1、義務教育教科書（湘教版義務教育教科書（湘教版)九年級數學上冊九年級數學上冊1.1.一元二次方程的解法一元二次方程的解法2.2.求根公式求根公式 復習提問復習提問一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式：24bac 242bbacxa 方程的判別式：方程的判別式：當當時，方程才有解，可以用求根時，方程才有解，可以用求根公式寫出它的根。公式寫出它的根。求根公式為：求根公式為：200axbxca 我們已經知道，一元二次方程：我們已經知道，一元二次方程：axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a0a0）的根的值由方程的）的根的值由方程的系數系數a a、b b、c c來決定，除此之外，根與來決

2、定，除此之外，根與系數之間還有什么關系呢？系數之間還有什么關系呢？ 完成下面做一做。完成下面做一做。1.1.先解方程，再填表。先解方程，再填表。2 20 0-4-41 1-3-3-4-42 23 35 56 6由上表可得，方程由上表可得，方程x x2 2+bx+c=0+bx+c=0的兩根為的兩根為x x1 1、x x2 2，則，則x x1 1+x+x2 2=_,x=_,x1 1xx2= 2= _._.-b-bc c2 20 02.2.方程方程x x2 2-5x+6=0-5x+6=0的兩個根為的兩個根為: : x x1 1=_,x=_,x2 2=_.=_.得得x x2 2-5x+6=-5x+6=

3、（x-_)(x-_).x-_)(x-_).2 23 32 23 3 剛才我們列舉了部分方程，發現兩根和、兩根積剛才我們列舉了部分方程，發現兩根和、兩根積與系數有這樣的關系，那是不是所有的一元二次方程與系數有這樣的關系，那是不是所有的一元二次方程根與都有關系呢？根與都有關系呢？當當0 0時，設時，設axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（aa）的兩個根為）的兩個根為x x1 1、x x2 2，則則 axax2 2+bx+c=a+bx+c=a（x x2 2+ x+ + x+ ）baca=a=a（x-xx-x1 1）（）（x-xx-x2 2）=a=ax x2 2- -（x x1 1+x+x2 2

4、）+x+x1 1x x2 2 于是，于是，x x2 2+ x+ =x+ x+ =x2 2- -（x x1 1+x+x2 2）+x+x1 1x x2 2bacacababaca由此可得，由此可得， =-=-（x x1 1+x+x2 2），）， =x=x1 1x x2.2.即即 x x1 1+x+x2 2=- =- ，x x1 1x x2 2= = 韋達定理韋達定理 這表明，當這表明，當0 0時，一元二次方程的根與時，一元二次方程的根與系數之間有如下的關系：系數之間有如下的關系： 兩根的和等于一次項系數與二次項系數的比的兩根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數；相反數； 兩根的積等于常數項與

5、二次項系數的比。兩根的積等于常數項與二次項系數的比。caba 12xx12x x 此定理是法國數學家韋達此定理是法國數學家韋達首先發現的，也稱為韋達定理首先發現的，也稱為韋達定理 對任意的一元二次方程對任意的一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a a0 0），它的兩根之和與兩根之積與方程的系數都有它的兩根之和與兩根之積與方程的系數都有這樣的關系存在，就是這樣的關系存在，就是 例例1 1 根據一元二次方程根與系數的關系，求下列根據一元二次方程根與系數的關系，求下列方程兩根方程兩根x x1 1、x x2 2的和與積。的和與積。（1 1）2x2x2 2-3x+1=0-3x+1=0

6、，（2 2）x x2 2-3x+2=10-3x+2=10，（3 3）7x7x2 2-5=x+8.-5=x+8.例例2 2 已知關于已知關于x x的方程的方程x x2 2+3x+q=0+3x+q=0的一個跟為的一個跟為-3,-3,求它的另一個根及求它的另一個根及q q的值。的值。解：設解：設x x2 2+3x+q=0+3x+q=0的另一個根為的另一個根為x x2 2，則，則-3+x-3+x2 2=-3=-3解得解得x x2 2=0=0有根與系數之間的關系得有根與系數之間的關系得 q=q=（-3-3）0=00=0因此，方程的另一個根為因此，方程的另一個根為0 0，q q的值為的值為0.0.你還能用

7、其它的方法解答此題嗎？試試看。你還能用其它的方法解答此題嗎？試試看。 1. 1. 利用根與系數的關系，求作一個一利用根與系數的關系，求作一個一元二次方程，使它的兩根為元二次方程，使它的兩根為2 2和和3.3.（此題答案唯一嗎？）（此題答案唯一嗎？）2.2.不解方程，求下列方程兩根的和與兩根的積不解方程，求下列方程兩根的和與兩根的積各是多少？各是多少？ （1 1）x x2 2 -3x+1=0 ( 2)3x -3x+1=0 ( 2)3x2 2-2x+2=0-2x+2=0 （3 3）2x2x2 2+3x=0 +3x=0 （4 4）3x3x2 2=1=1 3. 3.已知方程已知方程5x5x2 2+kx

8、-6=0+kx-6=0的一個根的一個根是是2 2，求方程的另一個根及，求方程的另一個根及K K的值的值. .變式練習：變式練習： 已知方程已知方程5x5x2 2-7x+k=0-7x+k=0的一個根是的一個根是2 2，求它的另一個根及求它的另一個根及K K的值；的值；)1)(1(21xx2112xxxx（2）（1）（）（） （x x1 1- x- x2 2）2 2 4.4.設設x x1 1，x x2 2是方程是方程2x2x2 2+4x-3=0+4x-3=0的兩個根，的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值。利用根與系數的關系，求下列各式的值。 5.已知關于已知關于x x的一元二次方程的一元二

9、次方程 x x2 2 = 2 = 2（1 1m m）x xm m2 2 的兩實數根為的兩實數根為x x1 1、x x2 2 （1 1）求）求m m的取值范圍；的取值范圍； （2 2）設）設y = xy = x1 1 + x + x2 2，當，當y y取得最小值時，求取得最小值時，求相應相應m m的值，并求出的值，并求出y y的最小值的最小值ba ca12xx1 2xx一元二次方程根與系數的關系一元二次方程根與系數的關系兩根之和等于一次項系數與二次項系數兩根之和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數的比的相反數, ,兩根之積等于常數項與二次項兩根之積等于常數項與二次項系數的比系數的比. . 即即 若若axax2 2+bx+c=