1、絕密啟用前2013年普通高等學校招生全國統一考試（湖南卷）數學（理工農醫類）本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共5頁，時量120分鐘，滿分150分。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數在復平面上對應的點位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】 B【解析】 z = i·(1+i) = i 1,所以對應點(-1,1).選B選B2.某學校有男、女學生各500名.為了解男女學生在學習興趣與業余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調查，則宜采用的抽樣方法是A抽簽法 B隨機

2、數法 C系統抽樣法 D分層抽樣法 【答案】 D【解析】 因為抽樣的目的與男女性別有關，所以采用分層抽樣法能夠反映男女人數的比例。選D3.在銳角中，角所對的邊長分別為.若A B C D 【答案】 D【解析】 選D4.若變量滿足約束條件，A B C D 【答案】 C【解析】 區域為三角形，直線u = x + 2y 經過三角形頂點選C5.函數的圖像與函數的圖像的交點個數為A3 B2 C1 D0 【答案】 B【解析】 二次函數的圖像開口向上，在x軸上方，對稱軸為x=2，g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 從圖像上可知交點個數為2 選B6. 已

3、知是單位向量，.若向量滿足A B C D 【答案】 A【解析】 的模為1，可以在單位圓中解得。選A7已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于A B C D 【答案】 C【解析】 由題知，正方體的棱長為1，。選C8.在等腰三角形中，點是邊上異于的一點，光線從點出發，經發射后又回到原點（如圖）.若光線經過的中心，則等A B C D 【答案】 D【解析】 使用解析法。選D二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分.（一）選做題（請考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題計分）9.在平面直角坐標系中，若右頂點，則

4、常數 3 .【答案】 3【解析】 10.已知 12 .【答案】 12【解析】 .11.如圖2，在半徑為的中,弦 .【答案】 【解析】 （一） 必做題（12-16題）12.若 3 .【答案】 3【解析】 13.執行如圖3所示的程序框圖，如果輸入 9 .【答案】 9【解析】 14設是雙曲線的兩個焦點，P是C上一點，若且的最小內角為，則C的離心率為_?！敬鸢浮?【解析】 設P點在右支上，15設為數列的前n項和，則（1）_；（2）_?！敬鸢浮?【解析】 設P點在右支上，16設函數（1）記集合，則所對應的的零點的取值集合為_?！敬鸢浮?【解析】 。所以f(x)的零點集合為（2）若 .（寫出所有正確結論的

5、序號）若【答案】 【解析】 1所以正確。所以正確。所以正確。三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（本小題滿分12分）已知函數。（I）若是第一象限角，且。求的值；（II）求使成立的x的取值集合?！敬鸢浮?（I）（II）【解析】 （I）.（II）.(完)18（本小題滿分12分）某人在如圖4所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點（指縱、橫的交叉點記憶三角形的頂點）處都種了一株相同品種的作物。根據歷年的種植經驗，一株該種作物的年收獲量Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數X之間的關系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們

6、之間的直線距離不超過1米。（I）從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；（II）從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數學期望?！敬鸢浮?（） （）【解析】 () 由圖知，三角形邊界共有12個格點,內部共有3個格點.從三角形上頂點按逆時針方向開始，分別有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1對格點，共8對格點恰好“相近”。所以，從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，它們恰好“相近”的概率（）三角形共有15個格點。與周圍格點的距離不超過1米的格點數都是1個的格點有2個，坐標分別為(4,0),(0,4)。與周圍格點的距離不超過1米的格

7、點數都是2個的格點有4個，坐標分別為(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。與周圍格點的距離不超過1米的格點數都是3個的格點有6個，坐標分別為(1,0), (2,0), (3,0),(0，1,) ,(0，2),(0，3,)。與周圍格點的距離不超過1米的格點數都是4個的格點有3個，坐標分別為(1，1), (1,2), (2,1)。如下表所示：X1234Y51484542頻數2463概率P.(完)19（本小題滿分12分）如圖5，在直棱柱（I）證明：；（II）求直線所成角的正弦值。【答案】 （） 見下 （）【解析】 () . (證畢)（）。(完)20（本小題滿分13分）在平面直角坐標系x

8、Oy中，將從點M出發沿縱、橫方向到達點N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”。如圖6所示的路徑都是M到N的“L路徑”。某地有三個新建的居民區，分別位于平面xOy內三點處?，F計劃在x軸上方區域（包含x軸）內的某一點P處修建一個文化中心。（I）寫出點P到居民區A的“L路徑”長度最小值的表達式（不要求證明）；（II）若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內部是保護區，“L路徑”不能進入保護區，請確定點P的位置，使其到三個居民區的“L路徑”長度值和最小?！敬鸢浮?（）d= |x 3| + |y 20|，（）當點P(x,y)滿足P(3,1)時, 其到三個居民區的“L路徑”長度值和最小為45【解析】 () ,，

9、其中（）本問考查分析解決應用問題的能力，以及絕對值的基本知識。點P到A,B,C三點的“L路徑”長度之和的最小值d = 水平距離之和的最小值h + 垂直距離之和的最小值v。且h和v互不影響。顯然當y=1時，v = 20+1=21；，水平距離之和h=x (-10) + 14 x + |x-3| ,且當x=3時，h=24.因此,當P(3,1)時，d=21+24=45.所以，當點P(x,y)滿足P(3,1)時,點P到A,B,C三點的“L路徑”長度之和d的最小值為45.21（本小題滿分13分）過拋物線的焦點F作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點A，B，相交于點C，D。以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在的直線記為。（I）若，證明；（II）若點M到直線的距離的最小值為，求拋物線E的方程?！敬鸢浮?（） 見下 （）【解析】 () .所以，成立. (證畢)（）則，. .(完)22（本小題滿分13分）已知，函數。（I）；記求的表達式；（II）是否存在，使函數在區間內的圖像上存在兩點，在該兩點處的切線相互垂