1、1.7定積分的簡單應用一、教學目標知識與技能：進一步讓學生深刻體會“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形的思想方法；讓學生深刻理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理；初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型及方法；體會定積分在物理中應用（變速直線運動的路程、變力沿直線做功）。過程與方法：通過實例體會用微積分基本定理求定積分的方法情感、態度與價值觀：通過微積分基本定理的學習，體會事物間的相互轉化、對立統一的辯證關系，培養學生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力。二、教學重點與難點重點 曲邊梯形面積的求法難點定積分求體積以及在物理中應用三、教學過程1、復習1、求曲邊梯形的思想方法是什么？2、定

2、積分的幾何意義是什么？3、微積分基本定理是什么？ 2、定積分的應用（一）利用定積分求平面圖形的面積例1計算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.分析：兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對應的曲邊梯形的面積的差得到。y=x2Oxy解：，所以兩曲線的交點為（0，0）、（1，1），面積S=，所以=【點評】在直角坐標系下平面圖形的面積的四個步驟：1.作圖象；2.求交點；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分。鞏固練習 計算由曲線和所圍成的圖形的面積.例2計算由直線，曲線以及x軸所圍圖形的面積S.分析：首先畫出草圖（圖1.7 一2 ) ，并設法把所求圖形的面積問題轉化為求曲邊梯

3、形的面積問題與例 1 不同的是，還需把所求圖形的面積分成兩部分S1和S2為了確定出被積函數和積分的上、下限，需要求出直線與曲線的交點的橫坐標，直線與 x 軸的交點解：作出直線，曲線的草圖，所求面積為圖1. 7一2 陰影部分的面積解方程組 得直線與曲線的交點的坐標為（8,4) . 直線與x軸的交點為（4,0). 因此，所求圖形的面積為S=S1+S2由上面的例題可以發現，在利用定積分求平面圖形的面積時，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形直觀確定出被積函數以及積分的上、下限oxy例3.求曲線與直線軸所圍成的圖形面積。 答案： 練習xyoy=x2+4x-31、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。答案：2、求

4、由拋物線及其在點M（0，3）和N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。 略解：，切線方程分別為、，則所求圖形的面積為3、求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積。 略解：所求圖形的面積為xxOy=x2ABC4、在曲線上的某點A處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求：切點A的坐標以及切線方程. 略解：如圖由題可設切點坐標為，則切線方程為，切線與軸的交點坐標為，則由題可知有，所以切點坐標與切線方程分別為總結：1、定積分的幾何意義是：、軸所圍成的圖形的面積的代數和，即.因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函數的圖像與軸

5、圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.2、求曲邊梯形面積的方法與步驟：(1)畫圖，并將圖形分割為若干個曲邊梯形；(2)對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；(3)確定被積函數；(4)求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和。3、幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法：（1）型區域：由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（1）；由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（2）；yabxyabxyabx由兩條曲線與直線圖（1） 圖（2） 圖（3）所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（3）；（二）、定積分在物理中應用(1)求變速直線運動的路程我們知道，作變速直線運動

6、的物體所經過的路程s，等于其速度函數v=v (t) ( v(t) 0) 在時間區間a,b上的定積分，即 例 4。一輛汽車的速度一時間曲線如圖1.7 一3 所示求汽車在這1 min 行駛的路程解：由速度一時間曲線可知：因此汽車在這 1 min 行駛的路程是：答：汽車在這 1 min 行駛的路程是 1350m .2變力作功一物體在恒力F（單位：N）的作用下做直線運動，如果物體沿著與F相同的方向移（單位：m)，則力F所作的功為W=Fs .探究如果物體在變力 F(x）的作用下做直線運動，并且物體沿著與 F (x) 相同的方向從x =a 移動到x=b (a<b) ，那么如何計算變力F(x）所作的功

7、W呢？與求曲邊梯形的面積和求變速直線運動的路程一樣，可以用“四步曲”解決變力作功問題可以得到 例5如圖1·7一4 ，在彈性限度內，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置lm 處，求克服彈力所作的功解：在彈性限度內，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力 F ( x ）與彈簧拉伸（或壓縮）的長度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常數 k 是比例系數由變力作功公式，得到答：克服彈力所作的功為.例6A、B兩站相距7.2km，一輛電車從A站B開往站，電車開出ts后到達途中C點，這一段的速度為1.2t(m/s)，到C點的速度為24m/s，從C點到B點前的D點以等速行駛，從D點開始剎車，經ts后，

8、速度為（24-1.2t）m/s，在B點恰好停車，試求（1）A、C間的距離；（2）B、D間的距離；（3）電車從A站到B站所需的時間。分析：作變速直線運動的物體所經過的路程s,等于其速度函數v=v(t)(v(t)0)在時間區間a,b上的定積分,即略解：（1）設A到C的時間為t1則1.2t=24, t1=20(s),則AC（2）設D到B的時間為t21則24-1.2t2=0, t21=20(s),則DB（3）CD=7200-2240=6720(m),則從C到D的時間為280(s),則所求時間為20+280+20=320（s）例3：如果1N能拉長彈簧1cm，為了將彈簧拉長6cm，需做功（ A ） A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J略解：設，則由題可得，所以做功就是求定積分。練習：四：