1、2011年普通高等學校招生全國統一考試數學理試題（廣東卷，解析版）本試題共4頁，21小題，滿分150分，考試用時120分鐘。注意事項：1答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準

2、使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。5考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：柱體的體積公式，其中為柱體的底面積，為柱體的高線性回歸方程中系數計算公式，其中，表示樣本均值是正整數，則一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1設復數滿足，其中為虛數單位，則A B C D1（B）2已知集合為實數，且，為實數，且，則的元素個數為A0 B1 C2 D32（C）的元素個數等價于圓與直線的交點個數，顯然有2

3、個交點3若向量滿足且，則A4 B3 C2 D03（D）依題意得，則4設函數和分別是上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是A是偶函數 B是奇函數C是偶函數 D是奇函數4（A）由是偶函數、是奇函數，得和都是偶函數，所以與都是偶函數，與的奇偶性不能確定5已知平面直角坐標系上的區域由不等式組給定若為上的動點，點的坐標為，則的最大值為A B C4 D35（C），即，畫出不等式組表示的平面區域，易知當直線經過點時，取得最大值，6甲、乙兩隊進行排球決賽，現在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍 若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為A BC D6（D）乙獲得冠軍的概率為，則

4、甲隊獲得冠軍的概率為32正視圖圖13側視圖圖2211211俯視圖圖37如圖1 3，某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為A B C D7（B）該幾何體是一個底面為平行四邊形，高為3的四棱柱，易求得平行四邊形的高為，則8設是整數集的非空子集，如果，有，則稱關于數的乘法是封閉的若是的兩個不相交的非空子集，且，有；，有，則下列結論恒成立的是A中至少有一個關于乘法是封閉的 B中至多有一個關于乘法是封閉的C中有且只有一個關于乘法是封閉的 D中每一個關于乘法都是封閉的8（A）若為奇數集，為偶數集，滿足題意，此時與關于乘法都是封閉的，排除B、C若為負整數

5、集，為非負整數集，也滿足題意，此時只有關于乘法是封閉的，排除D二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（9 13題）9不等式0的解集是 90 110的展開式中，的系數是 （用數字作答）1084的通項，由得，則11等差數列前9項的和等于前4項的和若，則 1110方法1：由得，求得，則，解得方法2：由得，即，即，即12函數在 處取得極小值122，令得或，顯然當時；當時；當時，函數在處取得極小值13某數學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為

6、cm13185設父親的身高為cm，兒子的身高為cm，則根據上述數據可得到如下表格：173170176182170176182？上表中的最后一組是預測數據，線性回歸方程，所以當時，即他孫子的預測身高為185 cm（二）選做題（14 15題，考生只能從中選做一題）14（坐標系與參數方程選做題）已知兩曲線參數方程分別為和 ，它們的交點坐標為_14表示橢圓，表示拋物線或（舍去），又因為，所以它們的交點坐標為圖415（幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點分別作圓的切線和割線交圓于，且，是圓上一點使得，則_15由弦切角定理得，又，則，則，即三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過

7、程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數，（1）求的值；（2）設，求的值16解：（1）（2），即，即，17（本小題滿分13分）為了解甲、乙兩廠的產品質量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產的產品中分別抽取14件和5件，測量產品中微量元素的含量（單位：毫克）下表是乙廠的5件產品的測量數據：編號123451691781661751807580777081（1）已知甲廠生產的產品共有98件，求乙廠生產的產品數量；（2）當產品中的微量元素滿足且時，該產品為優等品用上述樣本數據估計乙廠生產的優等品的數量；（3）從乙廠抽出的上述5件產品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產品中優等品數的分布列及其均值（即數

8、學期望）17解：（1）設乙廠生產的產品數量為件，則，解得所以乙廠生產的產品數量為35件（2）從乙廠抽取的5件產品中，編號為2、5的產品是優等品，即5件產品中有2件是優等品由此可以估算出乙廠生產的優等品的數量為（件）（3）可能的取值為0，1，2 的分布列為：012圖518（本小題滿分13分）如圖5，在錐體中，是邊長為1的菱形，且，分別是的中點（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值18（1）證明：取的中點，連接，在邊長為1的菱形中，是等邊三角形，平面分別是的中點，平面（2）解：由（1）知，是二面角的平面角易求得二面角的余弦值為19（本小題滿分14分）設圓與兩圓，中的一個內切，另一個外切（1）求的

9、圓心軌跡的方程；（2）已知點，且為上動點，求的最大值及此時點的坐標19解：（1）設，圓的半徑為，則的圓心軌跡是以為焦點的雙曲線，的圓心軌跡的方程為（2）的最大值為2，此時在的延長線上，如圖所示，必在的右支上，且，直線的斜率， 的最大值為2，此時為20（本小題滿分14分）設，數列滿足，（1）求數列的通項公式；（2）證明：對于一切正整數，20（1）解： 當時，則是以為首項，為公差的等差數列，即 當且時，當時，是以為首項，為公比的等比數列綜上所述（2）方法一：證明： 當時，； 當且時，對于一切正整數，方法二：證明： 當時，； 當且時，要證，只需證，即證即證即證即證，原不等式成立對于一切正整數，21（本小題滿分14分）在平面直角坐標系上，給定拋物線：實數滿足，是方程的兩根，記（1）過點作的切線交軸于點證明：對線段上的任一點，有；（2）設是定點，其中滿足，過作的兩條切線，切點分別為，與軸分別交于線段上異于兩端點的點集記為證明：；（3）設，當點取遍時，求的最小值 （記為）和最大值（記為）21解：（1）是拋物線上的點，則切線的斜率過點的拋物線的切線方程為：，即在線段上，不妨設方程的兩根為，則， 當時， 當時，綜上所述，對線段上的任一點，有（2）由（1）知拋物線在處的切線方程為，即切線恒過點，則， 當時， 當時，綜