1、等比數列知識點并附例題及解析1、 等比數列的定義：電q q 0 n 2,且n N* , q稱為公比an 12、通項公式：n 1anaga1nqA Bn a1 q0,A B0，首項：a1 ;公比：qq推廣：anmamqqn m 色amq n:m云1 am3、等比中項：(1) 如果a,A,b成等比數列，那么A叫做a與b的等差中項，即：A ab或ab注意：同號的兩個數才有等比中項，并且它們的等比中項 有兩個(4、(2)數列an是等比數列an 1 an 1等比數列的前n項和sn公式:(1) 當 q 1 時，Sn(2)當 q 1 時，Sna1A A Bn ABn A ( A, B,A,B為常數)5、等比

2、數列的判定方法:(1)用定義：對任意的n，都有aman 1qan或anq(q為常數，an0)an為等比數列(2)等比中項：an2an 1an 1 (an 1 an1 0)an為等比數列(3)通項公式:an A Bn A B 0an為等比數列6等比數列的證明方法:依據定義：若anan 1q q 0 n 2,且n N*或an 1 qa“a.為等比數列7、等比數列的性質：(2) 對任何m, n N*，在等比數列an中，有a. amqn m。(3) 若 m n s t(m,n,s,t N*)，則 an am as at。特別的，當 m n 2k 時,2得 anamak注：a1 an a2 an 1 a

3、3an 2(4) 數列a*，bn為等比數列，則數列， ka*，an ， k a*bn，-anbn(k為非零常數)均為等比數列。(5) 數列an為等比數列，每隔k(k N*)項取出一項(am,am k,am 2k, am 3k,)仍 為等比數列(6) 如果an是各項均為正數的等比數列，則數列log a an是等差數列(7) 若an為等比數列，則數列Sn，S2n &，翁，成等比數列(8)若an為等比數列，則數列a1a2an ,an1an2 a2n，a2n1 a2n 2a3n成等比數列(9)當q1 時，;0,貝Wan為遞增數列 o,貝吒和為遞減數列a1 0，則an為遞減數列 當00, b0且b，在a

4、, b之間插入n個正數，x?,xn，使得a, X2，xn, b成等比數列，求證n x2x2xn V【例5】設a、b、c、d成等比數列，求證：(b c)2 + (c a) 2+ (d-b)2= (a d)2.【例6】求數列的通項公式：(1)a n中，a1 = 2， an+1 = 3an+ 2a中，ai=2，5，且 an+2 3an+1 + 2an= 0【例7】 若實數a1 a2、a3、a4都不為零，且滿足(a： + a；)a； 2a2 (a1 + a3)a4 + a； + a： = 0求證：a1 a2、a3成等比數列，且公比為a4.【例8】若a、b、c成等差數列，且 a+ 1、b、c與a、b、c

5、 + 2都成 等比數列，求b的值.【例9】已知等差數列an的公差和等比數列bn的公比都是d,又知1,且 a4=b4， a1O=bio：求a1與d的值；(2)b 16是不是a n中的項?121【例10】 設an是等差數列，5=(丄)弘，已知b1 + b2 + b3二勺,281b1b2b3 =丄，求等差數列的通項.8【例11】三個數成等比數列，若第二個數加4就成等差數列，再把這個等差數列的第3項加32又成等比數列，求這三個數.【例12】有四個數，其中前三個數成等差數列， 后三個數成等比數列,并且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和是 12，求這四個數例 13】已知三個數成等差數列，

6、其和為 126 ；另外三個數成等比數列，把兩個數列的對應項依次相加， 分別得到 85，76，84求 這兩個數列例 14】已知在數列 an 中， a1、a2、a3 成等差數列， a2、 a3、a4成等比數列， a3、 a4、 a5 的倒數成等差數列，證明： a1、 a3、 a5 成等比數列【例 15】 已知 (b c)log mx(c a)log my(a b)log mz=0(1) 設 a，b，c 依次成等差數列，且公差不為零，求證：x， y， z 成等比數列數列(2) 設正數 x， y，z 依次成等比數列，且公比不為1，求證： a，b，c 成等差等比數列例題解析【例1】 已知Sn是數列an的

7、前n項和，Sn= pn(p R, n N*)，那么數列an A. 是等比數列B. 當pz 0時是等比數列C. 當pz 0, pz 1時是等比數列D. 不是等比數列分析由 Sn= pn(n N*), 有a =S = p，并且當n2時，an=Sn_ Sn-1 = Pn_Pn-1 = (P 1)p n-1p z 0故a2 = (p 1)p，因此數列a n成等比數列 p 1 z 0(P 1)pn1P(P 1)(p 2)pn 2p但滿足此條件的實數p是不存在的，故本題應選D.說明 數列an成等比數列的必要條件是anz 0(n N*)，還要注a意對任n N * , n2,都為同一常數是其定義規定的準確含義

8、.an 1【例2已知等比數列1, X1, X2，X2n, 2,求X1 X2 X3 X2n.解/ 1, X1, X2，X2n, 2成等比數列，公比 q 2= 1 q2n+1x1x2x3x2n= q 2n (1+2 n)q 2n ( 2 n 1)q2n【例3等比數列a n中，已知a2 =4, a =1寸，求通項公式；(2)已知 a3 a4 a5 = 8, 求 a2a3a4aa6 的值.1解(1)a5 = a2q5 2 q =24(-2)n2 =(2(2) J a3 a5 = a4 a3 = 一n 2 _an = a2q =1、n42 a3 = 8a4 = 2又 32 36 = 34-a2a3a4a

9、5a6 = a4 = 32q2. q3.q2n=q1+2+3+ +2nxn，使得 a, xi，X2，, xn, b成等比數列，求a b2 .證 n X/2,xn V證明 設這n+ 2個數所成數列的公比為q,則b=aqn+1n 1b- qan 1 n XiX2,Xnn2nn aqaq aqaq 2 a b ab v2【例5】設a、b、c、d成等比數列，求證：(b c) 2+ (c=(a d)2.證法一 a、b、c、d成等比數列 a bcb cd b2= ac,c2= bd, ad= bc左邊=b22bc +c2+ c2 2ac + a2 + d2 2bd + b2a) 2+ (d b)2=2(b

10、2 ac) + 2(c2 bd) + (a2 2bc + d2)=a2 2ad+ d2=(a d) 2=右邊證畢.證法二/ a、b、c、d成等比數列，設其公比為q,則:23b= aq, c = aq , d=aq左邊=(aq aq2) 2+ (aq 2 a) 2 + (aq 3 aq) 2=a2 2a2q3+ a2q6=(a aq3)2=(a d) 2=右邊證畢.了求證式中右邊沒有 b、c的特點，走的是利用等比的條件消去左邊式中的b、c的路子.證法二則是把 a、b、c、d統一化成等比數列的基本元素a、q去解決的證法二稍微麻煩些，但它所用的統一成基本元素的方法，卻較證法一的方法具有普遍性.【例6

11、】 求數列的通項公式：(1)a n中，a1 = 2， an+1 = 3an+ 2a n中，ai=2,5，且 an+2 - 3an+1 + 2an= 0思路：轉化為等比數列.解(1)a n+! = 3a n + 2%+! + 1 = 3(a n + 1)a n+ 1是等比數列 an + 仁3 3n-1 an=3n -1(2)a n+2 - 3an+1 + 2an = 0an+2 an+1=2(a n+1 an ) an+1 an是等比數列，即an+1 an=(a2 a1) -1 =3 2-1再注意到a? a=3,a3 a2=321, a3=3 22，an an-1 =32n 2 ,這些等式相加，

12、即可以得到n 1 丄2n-221n 1an = 31 + 2 + 22 + 2 = 3 2=3(2 1)說明解題的關鍵是發現一個等比數列，即化生疏為已知.(1)中發現an+1是等比數列，(2)中發現an+1 an是等比數列，這也是通常說的化歸思想的一 種體現.【例7】 若實數a1 a2、a3、a4都不為零，且滿足(a： + a2)a2 2a2(a1 + a3)a4 + a； + a： = 0求證：a1 a2、a3成等比數列，且公比為a4.證 /a2、a3、a4均為不為零的實數- (a1 + a2)x 2az(a1 +a3)x+a2 + 直=0為實系數一元二次方程等式(af +a2)a4 2a2

13、+a3)a4 +a2 +云=0說明上述方程有實數根a 上述方程的判別式0, 即卩2 2 2 2 2-2a2（ai + a3） - 4 + a?）? + &3） =4（a；玄代）20二（a； a3）2 w 0又a、a?、a3為實數 （a； - a）2 0 必有 a2 a1a3 = 0 即 a2 = a1a3因而a、a2、a3成等比數列又；a42a： （ai2（afa3）OITa2 （ aia3）2ai aia3aai a4即為等比數列aa2、ag的公比.【例8】 若a、b、c成等差數列，且 a+ 1、b、c與a、b、c + 2都成等比數 列，求b的值.解 設 a、b、c 分別為 b d、b、b

14、+ d,由已知 b d + 1、b、b + d 與 b d、 b、b+ d + 2都成等比數列，有b2 = (b - d + i)(b + d)b2 = (b - d)(b + d+ 2)整理，得222b = b - d + b + d222b = b -d + 2 b- 2d b+ d=2b- 2d 即 b=3d代入，得9d2=(3d d+ 1)(3d + d)9d2=(2d + 1) 4d解之，得d=4或d=0(舍) b=12【例9】已知等差數列an的公差和等比數列bn的公比都是d,又知1, 且 a4=b4， a10=b10：(1)求a1與d的值;(2)b 16是不是a n中的項?思路：運

15、用通項公式列方程3a4 = b4ai + 3d = aid解由9aio = bio a1 + 9d = a1da1(1-d3) = - 3dai(1- d9)= - 9dd6 + d3 - 2 = 0di1(舍)或 d23 2 aid 3 2 d 3 2(2) v bi6=bi d15=-32b1且印=a1 + 3d = 22 = b4b4 = bi d3 = - 2b1 = - 23 2 b1 = a1 =垃 2 b6= 32b = 32a，如果b6是a門中的第k項，則32a i =ai + (k 1)d (k 1)d= 33a1=33d k=34即b16是an中的第34項.121【例10】

16、 設an是等差數列，bn =(-)an，已知b1 + b2 + b3二一,281 bib2b3 =1，求等差數列的通項.8解 設等差數列a n的公差為d,貝U an=ai+ (n 1)d1 -bn = (?)ai(n 1)d1 abib3 = (-) 1-(丄嚴(丄嚴+(2丿111由b1b2 b3 = 1,解得b；二1 ,解得b2 =,代入已知條件8 8 2bib2b3b1 b2-8b3bib3J理得bi + b3178解這個方程組，得1 、 1b1 =2，b3 = 8或b1 =8，b3 = 2 a= 1, d=2 或 ai=3, d= 2當 a = 1, d=2 時，an=a + (n 1)

17、d=2n 3當 ai=3, d=2 時，an=a + (n 1)d=5 2n4就成等差數列，再把這個等【例11】 三個數成等比數列，若第二個數加 差數列的第3項加32又成等比數列，求這三個數.解法一按等比數列設三個數，設原數列為aq, aq2由已知：a, aq+ 4, aq2成等差數列即：2(aq + 4)=a + aq2a, aq+ 4, aq2 + 32成等比數列即：(aq + 4) 2=a(aq 2 + 32)aq+ 2 = 4a，兩式聯立解得:這三數為：2, 6,18 或 9,2a=-9 q = 5 109509解法二按等差數列設三個數，設原數列為 由已知：三個數成等比數列b 4, b

18、 + d即：(b 4)2=(b d)(b + d)8b d2 = 16b d, b, b+ d + 32成等比數列即 b2=(b d)(b + d + 32)232b d 32d = 0、兩式聯立,解得:26b =-98d =-3或 d=802三數為2 ,9io950 或 2, 6 ,918 解法三任意設三個未知數，設原數列為a1,a2，a3由已知:ai，a2，a3成等比數列得: a2=aia3ai， a2 + 4, ag成等差數列得：2(a 2 + 4)=a i + a3ai, a2 + 4, a3 + 32成等比數列得：(a 2+ 4) 2=ai(a3+ 32)、式聯立，解得:說明將三個成

19、等差數列的數設為29i0950a3 =-39aia?3i = 2 a? = 6a3 = i8a d, a,a+ d;將三個成aq）是一種常用技巧，可起到等比數列的數設為a, aq, aq2（或-,a,q簡化計算過程的作用.【例i2】 有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和是i6,第二個數與第三個數的和是i2,求這四個數.分析本題有三種設未知數的方法方法一 設前三個數為a d, a, a + d,則第四個數由已知條件可推得:(a d)2a方法二 設后三個數為b, bq, bq2，則第一個數由已知條件推得為2b bq .方法三 設第一個數與第二個數分別為

20、x, y,則第三、第四個數依次為 12- y, 16 x.由這三種設法可利用余下的條件列方程組解出相關的未知數，從而解出所求 的四個數，解法一 設前三個數為a d, a, a+ d,則第四個數為吐.a,(a d)2“依題意，有a d+=16aa+ (a+ d) = 12解方程組得:a1 = 4a2 = 91或2d1 = 4d2 = 6所求四個數為：0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1.解法二 設后三個數為：b, bq, bq2，則第一個數為：2b bq依題意有：2b bq + bq2 = 16b+ bq = 12解方程組得：b2 = 9S =4C或1q1=2q2 =3所求四個數為

21、：0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1. 解法三設四個數依次為x, y, 12 y, 16 x.x+ (12 y) = 2y依題意有2y (16 x) = (12 y)2解方程組得：X1 = 0 亠 x2 = 15 或y1 = 4y2 = 9這四個數為0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.【例13】已知三個數成等差數列，其和為 126;另外三個數成等比數列，把兩個數列的對應項依次相加，分別得到85, 76, 84.求這兩個數列.解 設成等差數列的三個數為b d, b, b+ d，由已知，bd + b + b+ d=126 b=42這三個數可寫成 42 d, 42, 42 + d.再設另三個數為 a, aq, aq2.由題設，得a+ 42 d = 85ap+ 42 = 762aq + 42 + d = 84整理，得a d = 43aq = 342aq + d = 42解這個方程組，得ai=17 或 a2=68當 a=17 時，q=2, d= 261當 a= 68時，q 二