1、用“點差法解圓錐曲線的中點弦問題與圓錐曲線的弦的中點有關的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題。解圓錐曲線的中點弦冋題的一般方法是：聯立直線和圓錐曲線的方程，借助于一兀二次方程的根的判別式、根與系數的關系、中點坐標公式求解，但運算量較大。假設設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為A(xi，yj、B(X2,y2)，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到 一個與弦AB的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法 為“點差法。下面就如何用點差法計算舉幾個例子供大家參考。一、求以定點為中點的弦所在直線的方程2 2例1、過橢圓仝 I 1 一點M(2,1)引一條弦，使弦

2、被 M點平分，求這條弦所在直線的164方程。解：設直線與橢圓的交點為 A(x-!, y1)、B(x2, y2)M (2,1)為 AB 的中點x1 x2 4 y1 y2 22 2 2 2又A、B兩點在橢圓上，那么x1 4y1 16，x2 4y2 16兩式相減得(x2 2 21X2 ) 4(y12、y2 )0于是(X1X2)(X1 X2)4(%y2)(%y2) 0Y1Y2X-|x241x-ix24( y1y2)4 22即kAB1,故所求直線的方程為y11-(X 2)，即 X 2y 40 o222例2、雙曲線x2 1，經過點M (1,1)能否作一條直線l，使丨與雙曲線交于 A、B，2且點M是線段AB

3、的中點。假設存在這樣的直線丨，求出它的方程，假設不存在，說明理由。解：設存在被點M平分的弦AB，且A(x-!, y1)、B(x2, y2)貝V X1X22 y1y222X12y11 ,2X22 宜 122兩式相減，得(X1X2)(X1X2)知y2)(y1 y2)0kABy1y2 22X1X2故直線 AB: y 12(x 1)y 12(x 1)由 2 y2消去y，得2x2 4x 30x12(4)24 2 38 0這說明直線 AB與雙曲線不相交，故被點 M平分的弦不存在，即不存在這樣的直線丨。策略：此題如果無視對判別式的考察，將得出錯誤的結果，請務必小心。由此題可看到中點 弦問題中判斷點的 M位置

4、非常重要。(1)假設中點M在圓錐曲線，那么被點 M平分的弦一般 存在；(2)假設中點M在圓錐曲線外，那么被點 M平分的弦可能不存在。二、 求弦的中點坐標和中點軌跡方程2例3、橢圓匚752x251的一條弦的斜率為13,它與直線x 的交點恰為這條弦的中點2解:設弦端點 P(x1, y1)、Q(X2,y2)，弦PQ的中點M(Xo,yo)，那么xx22xo1，%y2 2yo22 22又y1X11 ，y2X2175257525兩式相減得25(Y1Y2)(Y1y2)75(x1 x2)(x1 x2)o即 2yo(%y2) 3(X1 X2) oy1 y23X1 X22yok y1y233-3，1即yoX2 2

5、y02點M的坐標為(-,-)。2 22 2例4、橢圓匚 1,求它的斜率為3的弦中點的軌跡方程。7525解:設弦端點 P(x1, y1)、Q(X2,y2)，弦PQ的中點M(x, y)，那么x1x22x，%y22y22 22又y1X11 ，y2X2175257525兩式相減得25(y1 y2)(y1y2)75(x1 x2)(x1 x2)oM，求點M的坐標。Xo即 y(yiy2)3x(x1X2)3xXiX2k 3 x1 x23x3，即xx由y275125，得P( - 3252) q(畧2 25 3)在橢圓它的斜率為3的弦中點的軌跡方程為 x y求與中點弦有關的圓錐曲線的方程例5、中心在原點，一焦點為

6、F(0, 50)的橢圓被直線l : y1橫坐標為一，求橢圓的方程。22解：設橢圓的方程為篤a2?1，那么八/ 50 設弦端點P(x1, y1)、Q(X2,y2)，弦PQ的中點M (xo,yo)，X。-, y°23x022X12 2 又y1X1乂2.2ab1,2y22 a2X2b21兩式相減得b (y1y2)(y1y2)即 b2(y1y2)a2(x1X2)0y1y2X1x22 a b22 a b73 一 -聯立解得2 a75 ,b225X2 2x。 i，yi y2a2(x., x2)(x., x2) 02所求橢圓的方程是752125四、求圓錐曲線上兩點關于某直線對稱的問題2X例6、橢圓

7、一2J 1，試確定的m取值圍，使得對于直線5.3)23x 2截得的弦的中點的那么2y。1y 4x m，橢圓上總有不同的兩點關于該直線對稱。解：設, B(X2,y2)為橢圓上關于直線y 4x m的對稱兩點，P(x, y)為弦RF22 2 2 2的中點，貝V 3捲4y,12，3X24y?12兩式相減得，3(為2 x22)4(y12 y22)0即 3(xi X2)(Xi X2)4(yi y2)(% y?)0Xi X2 2x , yi y2 2y, 土_泡1X1 X24l對稱的y 3x這就是弦PP2中點P軌跡方程。它與直線y 4x m的交點必須在橢圓聯立yy3x4x，得Xm3m那么必須滿足y23 3x

8、2,4my3 22 i32、i3即(3m)23m，解得m4i3i33例7、拋物線C: y (x -)2和直線l : y kx(k 0)為使拋物線上存在關于4兩點，求k的取值圍。解：設拋物線C上存在不同的兩點(x1, y1), P2(x2, y2)關于直線l對稱，線段RP2的中點為 M(xo，y°)，那么 Xi X2 2xo , yi y? 2y°3 23 2yi (xi)，y (X2)4 4-可得：yi % -3X-|x2，即KRP22xo3Xix222由于PP2l，所以KPP2丄,故i32Xo -,即i2xo30n3 i即X。kk2k24 2k又因為M(xo,y°)在直線l:y kx(k0)上，所以yo4i2，因為M (x°, y°)在拋物3 2線y (x)開口，所以Yo(xo，故 yo3ki0 ,所以k i。即卩k的取4442值圍是i,策略：此題需要根據弦中點 M(x0,y0)位置求k的取值圍，如果不考慮 M(x0,y0)位置，可