1、A solid can resist a (剪切應(yīng)力)by a static deformation, a fluid can not.Any shear stress applied to a fluid, no matter how small, will result in motion of that fluid.The fluid moves and deforms continuously as long as the shear is applied.Density(密度密度)Elemental volume（流體微團(tuán)、流體質(zhì)點(diǎn)）* Large enough in microsc

2、ope（微觀）10-9mm3 of air at standard conditions contains approximately 3107 molecules.So density is essentially a point function and fluid properties can be thought of as varying continually in space .* Small enough in macroscope（宏觀）.Most engineering problems are concerned with physical dimensions much

3、 larger than this limiting volume.VVc圖1-1 隨體積趨于無窮小時(shí)流體的密度特性VmV0limSuch a fluid is called a continuum（連續(xù)介質(zhì)）連續(xù)介質(zhì)） , which simply means that its variation in properties is so smooth that the differential calculus can be used to analyze the substance.流體質(zhì)點(diǎn)假設(shè)流體質(zhì)點(diǎn)假設(shè) 流體質(zhì)點(diǎn)無線尺度；流體質(zhì)點(diǎn)具有宏觀特性；流體質(zhì)點(diǎn)的物理量值為周圍臨界體積范圍內(nèi)物理

4、量的統(tǒng)計(jì)平均值。 1.1 流體的密度流體的密度 一、密度一、密度 二、相對(duì)密度二、相對(duì)密度 s s、比體積、比體積 v三、混合氣體的密度三、混合氣體的密度 01s1vVmcVVlimniiinn12211.1.2 1.2 流體的壓縮性和膨脹性流體的壓縮性和膨脹性流體的壓縮性流體的壓縮性流體的體積隨壓力變化而變化的屬性稱為流體的壓縮性。用體積壓縮系流體的體積隨壓力變化而變化的屬性稱為流體的壓縮性。用體積壓縮系數(shù)或體積模量數(shù)或體積模量K來表征來表征體積膨脹系數(shù)體積膨脹系數(shù) 隨種類、溫度和壓力而變化。通常液體的體積膨脹系數(shù)很小，氣體的體隨種類、溫度和壓力而變化。通常液體的體積膨脹系數(shù)很小，氣體的體積

5、膨脹系數(shù)很大。積膨脹系數(shù)很大。TdtdVVT1dpddpdVVp11pddpdVdpVEp10思考題流體內(nèi)微小擾動(dòng)波的傳播速度就是聲速，與流體的可壓縮性有關(guān)。流體可壓縮性越小，聲速越：（a） 小；（b） 大； 水中聲速比空氣中的聲速（a） 小；（b） 大；可壓縮流體與不可壓縮流體可壓縮流體與不可壓縮流體 在一般情況下，液體的可壓縮性可以忽略，建立不可壓縮流體模型（=常數(shù)）。在常溫常壓下氣體作低速流動(dòng)時(shí)(v100 m/s），要考慮其密度變化帶來的影響，稱之為可壓縮流體。 用不可壓縮流體的模型分析流動(dòng)的范圍是很廣泛的，但下列情況中哪些不符合不可壓縮流體模型： 原油在輸油管道中的流動(dòng)； 壓縮空氣的低

6、速流動(dòng)； 反應(yīng)堆二回路里的水蒸氣流動(dòng)。 反應(yīng)堆二回路中溫度變化大，水蒸氣的密度變化大，要考慮其可壓縮性。 壓縮空氣是指處于高于大氣壓的環(huán)境中的空氣，但如果流動(dòng)較慢，壓強(qiáng)變化較小，仍可按不可壓縮模型處理。1.5 Some Properties of fluids1.viscosity(粘性)* Definition： When a fluid is sheared（剪切剪切）, it begins to move. Subsequently, a pair of forces appear on the shear surface, which resists the shear motion

7、of the fluid. This is called viscosityThis resistant force is shear stress.(剪切應(yīng)力剪切應(yīng)力,內(nèi)摩擦應(yīng)力內(nèi)摩擦應(yīng)力)In fact, this shear motion of a fluid is a kind of deformation（變形變形）m : Coefficient of viscosity (粘性系數(shù)粘性系數(shù))FT/L2n = m / : Kinematic viscosity (運(yùn)動(dòng)學(xué)粘性系數(shù)運(yùn)動(dòng)學(xué)粘性系數(shù))L2/TdudyVelocity gradientdudym* Newtonian law

8、of viscosity(牛頓粘性定律，牛頓內(nèi)摩擦定律)UUu(y)xyShear stressThe linear fluid, which follow Newtonian resistance law is called Newtonian flow. （牛頓流動(dòng)、牛頓流體牛頓流動(dòng)、牛頓流體）The velocity gradient is in fact a kind of deformation.Real fluid (Viscous) , Ideal fluid (Inviscid & Frictionless)一百年后由庫侖（ ，1784）用實(shí)驗(yàn)證實(shí)。庫侖實(shí)驗(yàn)把一薄圓板用

9、細(xì)絲平吊在液體中，將圓板轉(zhuǎn)過一角度后放開，圓板作往返擺動(dòng)，逐漸衰減，直至停止，測(cè)量其衰減時(shí)間。用三種圓板 （a、普通板，b、表面涂蠟，c、表面膠一層細(xì)砂）做實(shí)驗(yàn)。 庫侖實(shí)驗(yàn)證明衰減原因不是圓板與液體間的摩擦，而是液體內(nèi)部的摩擦，即內(nèi)摩擦。 流體對(duì)固體表面的粘附作用。流體分子可吸附在固體表面，隨固體一起運(yùn)動(dòng)，稱為流體對(duì)固體表面的無滑移假設(shè)，在庫侖實(shí)驗(yàn)中已得到間接證明。 答案：答案：內(nèi)摩擦力內(nèi)摩擦力。流體粘附于固壁上沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但鄰近流。流體粘附于固壁上沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但鄰近流體與粘附點(diǎn)之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這種相對(duì)運(yùn)動(dòng)存在于流體內(nèi)部，體與粘附點(diǎn)之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這種相對(duì)運(yùn)動(dòng)存在于流體內(nèi)部，但對(duì)固壁形

10、成粘性切應(yīng)力。但對(duì)固壁形成粘性切應(yīng)力。The nature of viscosity For liquid is cohesion（結(jié)合） For gas is the transport of momentum（動(dòng)量輸運(yùn)）Thus, the effects of Temperature on viscosity: Liquid: T m, T m Gas: T m, T m切應(yīng)力的幾何解析dydudtdydudtdtd/dydudtdmm流體切應(yīng)力與角變形速率成正比！流體切應(yīng)力與角變形速率成正比！動(dòng)力粘性系數(shù)與運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù) 1. 動(dòng)力粘性系數(shù)（動(dòng)力粘度） 水： 氣體（Sutherland 公

11、式）： 11/mML Tdu dy20000221. 00337. 01tt mmCTCT2732735 . 10mm動(dòng)力粘性系數(shù)與運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)（續(xù)） 2. 運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)（運(yùn)動(dòng)粘度） 因?yàn)閚具有運(yùn)動(dòng)學(xué)的量綱，故名為運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。它本身不具有獨(dú)立的物理意義。 3. 混合氣體的動(dòng)力粘度mnniiiniiiiMM12/112/1mm理想流體理想流體/無粘性流體無粘性流體 由于空氣和水的粘度很小，當(dāng)流層間的速度梯度不大時(shí)，流體粘性切應(yīng)力可忽略不計(jì)，可建立無粘性流體模型（m=0）。建立在無粘性流體模型基礎(chǔ)上的伯努利方程、環(huán)量理論和表面波理論等，在解釋水和空氣流動(dòng)中的機(jī)械能守恒、機(jī)翼升力和水波運(yùn)動(dòng)等方面取

12、得了成功，形成了流體力學(xué)的重要分支：理論流體力學(xué)。但無粘性流體模型在解釋管道和渠道流動(dòng)壓強(qiáng)損失及繞流物體阻力方面卻無能為力。 流體力學(xué)基本概念及方程當(dāng)?shù)胤ó?dāng)?shù)胤枋龇椒枋龇椒S體法隨體法拉格朗日法拉格朗日法 歐拉法歐拉法質(zhì)點(diǎn)軌跡：質(zhì)點(diǎn)軌跡：)(a,b,c,tr rr r參數(shù)分布：參數(shù)分布：B = B（x, y, z, t） 描述流體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)方法 拉格朗日法拉格朗日法 歐拉法歐拉法分別描述有限質(zhì)點(diǎn)的軌跡分別描述有限質(zhì)點(diǎn)的軌跡 同時(shí)描述所有質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)參數(shù)同時(shí)描述所有質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)參數(shù)表達(dá)式復(fù)雜表達(dá)式復(fù)雜 表達(dá)式簡(jiǎn)單表達(dá)式簡(jiǎn)單不能直接反映參數(shù)的空間分布不能直接反映參數(shù)的空間分布 直接反映參數(shù)的空間分

13、布直接反映參數(shù)的空間分布不適合描述流體元的運(yùn)動(dòng)變形特性不適合描述流體元的運(yùn)動(dòng)變形特性 適合描述流體元的運(yùn)動(dòng)變形特性適合描述流體元的運(yùn)動(dòng)變形特性 拉格朗日觀點(diǎn)是重要的拉格朗日觀點(diǎn)是重要的 流體力學(xué)最常用的解析方法流體力學(xué)最常用的解析方法思考題 某人坐在勻速運(yùn)動(dòng)的飛機(jī)上測(cè)量和記錄周圍各點(diǎn)空氣的速度和壓強(qiáng)，請(qǐng)問它采用的研究方法是? 拉格朗日法； 歐拉法； 兩者均不是。流場(chǎng)的分類思考：在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中，將飛機(jī)或汽車模型固定在洞壁上，讓空氣勻速地流過模型。請(qǐng)問這種流動(dòng)屬于什么流動(dòng)？ 以流動(dòng)與空間維數(shù)分類：一維流動(dòng)、二維流動(dòng)、三維流動(dòng)流線及其微分方程 定義：線上任意點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的速度方向一致的假想曲線，

14、如圖中s線 流線的特點(diǎn) 流線是假想的線； 流線具有瞬時(shí)性（t是參數(shù)）； 在定常流場(chǎng)中流線與跡線重合； 除了奇點(diǎn)及駐點(diǎn)外，流線不能相交，也不能重合流管、流束與總流流管、流束與總流 流管：在流場(chǎng)中通過一任意的非流線的封閉曲線上每一點(diǎn)作流線所圍成的管狀面 流管的特點(diǎn)： 具有流線的所有特點(diǎn)； 在定常流中，流管形狀不變，像固定的管道。 流束：流管內(nèi)的流體。可看作無數(shù)流線的集束。 當(dāng)流束內(nèi)所有流線均相互平行時(shí)稱為平行流；雖不完全平行，但流線之間夾角很小時(shí)稱為緩變流。 處處與流線垂直的截面稱為有效截面，平行流和緩變流的有效截面是平面。 有效截面為無限小的流束稱為微元流束；所有微元流束之總和稱為總流。工程上常

15、將管道或渠道壁所圍的流體流動(dòng)稱為總流。流量、平均流速、濕周和水力半徑 體積流量定義為單位時(shí)間內(nèi)流過一假想曲面的流體體積。 dQ= (vn) dA = v cos dA 流過曲面A的體積流量為 平均速度定義為 質(zhì)量流量定義為 濕周：流體同固體邊界接觸部分的長(zhǎng)度 水力半徑：總流有效截面面積與濕周之比：Rh 當(dāng)量直徑：de=4RhAdAnVm)(第五節(jié) 連續(xù)性方程 一、積分形式的連續(xù)性方程 If =const or at steady state , then so,0dtdm0dA.VdtdtmdCSnCV0t0dA.VCSn第八節(jié) 恒定流動(dòng)伯努利方程 一、流線上的伯努利方程1) 假定質(zhì)量力有勢(shì)，

16、即 2）正壓性流體，即=(p)，則等壓面即為等密度面3) 設(shè) dUdzzUdyyUdxxUZdzYdyXdxpPdzzPdyyPdxxPdPSTdfds)wdzvdyudx(222根據(jù)說明慣性力是有旋的，可以說慣性力就是包含動(dòng)能和旋轉(zhuǎn)動(dòng)能的慣性力。將不可壓縮實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)微分方程三個(gè)分式分別乘以dx,dy,dz相加得，如果該式成立，必須滿下列條件之一 a靜止 b勢(shì)流，即無旋。c沿流線/a,c成比例;d. 沿渦線/a,b成比例; e沿螺旋線，b,c成比例)vw()V(xtuzuwyuvzwwyvv)V(xtuDtDuzy22222TdsdPdUdz)uv(dy)wu(dx)vw()V(d)dztw

17、dytvdxtu(yxxzzy2220222wvudzdydx)dstUsd fPUV(dzyxconstdstVdsfPUV22重力條件下的伯努利方程對(duì)不可壓流體有：對(duì)重力流體：U=gz對(duì)定常流動(dòng):則：z:單位重量流體具有的位置勢(shì)能。 : 單位重量流體具有的壓強(qiáng)勢(shì)能。 單位重量流體具有的動(dòng)能。 單位重量的流體從位置1到位置2所消耗的機(jī)械能。整個(gè)公式是能量的守恒與轉(zhuǎn)換定律在流體力學(xué)上的一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式。 pP0tV212222211121222dsfggVgpzgVgpzconstTdsVpgzgp2g/V2wh幾何意義 z 位置水頭位置水頭 壓強(qiáng)水頭壓強(qiáng)水頭 速度水頭速度水頭H 總水頭總水頭

18、測(cè)壓管水頭測(cè)壓管水頭總水頭線是沿流動(dòng)方向向下傾總水頭線是沿流動(dòng)方向向下傾斜的曲線，如為理想流體，則斜的曲線，如為理想流體，則為水平線，則壓管水頭為水平線，則壓管水頭=靜壓靜壓頭頭+位置水頭，以上三項(xiàng)之和位置水頭，以上三項(xiàng)之和為總水頭為總水頭H。 gpgV22思考題在伯努利方程的水頭線圖（如右示）中，理論總水頭線（實(shí)線）保持在伯努利方程的水頭線圖（如右示）中，理論總水頭線（實(shí)線）保持水平，但實(shí)際水流的總水頭線（虛線）是逐漸下降的水平，但實(shí)際水流的總水頭線（虛線）是逐漸下降的, 這是因?yàn)椋窟@是因?yàn)椋肯掠纹露茸兌福幌掠纹露茸兌福幌掠嗡袎簭?qiáng)增大；下游水中壓強(qiáng)增大；水的粘性影響。水的粘性影響。伯努利方

19、程的特例 1）對(duì)于水平流動(dòng)，）對(duì)于水平流動(dòng)，z1=z2，則，則 該式表明，流速大，動(dòng)能高時(shí)，壓能隨之減少，這在自該式表明，流速大，動(dòng)能高時(shí)，壓能隨之減少，這在自然界，工程應(yīng)用中是普遍存在的。然界，工程應(yīng)用中是普遍存在的。 2）若質(zhì)點(diǎn)流速不變，則動(dòng)能為常數(shù)，方程變?yōu)椋海┤糍|(zhì)點(diǎn)流速不變，則動(dòng)能為常數(shù)，方程變?yōu)椋?這個(gè)公式與靜力壓中一致這個(gè)公式與靜力壓中一致 3）當(dāng)）當(dāng)p1=p2時(shí)，位能和動(dòng)能可以相互轉(zhuǎn)換。時(shí)，位能和動(dòng)能可以相互轉(zhuǎn)換。gVgpgVgp22222211gpzgpz2211gVzgVz22222211三、總流的伯努利方程1. 緩變流動(dòng)及其斷面特征 1）緩變流動(dòng)：流線間夾角很小，近于平行直

20、線的）緩變流動(dòng)：流線間夾角很小，近于平行直線的流動(dòng)，這種流動(dòng)可以略流體質(zhì)點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的流動(dòng)，這種流動(dòng)可以略流體質(zhì)點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的慣性力和運(yùn)動(dòng)的離心慣性力，保證質(zhì)量力只有重慣性力和運(yùn)動(dòng)的離心慣性力，保證質(zhì)量力只有重力。力。 2）斷面特性 斷面特性滿足斷面特性滿足 即在緩變流動(dòng)的同一個(gè)斷面上，壓強(qiáng)分布規(guī)律即在緩變流動(dòng)的同一個(gè)斷面上，壓強(qiáng)分布規(guī)律與重力流體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，但即使在緩變與重力流體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，但即使在緩變流的同一段中，任意兩個(gè)過流截面上的常數(shù)流的同一段中，任意兩個(gè)過流截面上的常數(shù)C值值是不相等的，只是在同一過渡截面上各點(diǎn)是不相等的，只是在同一過渡截面上各點(diǎn) ，于，于是過流截

21、面上任何一點(diǎn)的都代表該斷面的值。是過流截面上任何一點(diǎn)的都代表該斷面的值。 證明：證明：constgpz3）動(dòng)能修正系數(shù) 總流（如管道）過流截面上速度分布一般不是處處相等的，管壁上的總流（如管道）過流截面上速度分布一般不是處處相等的，管壁上的速度為速度為Q，愈接近管軸心流速愈大，軸心處的速度最大，它的分布總，愈接近管軸心流速愈大，軸心處的速度最大，它的分布總是按一定規(guī)律變化的。于是我們計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)通過流斷面的流體動(dòng)是按一定規(guī)律變化的。于是我們計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)通過流斷面的流體動(dòng)能就有兩種方法，一是用過流斷面上按其曲線規(guī)律分布的真實(shí)流速計(jì)能就有兩種方法，一是用過流斷面上按其曲線規(guī)律分布的真實(shí)流速計(jì)算

22、動(dòng)能，即為算動(dòng)能，即為 通常用平均流速通常用平均流速v計(jì)算動(dòng)能，則計(jì)算動(dòng)能，則 AAdAVdmV322121AAvdAvAAvdAV1)1 (2233與與 一樣的道理，當(dāng)用斷面平均流速計(jì)算單位時(shí)間通過某一過流截面一樣的道理，當(dāng)用斷面平均流速計(jì)算單位時(shí)間通過某一過流截面的動(dòng)量時(shí)，也必須乘以動(dòng)量修正系數(shù)的動(dòng)量時(shí)，也必須乘以動(dòng)量修正系數(shù) ，一般，一般 1 和和 都反映了過流斷面上實(shí)際流速分布的不均勻性，很顯然，流速分都反映了過流斷面上實(shí)際流速分布的不均勻性，很顯然，流速分布愈不均勻，系數(shù)的值越大，所以，流動(dòng)狀態(tài)不同，這兩個(gè)系數(shù)值是布愈不均勻，系數(shù)的值越大，所以，流動(dòng)狀態(tài)不同，這兩個(gè)系數(shù)值是不同的。不

23、同的。圓管層流時(shí)：圓管層流時(shí)： =2, =4/3在一般的工程計(jì)算中，湍流時(shí)均取在一般的工程計(jì)算中，湍流時(shí)均取 =1, =1粘性總流的伯努利方程在粘性總流中取一微元流速，其過流斷面為在粘性總流中取一微元流速，其過流斷面為dA1，dA2,相應(yīng)斷面上的流速為相應(yīng)斷面上的流速為v1,v2，因?yàn)椋驗(yàn)閐A為微元面積，可以認(rèn)為為微元面積，可以認(rèn)為dA1，dA2 上各點(diǎn)速度壓強(qiáng)等流動(dòng)系數(shù)上各點(diǎn)速度壓強(qiáng)等流動(dòng)系數(shù)分別相同，當(dāng)分別相同，當(dāng)dA0 就是流線，所以沿流線的伯努利方程同樣適用于微元流就是流線，所以沿流線的伯努利方程同樣適用于微元流束束 2222211122whgVgpzgVgpzgdQhgVgpzgd

24、QgVgpzw)2()2(222221111222222111)2()2(AAwgdQhgVgpzgdQgVgpz222111,CgpzCgpzAwwgQhdQgvh22211 122 21222wpvpvzzhgggg方程成立必須滿足五個(gè)條件 a. 不可壓縮流體不可壓縮流體 b. 重力流體（質(zhì)量力只有重力）重力流體（質(zhì)量力只有重力） c. 定常流動(dòng)：定常流動(dòng)： d. 流量沿程不變流量沿程不變 e. 計(jì)算斷面（過流載面）定在緩變流區(qū)域。計(jì)算斷面（過流載面）定在緩變流區(qū)域。constkgf0, 0ttwtvtuQQQ21機(jī)械功輸入的伯努利方程 whgVgpzEgVgpz222222221111有

25、機(jī)械功輸入時(shí)E取正號(hào)，輸出取負(fù)號(hào) 伯努利方程的應(yīng)用 伯努利方程在水力計(jì)算中占有決定性的地位，它往往和連伯努利方程在水力計(jì)算中占有決定性的地位，它往往和連續(xù)性方程動(dòng)量方程一起使用來解決工程問題。一般使用伯續(xù)性方程動(dòng)量方程一起使用來解決工程問題。一般使用伯氏方程解決工程問題時(shí)分四個(gè)步驟：氏方程解決工程問題時(shí)分四個(gè)步驟：1 選斷面；選斷面； 2 選基面；選基面； 3 寫方程；寫方程； 4 求速度等各項(xiàng)。求速度等各項(xiàng)。 皮托管 gVgpzgpz20222201在式中，p2=p，V2=V，并且（Z2-Z1）很小，可忽略不計(jì)，則 2220Vpp)(20ppV如用U型壓差計(jì)的液柱高度h來表示，則有： ghp

26、ppp)(1021)(21ghV)(21ghCVv文特里管流量計(jì) whgVgpzgVgpz222222221111121sin12lzz221221VddV )(1 2sin2sin41222212221ddgVlgVVlgppsinlhgppHg21)(1 2sinsin41222ddgVllhHg41221)(2ddghVHghKddghdAVQHg4122222124hKQrealm虹吸現(xiàn)象 生活中的例子：金魚缸換水，司機(jī)抽油。gvgpzgvgpz2224444233330321gphhgvgpzgvgpz222333321111gvgpzgvgpz222333322222伯努利方程應(yīng)用

27、心得對(duì)不可壓縮流體，在重力場(chǎng)中作定常流動(dòng)時(shí)，運(yùn)用伯努利方程應(yīng)注意以下事項(xiàng)： 1必須滿足五個(gè)前提條件! 2基準(zhǔn)面層的水平面，可選在任何水平面上； 3計(jì)算斷面（過流截面）：斷面必須垂直于流動(dòng)方向，一般應(yīng)選取欲求參數(shù)的斷面；或者選取已知量最多的斷面，如水平面。 4緩變流只限于兩個(gè)計(jì)算斷面附近管段，而斷面間的情況影響關(guān)系不大。 5p可用相對(duì)壓強(qiáng)，也可用絕對(duì)壓強(qiáng)，但取的方法一樣。 6用m或mm作能量單位時(shí)，必須標(biāo)明液柱如mH2O、mmHg。 7管流為層流時(shí)=2，湍流為=1。 8在運(yùn)用總流伯努利方程時(shí)，常與連續(xù)方程聯(lián)合使用。 第九節(jié) 動(dòng)量方程及其應(yīng)用定常流動(dòng)的動(dòng)量方程動(dòng)量定理：根據(jù)雷諾轉(zhuǎn)換定理，當(dāng)=v時(shí)定

28、常流動(dòng)時(shí)，則所以：FdVdtdVcsncvVdAvVdVtdVdtd0cvdVtFdAvVcsn一元流動(dòng)的動(dòng)量方程式凈流出微元流管的動(dòng)量流量為對(duì)于總流有所以，用平均動(dòng)量代替得到：1122mdVmdVdk 121122AAmdVmdVk11112222vQvQk)vv(QF1122)(1122uuQFx)(1122vvQFy)(1122wwQFz動(dòng)量方程的應(yīng)用 1. 流體對(duì)變截面管的作用力動(dòng)量變化量：同理，y分式 xxRApApF222111sincos)cossin()(112212vvQuuQ)cossin(sincos1122222111vvQRApApx)sin(coscossin1122222111vv