整合性問題”。解決這類問題時如果能融遞推方法于題目之中，對學生的解題能力和創新能力的培養是大有裨益的。筆者下面結合教學實際舉例說明幾種常見情形的應用及求解。一. 與有關函數問題的結合及求解 例1. 已知函數，求的值。解析：依據條件，聯想到正切函數的二倍角公式，于是條件函數式可寫成。所以由條件遞推式得：，所以。注：本題靈活的依據函數的結構聯想三角函數關系式，類比三角函數的有關運算規則結合遞推條件式，應用遞推思想及方法使問題簡易獲解。 例2. 已知函數的圖像是自原點

2、出發的一條折線，當時，該圖像是斜率為的線段（其正常數），設數列，由。定義。（1）求和。（2）求的表達式，并寫出其定義域。解析：（1）要求只能緊扣題目定義。探求如下：當時，所以。同理。所以。同理，由此遞推關系可求得：。（2）由知：當時，當時，。（以下略） 例3. 設是定義在非零自然數集上的函數，滿足，對任意非零自然數x有。求之值。解：條件等式可轉化為，由此遞推關系式可令得：。把上述各式相加得：。將代入得：。二. 與立體幾何某些問題結合及應用 例4. 已知底面半徑為r的圓錐，軸截面的頂角為，一根繩子由用最短的距離繞圓錐面一周至，再由用最短的距離繞圓錐面一周至。如此下去，求所有繩子長度的總和。解：設

3、軸截面頂角為，母線長為l，側面展開圖中心角為，則。所以，又。而，所以。圖1中曲線長為圖2中長，從作于，作。再從作于，作，由，所以，又，且，所以，同理。其中，所以繩子長的總和為：。三. 與某些解析幾何問題的結合及求解 例5. 在坐標平面上，是否存在一個含有無窮多條直線的直線族，使它們同時滿足以下三個條件；（1）點（1，1）（2），其中是直線的斜率，與分別是直線在x軸和y軸的截距；（3）。解：假設存在這樣的直線族，則的方程為：分別令，得，由得，即，迭加得：，由條件（2）可知，所有同號。當時，由得。所以。顯然當時，矛盾。當同樣導出矛盾。故這樣的直線族不存在。四. 與排列、組合中某些問題的結合及求解

4、例6. 如圖3所示，核心區域1被2，3，4，所環繞，其中區域1與n，2兩兩相鄰，區1，k，k+1兩兩相鄰（）。如果用四種不同的顏色為這n個區域染色且相鄰區域異色，求共有多少種不同的染色方法？解析：設滿足題意的n個區域的染色方法共有。為求出，先對區域1染4種顏色的一種，共有4種方法，再對區域2染色，共有3種方法，然后對區域3，4，染色共有2種方法，由上述分析所得到的種染色方法中，僅包括著一種不符合題意的情形，即區域2與區域n可能同色，這時可把區域2與區域n合并成一個區域，則其染色方法恰有種不合題意，于是：。即，。由定義知數列是以公比為1，首項為的等比數列，則，即。所以共有種染色方法。五. 與一些

5、概率問題的結合及求解 例7. 從原點出發的某質點M，按向量移動的概率為，按向量移動的概率為，設點M可到達點（0，n）的概率為。（1）求和的值。（2）求證：（3）求的表達式。解析：（1）。（2）證明：M點到達（0，）有兩種情形：從點按向量移動，其概率為；從點（0，n）按向量移動，其概率為。故，則。（3）數列是以為首項，公比為的等比數列，所以。則。故為所求。六. 與一些實際應用問題的結合及求解 例8. 某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同。為保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛？解：設2001年汽車保有量為萬輛，以后各年汽車保有量依次為：，萬輛，每年新增汽車為x萬輛，則：。當時有，所以。所以，所以數列是以為首項，以0.94為公比的等比數列。所以