1、第八講 數(shù)列綜合高考在考什么【考題回放】1.已知成等比數(shù)列，且曲線的頂點(diǎn)是，則等于（B）3 2 1 2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則73. 在等比數(shù)列中,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于A B. C. D.【解析】因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則即，所以，故選擇答案C。4.設(shè)集合， 都是的含兩個(gè)元素的子集，且滿足：對(duì)任意的，（，），都有（表示兩個(gè)數(shù)中的較小者），則的最大值是（B）A10 B11 C12 D135. 已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)an .解析：解: 10Sn=an2+5an+6， 10

2、a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an1>0 ， anan1=5 (n2) 當(dāng)a1=3時(shí)，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比數(shù)列a13;當(dāng)a1=2時(shí)，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， a1=2， an=5n36.已知公比為的無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9，無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為.(I)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；(II)對(duì)給定的，設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求的前10項(xiàng)之和；解: ()依題意可知

3、,()由()知,所以數(shù)列的的首項(xiàng)為,公差,即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155.高考要考什么本章主要涉及等差（比）數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和及其性質(zhì)，數(shù)列的極限、無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和同時(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，是歷年的重點(diǎn)內(nèi)容之一，近幾年考查的力度有所增加，體現(xiàn)高考是以能力立意命題的原則高考對(duì)本專題考查比較全面、深刻，每年都不遺漏其中小題主要考查間相互關(guān)系，呈現(xiàn)“小、巧、活”的特點(diǎn)；大題中往往把等差（比）數(shù)列與函數(shù)、方程與不等式，解析幾何 等知識(shí)結(jié)合，考查基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法的運(yùn)用，對(duì)思維能力要求較高，注重試題的綜合性，注意分類討論高考中常常把數(shù)列、極限與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等等相關(guān)內(nèi)容綜合

4、在一起，再加以導(dǎo)數(shù)和向量等新增內(nèi)容，使數(shù)列綜合題新意層出不窮常見(jiàn)題型：（1）由遞推公式給出數(shù)列，與其他知識(shí)交匯，考查運(yùn)用遞推公式進(jìn)行恒等變形、推理與綜合能力（2）給出Sn與an的關(guān)系，求通項(xiàng)等，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想與解決問(wèn)題能力（3）以函數(shù)、解析幾何的知識(shí)為載體，或定義新數(shù)列，考查在新情境下知識(shí)的遷移能力理科生需要注意數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列綜合題中的應(yīng)用，注意不等式型的遞推數(shù)列 突 破 重 難 點(diǎn)【范例1】已知數(shù)列，滿足，且（）（I）令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式解：（）由題設(shè)得，即（）易知是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為（II）解：由題設(shè)得，令，則易知是首項(xiàng)為，

5、公比為的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為 由解得， 求和得【變式】在等差數(shù)列中，前項(xiàng)和滿足條件， （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為,由得：，所以，即，又，所以。（）由，得。所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即。（理）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。（）、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）、設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)m；解：（）設(shè)這二次函數(shù)f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以3n22n.當(dāng)n2時(shí)

6、，anSnSn1（3n22n）6n5.當(dāng)n1時(shí)，a1S13×1226×15，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）<（）成立的m,必須且僅須滿足，即m10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.【范例2】已知函數(shù)，是方程f(x)=0的兩個(gè)根，是f(x)的導(dǎo)數(shù)；設(shè)，（n=1,2,） （1）求的值； （2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有>a；（3）記（n=1,2,），求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn。解析：（1），是方程f(x)=0的兩個(gè)根，； （2），=，有基本不等式可知（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），同，樣，（n=1,2,）， （3），而，即，同理，又【文

7、】已知函數(shù)，、是方程的兩個(gè)根()，是的導(dǎo)數(shù)設(shè)，.(1)求、的值；(2)已知對(duì)任意的正整數(shù)有,記,.求數(shù)列的前項(xiàng)和解、(1) 由 得 (2) 又 數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為 ,公比為2的等比數(shù)列; 【變式】對(duì)任意函數(shù)f（x），xD，可按圖示32構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：輸入數(shù)據(jù)x0D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x1f（x0）；若x1D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x1D，則將x1反饋回輸入端，再輸出x2f（x1），并依此規(guī)律繼續(xù)下去現(xiàn)定義f（x）=（）若輸入x0，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列xn請(qǐng)寫出數(shù)列xn的所有項(xiàng)；（）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x0的值；（）（理）若輸入x0時(shí)，產(chǎn)生的

8、無(wú)窮數(shù)列xn滿足：對(duì)任意正整數(shù)n,均有xnxn1，求x0的取值范圍解：（）f（x）的定義域D（1）（1，）數(shù)列xn只有三項(xiàng)x1，x2，x31（）f（x）x即x23x20，x1或x2即x01或2時(shí)，xn1xn，故當(dāng)x01時(shí)，x01；當(dāng)x02時(shí)，xn2（nN）（）解不等式x，得x1或1x2，要使x1x2，則x21或1x12對(duì)于函數(shù)f（x）。若x11，則x2f（x1）4，x3f（x2）x2當(dāng)1x12時(shí)，x2f（x）x1且1x22依次類推可得數(shù)列xn的所有項(xiàng)均滿足xn1xn（nN）綜上所述，x1（1，2），由x1f（x0），得x0（1，2）【范例3】已知（）是曲線上的點(diǎn)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，（I）

9、證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（II）確定的取值集合，使時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；（III）證明：當(dāng)時(shí)，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得因?yàn)?，所?于是 由得 于是 由得， 所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列（II）由有，所以由有，所以，而 表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，所以，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對(duì)任意的成立且即所求的取值集合是（III）解法一：弦的斜率為任取，設(shè)函數(shù)，則記，則，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，所以時(shí)，從而，所以在和上都是增函數(shù)由（II）知，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，取，因?yàn)?，所以取，因?yàn)?，所以所以，即弦的斜率隨單調(diào)遞增解法二：設(shè)函數(shù)，同解法一得，在和上都是增函

10、數(shù)，所以，故，即弦的斜率隨單調(diào)遞增【文】設(shè)是數(shù)列（）的前項(xiàng)和，且，（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（II）試找出一個(gè)奇數(shù)，使以18為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列（）中的所有項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，并指出是數(shù)列中的第幾項(xiàng)解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得因?yàn)?，所?于是 由得：于是由得：即數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列（II）由有，所以由有，所以，而表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列所以，由題設(shè)知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，只可能是數(shù)列中的項(xiàng)若是數(shù)列中的第項(xiàng)，由得，取，得，此時(shí)，由，得，從而是數(shù)列中的第項(xiàng)（注：考生取滿足，的任一奇數(shù)，說(shuō)明是數(shù)列中的第項(xiàng)即可）【變式】（文）已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，證明數(shù)列l(wèi)g(1+an)是等比數(shù)列；設(shè)Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及數(shù)列an的通項(xiàng)；記bn=，求bn數(shù)列的前項(xiàng)和Sn，并證明Sn+=1.解：（）由已知，兩邊取對(duì)數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列.（）由（）知（*）=由（*）式得（） 又 又（理）在數(shù)列中，其中（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）證明存在，使得對(duì)任意均成立（）解法一：，由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為以下用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)時(shí)，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，那么這就是說(shuō)