1、用心愛心專心 -1 - 平面向量專題測試 有一項(xiàng)是符合題目要求的。） 1.向量a與b（b 0）共線的充要條件是 答案：D 2. （2011 年福州質(zhì)檢）已知a1, a2均為單位向量，那么 a1 = （#,是a + a2= （ 3, 1） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件 X1+ X2=寸 3 y1+ y2= 1 i 2 2 X1 + y1 = 1 X2 + y2 = 1 3 + X12 2 3X1 4 = 2 3X1 + 2y1 /3X1 + y1= 2 y1= 2 3X1, X12 + 4+ 3X12 4 3X1= 1 4X12 4/

2、3x1 + 3 = 0 (2X1 3)2= 0 a1= （#, 2），反之不成立 答案：B 、選擇（5 分，共 60 分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只 A. a= b 亠 2.2 C. a b = 0 B. D. a b= 0 a+ 入 b= 0(入 R) 解析：設(shè)ai= （xi, yi) , a2= (X2, y2) %=W X1 代入 X22+ 1 y= 1 y1 2 +1 + 屮2y1= 1 如 a1 = (-2 1）， a2= (1,0) a1+ a2=(于+ 1, 1 2），不成立，故選 B. 用心愛心專心 -2 - 3. （2011 年安徽師大附中二模）設(shè)0在厶ABC的內(nèi)部，且OA

3、 OB 20C= 0,則厶ABC的面用心愛心專心 -3 - 積與 AO面積之比為（ ） A. 3 C. 5 解析：由6C= 2（OAF OB，設(shè)D為AB的中點(diǎn), 答案：A 6. （2010 年安徽高考）設(shè)向量a= （1,0） , b= （1,，則下列結(jié)論中正確的是 （ ） B. a b冷 B. 4 D. 6 OD= C O為 CD的中 1 1 SAAOG= SADG= SSA ABC SC= 4. 答案：B 4. （2011 年東北三校聯(lián)考）已知平面向量 a= (1 , 3) , b = (4 , 2)，右入 a b 與 a 垂 直，則實(shí)數(shù)入=（） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 解析

4、：a= (1 , 3), b= (4 , 2) 入 a b=(入一 4,2 3 入),a= (1 , 3) /入a b與a垂11 入=11 ,入=1，選 B. 答案：B 5.（2011 年安徽省兩地三校聯(lián)考）已知|OA = 1 ,|B = 3, OA- B= 0，點(diǎn)C在/ AOB內(nèi), 且/ AOC= 30,設(shè) C= mOAnBm n &，則 n1 *等于（） A. 3 C- B= 3n = | Cx 3X1, m 3nn=3 A. |a| = |b| /i 用心愛心專心 -4 - C. a b與b垂直 a b= 1x 1 + 0 x卜 2 (a b) b =a b |b| 2= 1 芬

5、 0, 故a b與b垂直. 答案：C 7. （2011 年山西四校聯(lián)考）O A、B C是平面上任意三點(diǎn)不共線的四個定點(diǎn)， P是平面上 一動點(diǎn)，若點(diǎn) P滿足：OP= 訥 入（AB AC ,入 （0,+），則點(diǎn) P 一定過 ABC的（ ） A. 重心 B.內(nèi)心 C. 外心 D.垂心 解析：OP- OA= x （AB+ AC AP=入（AB+ AC） P在BC的中線上，故過 ABC的重心. 答案：A 8. （2011 年廣東省 2 月聯(lián)考）在厶ABC中，若 XB- BC+ AB= 0,則厶ABC的形狀是（ ） A. Z C為鈍角的三角形 B. Z B為直角的直角三角形 C. 銳角三角形 D. Z A

6、 為直角的直角三角形 解析：XB- BC+ AB = 0 AB-( BC+ AB = 0 XB- AC= 0 ABL AC A為直角，故選 D. 答案：D 9. (2011 年樂山二診)如圖，在四邊形 ABCD中, AB= 2AD= 1, AC= 3 且/ CA=*，/ BAD= 3，設(shè) AC=入 AB+ 1 AD 貝V X + 卩=( ) 3D. a / b 解析：| a| = 1 + 0 = 1,|b| 1 2 用心愛心專心 -5 - A. 4 C. 4 解析：如圖過C點(diǎn)作CE/ AD交AB的延長線于 E點(diǎn)， 在厶 ACE中, CE= 1 , AE= 2,入=2,卩=2,入 +卩=4,故選

7、 A. n 1 解析： 依題意，ei e2= |ei| |e2| cos = Q, - a b= (2ei + e2) ( 3ei + 2e2) 2 2 1 7 * =6| ei| + 2| e2| + ei e2= 6+ 2 + Q = Q,選 C. 答案：C 11. 已知非零向量 a、b, | a| = | b| = i,且a丄b,又知(2a+ 3b)丄(ka 4b)，則實(shí)數(shù) k 的值為( ) A. 6 B. 3 C. 3 D. 6 解析：由(2a+ 3b) ( ka 4b) = 0,得 2k i2= 0, k = 6,選 D. 答案：D 12. 已知a、b、c是同一平面內(nèi)的三個單位向量，

8、 它們兩兩之間的夾角均為 120 ，且|ka + b+ c|1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( ) A. k2 C. k2 D . 0k1 得(ka+ b+ c) 21,用心愛心專心 -7 - 即 k2 +1 + 1 + 2k（ -2）+ 2k（ -1）+ 2X（ 1）1，得 k2-2k0. k2 或 k- 2 =-2. 答案：9 三、解答題(本大題共 6 小題，共 70 分，17 題 11 分，1822 題，每題 12 分.解答應(yīng)寫 出文字說明，證明過程或演算步驟. ) 17. 已知 |a| = 1, | b| = ,2. (1) 若 a / b,求 a b； (2) 若a, b的夾角為 135，求

9、|a+ b|. 解：(1) a / b, 若 a, b 同向，貝 U a b= | a| b| = 2； 若 a, b反向，貝 U a b=- | a| b| =- 2. (2) a, b 的夾角為 135, a b= | a| b|cos135 =- 1, 2 2 2 2 |a+ b| = (a+ b) = a + b + 2a b= 1 + 2-2 = 1, I a+ b| = 1. 1 18. (2011 年青島質(zhì)檢)已知向量 m(sin x,- 1)，向量n= C.3cosx,-)，函數(shù)f (x) (1)求f(x)的最小正周期T; 已知a, b, c分別為 ABC內(nèi)角 A, B, C的

10、對邊，A為銳角，a= 2 3, c = 4,且f(A) 2 用心愛心專心 -9 - 1 cos2 x 1 sin2 x +n 恰是f (x)在0,亍上的最大值，求 A, b和厶ABC勺面積S 解: (1) f (x) = (m+ n) m= sin 2 x+ 1+ , 3sin 1 xcosx+ 用心愛心專心 -10 - = -23sin2 x 2COS2X+ 2 =sin(2 x x 0 , 時， 6W2x n n 由正弦函數(shù)圖象可知，當(dāng) 2x - =_2 時f(x)取得最大值 3 n 所以 2A匸_= 6 由余弦定理，a2= b2+ C2 2bccosA 12= b2 + 16 2X4bx

11、 - 2 - b= 2 ,. 1 1 n 廠 從而 S= bcsin A= 2X 4sin = 2 3. 19. 在厶ABC中, a、b、C分別是角 A、B C的對邊，已知向量m= ( a, b),向量n= (cos A, B+ C 2 COSB)，向量p= (2 羽 si n 廠,2si nA)，若m/n , p = 9，求證： ABC為等邊三角形. 證明：T m/n, acosB= bcosA由正弦定理，得 sin ACOS B= sin BCOSA, 即卩 sin( A B) = 0. T A、B為三角形的內(nèi)角，一 n A Bn . A= B 8sin 2B+C + 4sin 2A= 9

12、. 2 2 41 COS( B+ C) + 4(1 COS A = 9. 4COS2A 4COSA+ 1 = 0,解得 ABC為正三角形. 20. (2012 年天津第七十四中學(xué)上學(xué)期期末 )在厶ABC中，角A、B C所對的邊分別為 a、 b、c,設(shè)向量 m= (sin A, COSB) , n= (COS A, sin B). 因?yàn)?3= 2，所以T=三 7t (2)由(1)知：f(A) = sin(2 n A + 2 p2= 9, 1 COSA= 用心愛心專心 -11 - (1) 若 m/ n,求角 C; (2) 若 ml n, B= 15, a= ,6 + , 2，求邊 C 的大小. 解

13、： 由 mi n? sin Asin B cosAcos B= 0 ? cos( A+ B) = 0, 因?yàn)?0A+ 8180 ,所以 A+ B= 90, C= 180 (A+ B) = 90. (2)由 ml n? sinAcosA sin BcosB= 0? sin2 A+ sin2 B= 0, 1 已知 B= 15，所以 sin2 A+ sin30 = 0, sin2 A= 2, 因?yàn)?02A360 2B= 330,所以 2A= 211, A= 115 C= 180 15 115= 60. a c xf6 + 2 c 根據(jù)正弦定理 = ? = sin A sin C sin 105 si

14、n60 . 托 + 2 sinSU .6+2 4 , 3+謔X申 所以 c= 6+ 2 = 2 -3. 4 a= (2cos x, 1) , b= (cos x, , 3sin2 x) , x R (1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間； n (2) 若x 才,0，求函數(shù)f (x)的值域； n (3) 若函數(shù)y= f (x)的圖象按向量c= ( m n)(| n)y)平移后得到函數(shù) y= 2sin2 x的圖象, 求實(shí)數(shù)m n的值. 解：(1)因?yàn)?f (x) = 2cos2x 3sin2 x = 3sin2 x+ cos2x+ 1 = 2sin(2 x+ 5) + 1. 人 n 5 n 3 n 令

15、 2k n + W2x+ W2k n + c , k Z , 2 6 2 口 n n 得 k n石 xw k n+亍，k z. 因此，函數(shù)f (x)的單調(diào)減區(qū)間為k n nn , k n +才(k Z). r n , 5 n n 5 n 當(dāng) x -, 0時，2x + y, 5 n 1 sin(2 x +歹) ?, 1，因此，函數(shù) f(x)的值域?yàn)?,3. n 函數(shù)y = f (x)的圖象按向量c = (m n)(| m2)平移后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)是 y= f (xsin 105 因?yàn)?sin 115 = sin(45 + 60 )= 21.設(shè)函數(shù)f (x) = a b,其中向量 用心愛心專心

16、 -12 - 1 B. 3 D. 3 解析：/ OC- OA= m= | C - 5 n m) + n = 2sin(2 x 2m- -) + 1 + n. 5 n 5 n 令 2m = 2k n , k 乙 1 + n= 0，得 m= k n +p，n = 1. 22.已知a = (x, 1) , b=(入，sin x)，函數(shù)f(x) = a b在區(qū)間1,1上是減函數(shù). (1) 求f (x)在x 1,1上的最大值； (2) 若f(x) t2 +入t + 1 對任意x 1,1及任意 入 ( 1恒成立，求t的取值 范圍. 解：(1) f (x) = a b=入 x + sin x, f ( x)=入 + c