1、習題一（P.14）1. 下列各近似值均有4個有效數字,試指出它們的絕對誤差和相對誤差限.解 有4個有效數，即，由有效數字與絕對誤差的關系得絕對誤差限為，由有效數字與相對誤差的關系得相對誤差限為 ；有4個有效數，即，由有效數字與絕對誤差的關系得絕對誤差限為，由有效數字與相對誤差的關系得相對誤差限為 ；有4個有效數，即，由有效數字與絕對誤差的關系得絕對誤差限為，由有效數字與相對誤差的關系得相對誤差限為 .2下列各近似值的絕對誤差限都是,試指出它們各有幾位有效數字. 解 ，即由有效數字與絕對誤差的關系得 ，即 ，所以，；，即由有效數字與絕對誤差的關系得 ，即 ，所以，；，即由有效數字與絕對誤差的關系

2、得 ，即 ，所以，.4.設有近似數且都有3位有效數字，試計算，問有幾位有效數字.解 方法一因都有3位有效數字，即，則，又 ，此時，從而得.方法一因都有3位有效數字，即，則，由有效數字與絕對誤差的關系得.5.序列有遞推公式若（三位有效數字），問計算的誤差有多大，這個計算公式穩定嗎？解 用表示的誤差，由，得，由遞推公式 ，知計算的誤差為，因為初始誤差在計算的過程中被逐漸的放大，這個計算公式不穩定.習題2 ( P.84)3.證明 ，對所有的其中為Lagrange插值奇函數. 證明 令，則，從而 ，又 ，可得 ，從而 .4. 求出在和3處函數的插值多項式.解 方法一 因為給出的節點個數為4，而從而余項

3、，于是 （n次插值多項式對次數小于或等于的多項式精確成立）.方法二 因為而 ，從而 .5. 設且，求證.證明 因，則，從而 ，由極值知識得 6. 證明 .證明 由差分的定義 或著 7. 證明 n階差商有下列性質(a) 如果，則.(b) 如果，則.證明 由差商的定義 (a) 如果，則.(b) 如果，則8. 設，求，.解 由P.35定理7的結論(2)，得7階差商 (的最高次方項的系數)，8階差商 (8階以上的差商均等與0).9. 求一個次數不超過4次的多項式，使它滿足：，.解 方法一 先求滿足插值條件，的二次插值多項式 (L-插值基函數或待定系數法)，設從而，再由插值條件，得所以 ，即 .方法二

4、設，則 由插值條件，得解得 ，從而 .方法三 利用埃爾米特插值基函數方法構造.10. 下述函數在上是3次樣條函數嗎？解 因為 ，而 ，又是三次函數，所以函數在上是3次樣條函數.補 設f(x)=x4，試利用L-余項定理寫出以-1,0,1,2為插值節點的三次插值多項式.解 因為 ，從而 習題3 ( P.159) 1設為上具有權函數的正交多項式組且為首項系數為1的次的多項式，則于線性無關.解 方法一 因為為上具有權函數的正交多項式組,則其Gram行列式不等于零，采用反證法：若于線性相關，于是，存在不全為零使上式兩邊與作內積得到由于不全為零，說明以上的齊次方程組有非零解故系數矩陣的行列式為零，即與假設

5、矛盾.方法二 因為為上具有權函數的正交多項式組,則其Gram行列式不等于零，由( P.95)定理2得于線性無關. 2選擇，使下述積分取得最小值解 ，令 ，得.令 ，得.3設試用求一次最佳平方逼近多項式.解 取權函數為(為了計算簡便)，則, ，得法方程 ，解得，所以的一次最佳平方逼近多項式. 8什么常數C能使得以下表達式最小？解 ，令 ，得.14用最小二乘法求解矛盾方程組.解 方法一 方程組可變形為 ，原問題轉化成在已知三組離散數據下求一次最小二乘逼近函數(x與y為一次函數的系數，t為自變量)，取基,求解法方程,即 ，得到矛盾方程組的解為.方法二 方程組可變形為 ，令，令 ， 得 ，解之得矛盾方

6、程組的解為.習題47. 對列表函數求解 一階微商用兩點公式(中點公式),得二階微商用三點公式(中點公式),首先用插值法求 ,由得一次插值函數從而 ,于是, 8. 導出數值數分公式并給出余項級數展開的主部.解 由二階微商的三點公式(中點公式),得,從而 將分別在處展開,得(1)(2)×3 +(3)×3(4), 得,即余項主部為習 題 5 (P. 299)3. 設為對稱矩陣，且，經高斯消去法一步后，A約化為，試證明亦是對稱矩陣.證明 設，其中，則經高斯消去法一步后，A約化為，因而，若為對稱矩陣，則為對稱矩陣，且，易知為對稱矩陣.13. 設 (1) 計算；(2) 計算，及.解 (

7、1) 計算,，其特征值為，又為對稱矩陣，則的特征值為，因此；(2) ，所以，為對稱矩陣，其特征值為，則的特征值為，因此所以 15. 設，求證（1）；(2) .證明 (2) 由（1），得， 則 ，從而 ，由算子范數的定義 ，得 .17. 設為非奇異陣，又設為上一向量范數，定義，求證：是上向量的一種范數（稱為向量的W一范數）.證明 正定性，因為一向量，下證 ，若即，由向量范數的正定性得，為非奇異陣，所以； 若，則，由向量范數的正定性得即. 齊次性，任意實數有，由向量范數的齊次性，得； 三角不等式，任意實數，有，再由向量范數的三角不等式，得.習 題 6 (P.347)1. 設有方程組(b) ，考查用Jacobi迭代法,G-S迭代法解此方程組的收斂性.解 系數矩陣分裂如下,Jacobi迭代矩陣為，J的特征方程為 ，展開得 ，即，所以用Jacobi迭代法解此方程組是收斂的.G-S迭代矩陣為，G的特征方程為 ，展開得 ，即或，由迭代基本定理得用G-S迭代法解此方程組是不收斂的.4. 設有方程組，其中為對稱正定陣，且有迭代公式 ()，試證明當時，上述迭代法收斂(其中的特征值滿足).證明 為對稱正定陣， 的特征值滿足，且，則又迭代公式可變形為 ()，從而迭代矩陣 ，迭代矩陣的特征值為，且