1、2013年上海市高三數學一模客觀壓軸題匯編一、填空題1 (2014年閔行區一模理科 12)設i，j依次表示平面直角坐標系x軸、y軸上的單位向量，且 ai| + a_2j=J5,則a + 2t的取值范圍是答案：6:5,3 5詳解：根據題意,a -I + a -2j =45的幾何意義為一個點到(1,0)的距離加上這個點到(0, 2)的距離等于，5,如下圖所示，即到 A點的距離加上到 B的距離等于 J5 ,而AB就等于J5 ,所以這個點的軌跡即線段6 ,.5CD =5，因為 BC=2&, AC = 3,AB,而我們要求的取值范圍的幾何意義即轉化成線段AB上的點到點(-2,0)的距離的取值范圍

2、，最短距離即下圖中的CD的長度，用點到直線的距離公式或者等面積法可求得所以距離的最大值為 3教法指導：用代數的方法計算，因為有根號，過程會很繁雜，結合向量的模的幾何意義，轉化成圖形問題，簡潔明了，易于理解，教學過程中注意引導數形結合的使用2 ( 2014年閔行區一模理科13)log2 xf(x) = 2 2 c 70x - 8x 33(0 :二 x < 4)，若 abc,d 互不相同，且 f (a) = f (b) = f (c) = f (d),則 Oad 的(x 4)取值范圍是答案：(32,35)詳解：根據題意，如圖所示,2ab=1, abcd =cd = c(12c) =12c c

3、 , 4<c<5,所以答案為(32,35)教法指導：這類題出現較多,典型的數形結合題型，要讓學生熟悉各類函數圖象，以及相應的性質，尤其是對稱性和周期性；在草稿紙上作圖的時候，雖然是草圖，但有必要做出一些特殊點進行定位；寫區間的時候，務必考慮區間的開閉情況變式練習(2014年閔行區一模文科 13)已知函數f(x)=|x1 -1 ,若關于x的方程f (x)=t (tW R)恰有四個互不相等的實數根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4)，則x1+x2+x3-x4的取值范圍是答案：(3,4)2詳斛：根據延思，如圖所示x1+x2=0,x1+ x2+ x3x4 =

4、x3x4 = x3(4 -x3) = 4x3-x3,x3 c(1,2)3 ( 2014年閔行區一模理科14)5答案：2,21 1+,FWtW15,其中 k=2,3,.,2014，則所有 Ak的交集為 kt k2一， - ， 1詳解：因為 k =2,3,.,2014 ,所以-1 k21，一 ,1,父一1,結合耐克函數的圖像，如圖所不，當 FMtW1時, kkA 1，Ak =2, k +,因為 k =2,3,2014 k,.1s 5,時，k+ 遞增，所以所有 Ak的交集為2, k2教法指導：本題考查了耐克函數的圖像與性質,結合圖像以及函數的定義域，處理函數的值域問題；難度不大,但學生可能會因為含有

5、參數k而產生畏難心理，可以讓學生先求A2, A3, A4,發現一般規律，再總結歸納變式練習(2014年閔行區一模文科x4 kx2 T14)已知f(x) = x, t一- (k是實常數)，則 f(x)的最大值與最小值的乘積 x4 x2 1-k+2答案：34 (2014年徐匯區一模理科12)如圖所示，已知點G是 ABC的重心，過 G作直線與 AB、AC兩邊分別交于 M、N兩點，且AM= xAB', AN' =yAC ,則 2y-的值為x y答案:詳解:解法一：: M ,G, N三點共線，假設Ag =九AMAN，有人 + R = 1, AM = xAB,AN = yAC ,. Ag

6、= AM11+ RAN = KxAB+NyAC ,因為 G 是重心，所以 AG = AB + AC即九x = Ny =，九十N=1, /. 十一=1 ,化簡 *丫 = 33x 3yx y 3，一 c2解法一：特殊值法，取 x = y =3教法指導：作為填空題，本題的第一做法應是解法二，但對于一些特別認真的學生，一定會問具體做法的，要求我們能夠寫出具體過程；注意向量一些常用知識點，以及一些轉化技巧5 (2014年徐匯區一模理科13)一個五位數 abcde滿足a <b,b >c >d ,d <e,且aAd,be (如37201,45412),則稱這個五位數符合“正弦規律”.

7、那么，共有個五位數符合“正弦規律”答案:2892詳解:根據題意，第二位最大，第四位最小，其他三個數介于二者之間；由此可以展開分類2,情況為13父8種；3,情況為23義7種;4,情況為33父6種;第二位數與第四位數相差第二位數與第四位數相差第二位數與第四位數相差以此類推，總共的情況為13 M8+23 X 7+33 X 6+43 黑 5+53 黑 4+63 m 3+73 m 2+83 X 1=2892 種教法指導：特殊元素優先原則，這里面最大的第二位數與最小的第四位數最特殊，由此可以展開分類；這類題型學生一般不知道從何下手，我們要教會學生發現規律，找出特殊元素或特殊位置，從而合理分類6 (2014

8、年徐匯區一模理科 14)定義區間(c,d )、E,d )、(c,d】、Ic,d】的長度均為 dc(d >c ).已知實數a,b(a>b則滿足11+ >1的x構成的區間的長度之和為x-ax-b答案：211詳解：因為求的是區間的長度，原不等式十至1 (a Ab)的解的區間長度和不等式x - a x - b1x2 -tx - 2x t+ - >1 (t > 0對解的區間長度是一樣的，因為只是圖像發生了平移，移項通分得 至0 ,X -txx(x-t)t 2 - .t2 4, t 2 .t2 4、因式分解后用數軸標根法解得x = (0, 2 (t, 區間長度之和為22t 2

9、 - '.t2 4 t 2 t2 4 , c-t =2 22教法指導：因為含有兩個字母，不等式不好解，所以我們要化歸成一個字母的不等式問題，因為描述的是區間 長度，根據題意，圖像平移并不改變區間長度，就轉化成一個字母，然后解出不等式即可求區間長度，注意轉 化化歸的領會；當然，這道題也可以用特殊值法，不再贅述7 (2014年松江區一模理科11)對于任意實數x , (x)表示不小于x的最小整數，如(1. 2 = 2,- 0)2= .0定義在R上的函數f (x) = ( x+(2x，若集合 A = y y = f (x),1WxM0,則集合 A中所有元素的和為答案：-4詳解：x = 1 時，

10、f(x)=3； -1<x<-0.5, f(x)=1； -0.5 < x < 0 , f(x) = 0； A = -3,-1,01教法指導：根據題目定義，引導學生發現規則，用枚舉法列出所有元素即可，重在理解8 ( 2014年松江區一模理科 13)已知函數 f (x) = loga 1 x (a >0,a #1),若 x1 <x2 <x3 <x4 ,且 f (x1) = f (x2) = f (x3) = f (x4),則 1 .工 L.L x1 x2 x3 x4答案：2詳解：設 f (x) = loga 1 -x| = t,loga 1-x=

11、77;t, 1 - x=a *，x -1 =±a±= x = 1±a-111-1atat四個根為1 J , 1 -at, 1- ,1 ,它們的倒數為一t,，一，a aa1 a -1 a -1 a 1倒數之和等于2解法二：特殊值，例如 a=2,令f(x)=1,解出四個根即可教法指導：本題直接求出四個解，并不難，就怕有些學生認為沒這么簡單，從而去從其他角度分析，反而復雜了，當然，本題可以借助數形結合的方法進行理解，作為填空題，特殊值不失為一種好方法9 ( 2014年松江區一模理科 14)設集合A=1,2,3,|,n,若B# 0且B J A,記G(B)為B中元素的最大值

12、與最小值之和，則對所有的B,G(B)的平均值=答案：n 1詳解：當最大值為 n時，最小值可以為 1, 2, 3n, G(B)個數為n, G(B)之和為1 + 2+. + n + nM n =n(1 n) 23 21+n =n n；同理當最大值為2223,、21 ,、n -1 時，G(B)個數為 n-1，和為-(n-1) +- (n-1)；以此類推，所有 G(B)的個數為1十2十. + n = n(1 + n),所有G(B)的和為3 22211_(12 +22 +. + n2)+ (1 + 2 + .+n)=-222211 1 ,人一 ，.，5n(n+1)(2n+1) + 萬-n(n+1),除以

13、 G(B)的個數 n(1 n)211就是G(B)的平均值=(2n+1)+=n+122教法指導：本題可以舉一些 A=1,2,3,|,n的子集，讓學生理解G(B)的意思，然后按最大值或者最小值進行分類，注意 B可能是個單元素集合，不要遺漏這種情況；這類題目注意培養學生的耐心10 (2014年青浦區一模理科 13),x2 - x1x2 -x12y21yl 一已知直角坐標平面上任意兩點P(x1,y1)、Q(x2,y2),定義d(P,Q)=C為P,Q( y2 y1x2 為 < y2 y兩點的“非常距離”，當平面上動點M (x, y)到定點A(a,b)的距離滿足 MA =3時，則d(M , A)的取

14、值范圍是答案：32,3 2詳解：根據題意，通過比較兩點的水平距離和垂直距離，較大的為“非常距離”，A為定點，M的軌跡是 A為圓心，3為半徑的圓，根據下圖，例如A,M1兩點的垂直距離較大，那么此時A, M的非常距離為圖中的綠色線段部分，而A, M2兩點的水平距離相比垂直距離更大，那么非常距離為圖中的紫色線段部分，可以彳#出M與A的水平距離或垂直距離最大為3,當水平距離等于垂直距離的時候取到最小值W2 ,即圖中取 M4的時2候教法指導：理解性的題型，注意引導學生如何理解題意，講解時，一定要輔以圖像幫助理解11 (2014年青浦區一模理科 14)( -1)n 1若不等式(_1)na <3 +

15、( 1 對任意自然數n恒成立，則實數 a的取值范圍是n 1答案：*,2)11詳解：當n為奇數時，a <3+, a >-(3+),因為是恒成立，大于最大值，不等式右邊的最大n 1n 11值永邁小于-3,所以a > -3 ；當n為偶數時，a <3 ，小于最小值，因為 nw N , n = 0時取最小值n - 12教法指導：恒成立問題均為最值問題，注意分類討論，并且 n是自然數，討論 n為偶數的時候，n是可以取0的，學生可能會取 2,這是個易錯點，需要給學生強調12 (2014年金山區一模理科 13)如圖，已知直線l : 4x-3y +6 =0 ,拋物線C : y2 =4x圖

16、像上的一個動點 P到直線l與y軸的距離之和的最小值是答案：1詳解：如下圖， PH +PA = PH +PB1 = PH +PF 1之PH' 1 = 1 , PH '用點到直線距離公式求教法指導：這是 2012長寧區二模題，注意圓錐曲線的相關定義，進行巧妙的轉化，結合圖像引導學生分析13 (2014年金山區一模理科 14)在三木蕤t PABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA = 3,PB = 2,PC=1.設M是底面ABC內一點，定義f(M) =(m,n, p),其中m、n、p分別是三棱錐 M PAB、三棱錐M PBC、三棱錐M - PCA1 1 a.的體積.若f (M )

17、=(一,2x,y),且一十一28恒成立，則正實數 a的最小值為2 x y答案:6 -4,211_.一 1.1 一 .一 , 1 一詳斛：依延總信，2x + y=-, y = 2x ,將不等式中的a分離得a之(8-)(一2x) = 6-(十16x), 22x 22x右邊的最大值為6-4,2 ,所以a - 6-4 2教法指導：這是 2012長寧區二模題，主要是理解題意，得出2x+y是個定值，要引導學生看透看似復雜的表象，抓住條件的本質，然后就是一道常見的恒成立題型14 (2014年奉賢區一模理科 13)已知定義在 R上的函數y = f(x)對任意的x都滿足f (x+2) = f(x),當14x&l

18、t;1時，f(x)=x3,若函數g(x) = f (x) loga x只有4個零點，則a的取值范圍是1 1答案:(-,-)- (3.5)5 3詳解：根據已知條件，f(x)周期為4,先畫f(x) 一個周期圖像，當1Wx<3時，f (x 2) = (x 2)3 = f (x), f (x) = (x 2)3,由此畫出1,3)的圖像，此為一個周期，圖像如下， g(x) = f (x) loga x只有4個零 點即f(x)與y = loga x只有4個交點，因為a是未知的，需要分類討論：1當0 <a <1時，有兩個界值，如下圖，此時5個交點，代入點(-5,-1),解出a=51此時3個

19、交點，代入點(3, 1),解得a =3當a>1時，也有兩個界值，如下圖，此時3個交點，代入點(3,1),解得a = 3此時5個交點，彳入點(5,1),解得a =5教法指導：數形結合的題型，一定要結合圖像分析，并且一些用于定位的特殊點要善于把握；另一方面，必須熟悉初等函數的所有性質以及函數圖像的變換15 (2014年奉賢區一模理科 14)已知函數 y = f (x),任取 tw R ,定義集合:A =y y = f(x)P(t,f(t),Q(x,f(x),|PQ,設Mt,mt分別表示集合 A中元素的最大值和最小值，記h(t) = MtG，則(1)若函數f (x) = x，則h(1) =(2

20、)若函數f (x) =sin；x ,則h(t)的最大值為答案：(1) 2; (2) 2詳解：定義的意思是函數y = f (x)在以定點P (點P在函數圖像上)為圓心半徑為J2的圓內的部分，這部分函數圖像的值域即 At,第一問，t=1,定點P (1,1),如下圖，藍色實線段部分為符合定義的圖像部分，這部分圖像最大值為 2,最小值為0,所以h(1)=2冗第二問，對于 f (x) =sinx,函數最大值與最小值之差為2,如下圖，通過理解觀察，可得出A能夠同時2包含最大值和最小值，所以h(t)的最大值為2,此時t =2k, k w Z教法指導：這是一道理解性的定義題型，理解題目的定義很重要，然后結合函

21、數圖像進行分析就不難了、選擇題1 (2014年奉賢區一模理科18)22設雙曲線nx2 -(n +1)y2 =1 ( n = N )上動點P到定點Q(1,0)的距離的最小值為 dn,則如 dn的值為()A . - B. 1C,0D,122答案：A1 o 11o o詳解：雙曲線萬程兩邊同時除n ,得到x2 (1+ )y2 =,當nT十g , T 0 ,即方程T x2 y2 = 0 ,n nn這就是方程的極限位置，即求點Q(1,0)到直線y = ±x的距離，所以選 A教法指導：這是一類要考慮極限位置的極限題型，在高考題中出現過類似題型，一般找到了極限位置，題目是很容易解的，很多學生不會做是

22、因為沒有想到極限位置，而是想把dn用n表示出來，這就復雜了2 (2014年徐匯區一模理科 18)已知集合M =(x,y，y = f (x ),若對于任意產M ,存在(x2, y?產M ,使得 x x2 + y、2 = 0 成立，則稱集合 M是“垂直對點集”.給出下列四個集合：i r.1 r I1 M =，x, y ： y = - 5； M =(x, y )y =sinx +1)；I xJ M =(x, y )y = log2 x； M =(x, y ) y =ex -2).其中是“垂直對點集”的序號是()A.B.C.D.答案：D詳解：根據題意，對于圖像上任意點A,圖像上存在點 B,使得OALOB,所以用排除法，中(1,1)點不符合，中(1,0)點不符合，所以選 D教法指導：這類題型，重在理解題意；作為選擇題，排除法與特殊值法是要學生能夠靈活運用3 (2014年青浦區一模理科 18)對于函數f(x),若在定義域內存在實數x,滿足f (x) = f(x),稱f(x)為“局部奇函數”，若f (x) =4xm2x* +m2 3為定義域R上的“局部奇函數”，則實數m的取值范圍是()A. 1-73 <m <1 + 73B.1-T3<m<2>/2C. 2, -m - 2 2d. -2.2 -m -1 - . 3答案：B詳解：因為存在實數 x