1、學而思高中完整講義：冪函數、零點與函數的應用.板塊二.函數的零點.學生版典例分析題型一：函數的零點【例1】 若，則方程的根是( )ABC2D2【考點】函數的零點【難度】1星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】【答案】A【例2】 若函數在內恰有一解，則實數的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 【考點】函數的零點【難度】2星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】【答案】B【例3】 已知函數，若在上存在，使，則實數m的取值范圍是 .【考點】函數的零點【難度】2星【題型】填空【關鍵詞】無【解析】 在上存在，使， 則， ，解得. 所以， 實數m的取值范圍是.點評：根的分布問題，實質就是函數零點所在區間的討

2、論，需要逆用零點存在性定理，轉化得到有關參數的不等式【答案】【例4】 函數的零點所在區間為（ ） A. （1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （2，3）【考點】函數的零點【難度】2星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】【答案】C【例5】 函數的零點一定位于區間（ ）.A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5)【考點】函數的零點【難度】2星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 易知函數在定義域內是增函數.，. ，即函數的零點在區間(2,3). 所以選B.【答案】B【例6】 函數的零點必落在區間 （ ）A.B.C.D.(1,2)【考點】函數的零點【難度

3、】2星【題型】選擇【關鍵詞】2009年，泉州市，高考模擬【解析】【答案】 C【例7】 函數的零點所在的區間為（ ）.A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（1，e）【考點】函數的零點【難度】2星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】【答案】B【例8】 若函數有兩個零點，則實數a的取值范圍是 . 【考點】函數的零點【難度】2星【題型】填空【關鍵詞】2009年，山東文，高考【解析】 設函數且和函數,則函數有兩個零點, 就是函數且與函數有兩個交點,由圖象可知當時兩函數只有一個交點,不符合,當時,因為函數的圖象過點(0,1),而直線所過的點（0，a）一定在點(0,1)的上方,所以一定有兩個交點.所以實數a的

4、取值范圍是. 【答案】【例9】 利用函數的圖象，指出下列函數零點所在的大致區間：（1）； （2）.【考點】函數的零點【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】 （1）易知函數在定義域R上是減函數.用計算器或計算機作出的對應值表或圖象.-3-2-10123341341-2-11-32由列表或圖象可知，即，說明函數在區間內有零點，且僅有一個. 所以函數的零點所在大致區間為.（2）易知函數在定義域R上是增函數. 用圖形計算器或計算機作出圖象. 由圖象可知，即，說明函數在區間內有零點，且僅有一個. 所以函數的零點所在大致區間為.【答案】（1）（2）【例10】 已知函數圖象是連續的，有如下表格，判斷函

5、數在哪幾個區間上有零點.21.510.500.511.523.511.022.371.560.381.232.773.454.89【考點】函數的零點【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】【答案】（2，1.5）、（0.5，0）、（0，0.5）內有零點【例11】 畫出函數的圖象，判斷函數在以下區間(-1.5，-1)，(0，0.5)，(0.8，1.5)內有無零點，并判斷零點的個數.【考點】函數的零點【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】 通過作出、的對應值表(如下).-1.5-1-0.500.511.5-1.2522.251-0.2503.25所以圖象為由上表和上圖可知，即，說明這個函數

6、在區間內有零點.同樣，它在區間(0，0.5)內也有零點.另外，所以1也是它的零點.由于函數在定義域和(1，)內是增函數，所以它共有3個零點.【答案】共有3個零點【例12】 求函數的零點，并畫出它的圖象.【考點】函數的零點【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】 因為所以函數的零點為-1，1，23個零點把x軸分成4個區間：(-，-1)、(-1，1)、(1，2)、(2，+).在這四個區間內，取x的一些值，以及零點，列出這個函數的對應值表：-1.5-1-0.500.511.522.5-4.3801.8821.132-0.6302.63在直角坐標系內描點連線，這個函數的圖象如圖所示.【答案】零點為

7、-1，1，2【例13】 函數的圖象是在R上連續不斷的曲線，且，則在區間上（ ）.A. 沒有零點 B. 有2個零點 C. 零點個數為偶數 D. 零點個數為k，【考點】函數的零點【難度】3星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】【答案】D【例14】 已知函數和在的圖象如下所示：給出下列四個命題：方程有且僅有6個根 方程有且僅有3個根方程有且僅有5個根 方程有且僅有4個根其中正確的命題是（將所有正確的命題序號填在橫線上）. 【考點】函數的零點【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】2009年，北京市石景山，高考一模【解析】【答案】【例15】 若函數的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25， 則可以是A. B.

8、C. D. 【考點】函數的零點【難度】3星【題型】選擇【關鍵詞】2009年，福建文，高考【解析】 的零點為,的零點為, 的零點為, 的零點為.現在我們來估算的零點，因為,所以g(x)的零點x(0, ),又函數的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25，只有的零點適合，故選A。【答案】A題型二：二次函數的零點與方程函數在方程中的應用主要是構造函數，確定方程的實根的個數、討論方程的實根的存在性和唯一性問題以及討論方程的實根的范圍問題.主要方法是構造各種函數，利用數形結合，觀察函數圖象的交點等等.【例16】 函數的零點個數（ ）. A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 不能確定【考點】二次函數的零

9、點與方程【難度】1星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】【答案】C【例17】 函數的零點是 . 【考點】二次函數的零點與方程【難度】1星【題型】填空【關鍵詞】無【解析】【答案】2或3【例18】 方程的兩根都大于2，求實數a的取值范圍【考點】二次函數的零點與方程【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】 令，要使的兩根都大于2，則應滿足解得即.【答案】【例19】 若方程的根都為正數，求m的取值范圍.【考點】二次函數的零點與方程【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】 (1)當此方程為一次方程時，即時，方程的根為，滿足題意(2)當m1時，依題意有，解得01綜上，m的取值范圍是(0,1.【答案】(

10、0,1.【例20】 若一元二次方程的兩根都是負數，求k的取值范圍.【考點】二次函數的零點與方程【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】 由題意，k0，解得或k3.【答案】或k3【例21】 關于的方程 的兩個實根 、 滿足 ，則實數m的取值范圍 。 【考點】二次函數的零點與方程【難度】2星【題型】填空【關鍵詞】無【解析】 設，則，即：，解得：【答案】【例22】 已知關于x的方程的兩個實根和，滿足，求實數的取值范圍.【考點】二次函數的零點與方程【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】 本題根據根的判別式和韋達定理也可以求出，但比較麻煩，現在利用函數以及函數的圖象來解，非常容易.令要使方程的

11、兩個實根滿足的開口向上，只需即可即：即，解得，即的取值范圍為【答案】【例23】 已知二次方程的兩個根分別屬于(-1,0)和(0,2),求的取值范圍.【考點】二次函數的零點與方程【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】 設=，則=0的兩個根分別屬于(-1,0)和(1,2).所以，即， 【答案】【例24】 已知mR，函數恒有零點，求實數a的取值范圍。【考點】二次函數的零點與方程【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】 (1)當時，解得恒有解，此時；(2)當時， ，即恒有解， 恒成立， 令恒成立，解得,綜上所述知，當時，；當時，.【答案】當時，；當時，【例25】 若函數在區間a，b上的最小值

12、為2a，最大值為2b，求區間a，b.【考點】二次函數的零點與方程【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】 的最大值只能是，或f(a)，或f(b)，f(x)的最小值只能是或其中之一，令，且，即可得關于a、b的方程組，解出a、b的值.當a值由負值增大到正值時，區間a，b在x軸上自左向右移動，因此在求的最值時，須按區間a，b的位置分類求解.圖象頂點坐標為，.（1）當ab0)，再在同一坐標系中分別也作出拋物線=+12+3和直線=6，如圖，顯然當36163，時，直線=6與拋物線有且只有一個公共點.【答案】題型三：函數的圖像與方程【例30】 方程在下列的哪個區間內有實數解（ ）. A. B. C. D

13、. 【考點】函數的圖象與方程【難度】1星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】【答案】B【例31】 有解的區域是 （ ）A B CD【考點】函數的圖象與方程【難度】1星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】【答案】B【例32】 若函數的圖象與軸有交點，則實數的取值范圍是（ ）A B C D【考點】函數的圖象與方程【難度】1星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 令，得：， ， ，即【答案】A【例33】 函數零點的個數為 . 【考點】函數的圖象與方程【難度】2星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】【答案】3【例34】 當時，函數的值有正值也有負值，則實數的取值范圍是（ ）A B C D【考點】函數的圖象與方程【難度

14、】2星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】【答案】D【例35】 關于x的方程有解，則a的取值范圍是 。 【考點】函數的圖象與方程【難度】2星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 顯然有，原方程可化為 【答案】【例36】 已知函數 的圖象如下，則（ ）A BC D【考點】函數的圖象與方程【難度】2星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 ，當時，當時， ，故，答案為A【答案】A【例37】 是方程的解，則這三個數的大小關系是 。 【考點】函數的圖象與方程【難度】2星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】在同一坐標系中作出函數和的圖象，可以看出：，【答案】【例38】 函數的圖象與軸交點的個數是（ ）A1 B2 C3 D

15、4【考點】函數的圖象與方程【難度】2星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 令， ，解得或 即方程只有兩個實數根【答案】B【例39】 若關于的方程有負根，則實數的取值范圍是 【考點】函數的圖象與方程【難度】2星【題型】填空【關鍵詞】無【解析】 由得：，解得：【答案】【例40】 關于x的不等式，當時恒成立，則實數的取值范圍為 【考點】函數的圖象與方程【難度】2星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 設，則t1，3，原不等式可化為：，等價于大于的最大值 在1，3上為減函數， ，解得：【答案】【例41】 直線與曲線的公共點的個數為（ ）A1 B2 C3 D4【考點】函數的圖象與方程【難度】2星【題型】選擇【

16、關鍵詞】無【解析】 將代入得：，顯然該關于的方程有兩正解，故關于的方程有四解，所以交點有4個，答案D【答案】【例42】 若方程在內恰有一解,則實數的取值范圍是 .【考點】函數的圖象與方程【難度】2星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 設函數，由題意可知，函數在內恰有一個零點. ， 解得. 【答案】【例43】 試判斷方程的實數解的個數是多少【考點】函數的圖象與方程【難度】2星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 本題是一個超越方程，對這類方程用解方程的辦法無法求出方程的解.可以構造函數，直接用數形結合看圖象來得出結論令，在同一坐標系內畫出兩個函數的圖象，如圖：可以很明顯的看到圖象有兩個交點.所以原方程

17、的實數解的個數為2個.【答案】2【例44】 試判斷方程實根的個數.【考點】函數的圖象與方程【難度】2星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 本題利用先去根號，在討論一元二次方程的根的個數的方法也能做，但步驟較繁復，而且容易出錯，不如利用函數的圖象簡單明了. 令，如下圖所示在同一直角坐標系內畫出兩函數的圖象：由圖可知：當，即時，函數有兩個交點，即方程有2個實根；當，即時，函數有3個交點，即方程有3個實根；當，即時，函數有4個交點，即方程有4個實根；當，即時，函數有2個交點，即方程有2個實根；當，即時，函數沒有交點，即方程沒有實數根；綜上所述：當時，方程有4個實根；當時，方程有3個實根；當或時，方程有

18、2個實根；當時，方程沒有實根.【答案】當時，方程有4個實根；當時，方程有3個實根；當或時，方程有2個實根；當時，方程沒有實根.【例45】 若為方程的解，為不等式的解，為方程的解，則、從小到大依次為 ；【考點】函數的圖象與方程【難度】2星【題型】填空【關鍵詞】無【解析】 ，在同一坐標系內作出函數和函數的圖象，可以看出，答案為【答案】【例46】 設依次是方程，的實數根，試比較的大小 【考點】函數的圖象與方程【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】 在同一坐標內作出函數，的圖象從圖中可以看出，又，故【答案】【例47】 求證方程在內必有一個實數根.【考點】函數的圖象與方程【難度】2星【題型】選擇【

19、關鍵詞】無【解析】 設函數. 由函數的單調性定義，可以證出函數在是減函數.而，即，說明函數在區間內有零點，且只有一個. 所以方程在內必有一個實數根.點評：等價轉化是高中數學解題中處理問題的一種重要思想，它是將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，每個問題的求解過程正是這樣一種逐步的轉化. 此題可變式為研究方程的實根個數.【答案】設函數. 由函數的單調性定義，可以證出函數在是減函數.而，即，說明函數在區間內有零點，且只有一個. 所以方程在內必有一個實數根【例48】 三個同學對問題“關于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求實數的取值范圍”提出各自的解題思路甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大

20、值”乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數，右邊僅含常數，求函數的最值”丙說：“把不等式兩邊看成關于的函數，作出函數圖像”參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即的取值范圍是 【考點】函數的圖象與方程【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】無【解析】 ， 原不等式可化為：當時，和同時取到最小值5，故【答案】【例49】 已知函數的圖象與直線只有一個公共點，求這個公共點的坐標【考點】函數的圖象與方程【難度】3星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 由，得因為兩個圖象只有一個公共點，所以，解得：當時，；當時， 當時，公共點的坐標是；當時，公共點的坐標是【答案】當時，公共點的坐標是；當時，公共點的

21、坐標是題型四：函數零點的應用【例50】 若關于x的方程有實根，求實數a的取值范圍【考點】函數的零點的應用【難度】3星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 設，則原方程可變為原方程有實根，即方程有正根令(1)方程有兩個正實根，則解得 ； （2）方程有一個正實根和一個負實根，則，解得：綜上： 【答案】【例51】 已知關于的方程有兩個不同的實根，求的取值范圍.【考點】函數的零點的應用【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】 設，原方程化為：，即 原問題等價于方程有兩個不同的正根，解得：.【答案】【例52】 已知，t，8，對于值域內的所有實數m，不等式恒成立，求的取值范圍【考點】函數的零點的應用【難度

22、】3星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】 t，8， ，3， ，3 原題轉化為：0恒成立，當時，不等式不成立，令，m，3，則：，解得：的取值范圍為【答案】【例53】 已知函數若則與的大小關系為 【考點】函數的零點的應用【難度】3星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為， ，與的中點在(1，)之間， 到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，答案為A【答案】【例54】 若對于任意，函數的值恒大于零,則的取值范圍是 。【考點】函數的零點的應用【難度】3星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 設，顯然，則，即，解得：【答案】【例55】 設函數對都滿足,且方程恰有6個不同的實數根，則這6

23、個實根的和為（ ）A0 B9 C12 D18【考點】函數的零點的應用【難度】3星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 由知的圖象有對稱軸，方程的6個根在軸上對應的點關于直線對稱，依次設為，故6個根的和為18，答案為D【答案】【例56】 已知，（、R），則有（ ）A B C D【考點】函數的零點的應用【難度】3星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 提示一：依題設有 是實系數一元二次方程的一個實根；0 ，答案為B提示二：去分母，移項，兩邊平方得：20，答案為B【答案】B【例57】 已知函數滿足，且1,1時，則與的圖象交點的個數是 ( ) A3 B4 C5 D6【考點】函數的零點的應用【難度】3星【題型】

24、選擇【關鍵詞】無【解析】 由知故是周期為2的函數，在同一坐標系中作出與的圖象，可以看出，交點個數為4【答案】B【例58】 關于的方程，給出下列四個命題： 當時，方程恰有2個不同的實根； 當時，方程恰有5個不同的實根； 當時，方程恰有4個不同的實根； 當時，方程恰有8個不同的實根其中假命題的個數是 ( )A0 B1 C2 D3【考點】函數的零點的應用【難度】3星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 記，則方程變為， 時，原方程有5個解；時，原方程有2個解；時，原方程有8個解；時，原方程有4個解；時，關于t的方程無解，原方程有0個解【答案】A【例59】 已知函數，求證：（1）函數在上為增函數；（2）方

25、程沒有負數根【考點】函數的零點的應用【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】【答案】（1）設，則，；，且，即，函數在上為增函數；（2）假設是方程的負數根，且，則， 即 當時，而由知，式不成立； 當時，而，式不成立綜上所述，方程沒有負數根【例60】 方程，且在區間上有且僅有一個實根，求函數的單調區間.【考點】函數的零點的應用【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】無【解析】 令， （1）由，得，舍去；（2）由，得，舍去；（3） 綜上： 對于函數，令， 則在R上為減函數，在上為增函數，在上為減函數.當時，是減函數；當時，是增函數.【答案】單調減區間單調增區間【例61】 已知方程的四個根組成一個首項為的等差數列,則( )A1 B C D【考點】函數的零點的應用【難度】4星【題型】選擇【關鍵詞】無【解析】 由題意，等差數列的首項為，四項的和為4，設公差為d，則解得：，故該數列的四項為：【答案】C【例62】 解不等式【考點】函數的零點的應用【難度】4星【題型】選