1、“單位1 ”與“相關量”山東濱州西海小學王訓彬2013年12月16日近些年以來，小學數學的分數相關量，已經不再提整體（整體1）與部分這兩個概念了。其中整體（整體 1） 這個概念已經被單位“ 1”這個概念所取代，而部分這個 概念則是徹底去掉了。 因為說到部分，人們往往就自然而 然的認為，部分小于整體。對小學生來說，恐怕更是如此。 可是當時分數這個地方的相關量概念，卻不是如此，比如在語句“甲等于乙的7”中，乙是單位1,甲是部分，可5這個部分則是大于單位 1的。也許正是因為與學生的固有 認識格格不入，這一概念被數學家拋棄了。然而，對于學過單位1與部分概念的我來說， 卻忘不 了這兩個概念在解決分數乘除

2、法所表現生的巨大靈活性 和有效性！因此在今天的教學中我還是不斷地試圖向學生 滲透這兩個概念。只不過， 為了消除大家對“相關量可能 大于單位1”的困惑，我把“部分”改名為“相關量”單位1今天教材中是這樣定義單位 1的：一個物體或多個物 體組成的一個整體，可以用自然數1來表示，通常把它叫 做單位1。從定義可以看由，單位 1,仍是表示一個整體，就是 以前的整體1。之所以改稱單位1,只不過是因為現在沒 有了部分的概念，單單突由一個整體（整體 1）的概念， 顯得太不自然！如何判斷那個量是單位 1單位1這一概念貫穿分數教學始終，是深入理解分數 的定義，探索分數四則運算不可或缺的手段。可以說話不夸張地說，這

3、一概念的重要性一點也不亞于分數本身的概 念。既然這樣我們就需要知道如何判斷那個量是單位1。這還要通過分數的定義來分析，教材是這樣定義分數 的：把單位1等分成若干份，表示其中一份或幾份的數叫 做分數。從定義可以看由那個被等分的量就是單位1。根據這點我們不難判斷由：1、提到“誰”的幾分之幾，“誰”就是單位1比如在語句“乙的2”中，分明說“乙”的;，所以 乙是單位1。下面我們詳細分析一下：根據分數的定義， 我們不難看到語句所表達白意義是把乙等分成2份，表示其中的一份，因此被等分的對象是乙，所以乙是單位再比如在語句“乙等于丙的7”中，明明說“丙”的 57,因此丙是單位i 52、在比較語句中，比“誰&q

4、uot;，“誰”是單位1比如在語句“甲比乙大2”中，說的是比“乙”，因 此“乙”是單位1。而在語句“乙比甲小 1”中，說的是 比“甲”，因此“甲”是單位 1。為什么呢，我們對語句 “甲比乙大g”分析一下，不難看生這句話的完整意義是 說“甲比乙大乙的2既然是“乙”的 p當然乙是單位 1。3、一個帶單位的分數量， 一個單位就是它的單位 1 比如：語句“ 2千克”中，量：千克的單位是千克，因此1千克就是該量的單位1。因為2千克表示的是“ 1 千克的2"，既然是“1千克”的，當然1千克就是單位1。一、 相關電對于相關量我一時無法給由精確的定義，但我們可以 這樣理解它：如果一個量是某一個單位

5、1的幾分之幾，這個量就是這個單位1的一個相關量。或者說，如果一個量 與某一個單位1,有某種明確的關聯性，這個單位1的一個相關量。比如在語句“乙的7”中，我們已經知道乙是5單位i,那么量“乙的r就可以理解為“單位所以量“乙的7”就是單位1-乙的一個相關量，而且 5還是一個大于單位1的一個相關量！另外任何單位1也可以看做他自身的一個相關量，比如上面的乙這個量，就可以看做乙的一分之一， 所以此時 的乙既是單位1,又是相關量！因此從這個角度來說，單 位1也是一個特殊的相關量。 因此相關量可以小于， 也可 大于，甚至可以等于單位 1。另外，同一個單位1的兩個相關量的和，仍是這個單 位1的相關量！比如乙是

6、甲的1,丙是甲的則易知乙 23與丙的和就是甲的6，所以從我們上面對相關量的理解就 可以看由乙與丙的和還是甲的一個相關量。類似的還有，同一個單位1的兩個相關量的差，仍是 這個單位1的相關量。這里就不在詳細討論這一結論了。 感興趣的朋友可以仿照對“同一個單位1的兩個相關量的 和，仍是這個單位1的相關量”的分析，自己來分析。3、 單位1與相關量的兩個屬性這兩個量可能與其他量不同，因為它們有兩個屬性1、他們都有自己的實際大小， 比如在語句“乙是6, 甲是8,則乙是甲的4”中，“乙”這個量是相關量，它的 實際大小是6,甲是單位1,它的實際大小是8。2、它們都有自己的相對大小（占單位1的幾分之幾）比如上例

7、中甲是單位 1,它占自身的是1，乙是相關 量，占單位1的3。44、 單位1以及相關量與分數乘除法的關系也許正是這兩個概念的兩個屬性，才使得它們在分數 乘除法中有著極其靈活的應用。為此我們首先看這樣一個 例子：第二小組有6人，是第一小組的3,第一小組有多少4人？這是青島版六年級上冊 P28頁的一個例子，也是分 數除法的一種典型例題。解：設第一小組有x人。XX3=64X=6 +34且慢，我們不要急著做下去， 我們用上面的知識分析 一下。問法：第一小組有多少人？顯然是要計算第一小組的 人數，我們找到與第一小組的人數有關的條件，那就是“第二小組有6人，是第一小組的3”。可以看到第一小組的4人數是單位1

8、 ,因此本題就是一個求單位 1的實際大小的 問題。第二小組顯然是相關量， 它的實際大小是6人，而 3則是這個相關量的相對大小， 即該相關量占單位1的分4數。而X=6 +4就揭示了單位1的算法，下面我們把 x,6, , 3對應的意義對應寫在 X=6的下面，看看X=6 +443到底是什么意義。4X= 6-4單位1的實際大小= 相關量的實際大小 + 該相關量占單位1的分數由此，我們看到了單位1實際大小的算法：只要知道 該單位1某個相關量的兩個屬性，就可以利用這相關量的 實際大小屬性+該相關量的相對大小屬性（即該相關量占單位1的分數）計算由來！由此我們得到了第一個公式:1、 單位1的實際大小 = 相關

9、量的實際大小 一 該相關量占單位1的分數簡述為：算單位1用除法！將公式1變形一下，就可以得由相關量的求法：2、 相關量的實際大小=單位1的實際大小X該該相關量占單位1的分數簡述為：算相關量用乘法！將公式變形一下，也可以得由該相關量占單位 1的分 數的算法：3、 相關量占單位1的分數=相關量的實際大小 一單位1的實際大小從公式3可以看由算一個數占另一個數的幾分之幾，也用除法！至此，我們已經可以來解決分數乘除法的大相關量問 題了，下面我們就通過幾個具體的實例來看一下如何用這 些知識來解決問題。例1、 實驗小學有1200名學生，六年級人數占全校的1,六年級一班人數占六年級的 1 ,六年級一班有多少5

10、6人？分析：看問法，“六年級一班有多少人？”，尋找與六年級一班人數有關的條件，顯然是“六年級一班人數占六年級的1工可以看到在這個條件中，六年級人數是單位1, 6六年級一班人數是相關量，這相關量占單位1的求相6關量用乘法，有公式 2知：六年級一班人數二六年級人數*1,所以還需要計算六年級的人數。與六年級的人數有6關的條件是“六年級人數占全校的1”，在這個條件中全5校人數是單位1 ,六年級人數是相關量，所以還得用乘法：六年級人數=全校人數x 3=1200 X=，把算式1200 X代555入六年級一班人數二六年級人數x 1中，且發現1200 X9可 65以先算，不用加括號：1200 x：x1 56例

11、2:光明小學綠化面積為 960平方米，是向陽小學的2倍，而南山小學的綠化面積相當于向陽小學的千，南8山小學的綠化面積是多少？分析：看問法，“南山小學的綠化面積是多少？”，查我與南山小學有關的條件“南山小學的綠化面積相當于向陽小學的7”，知向陽小學為單位1,要計算的南山小學是 8相關量，所以用乘法：南山小學的綠地面積=向陽小學的綠化面積X 7 8但向陽小學的綠化面積未知， 所以接下來考慮向陽小 學的綠化面積的條件“光明小學綠化面積為960平方米，是向陽小學的2倍”，知向陽小學的綠化面積為單位1 ,光明小學的綠化面積為相關量， 算單位1用除法，所以有： 向陽小學的綠化面積=光明小學的綠化面積+ 2

12、=960 +2, 代入上式得到：960 +2X7 8注意：這里我們把倍數問題與“單位1和相關量”統 一了起來，“是向陽小學的2倍”，完全就是“向陽小學的 1”的意思。當然你也完全可以用倍數的知識來解決這一 步。從根本上來說，倍數問題和分數問題是一回事。如甲是乙的1.5倍，從分數的角度來說就是甲是乙的3。似乎有這樣一個不成文的規定，小數或整數倍數，人們習慣用倍數來稱呼它，而對于分數倍數，人們則習慣于稱呼它為幾 分之幾。但這只是一種習慣， 改變不了兩者是一回事的本 質。因此分數問題亦可以轉化為倍數來考慮。倍數問題也可以轉化為分數問題來考慮。例：學校對一塊空地進行綠化，把它設計為3相關量， 草地，花

13、壇，小路。其中小路面積與草地面積的比為 1:7小路面積又是花壇面積的 1,已知草地面積比花壇面積大 436平方米，求小路的面積。分析：小路面積與草地面積的比為1:7,理解為“草地面積是小路的7倍”，進一步理解為“草地面積是小路的1”小路面積又是花壇面積的 1 ,理解為“小路面積又是4花壇面積的1倍”，進而“花壇面積是小路的 4倍”，再進4一步“花壇面積是小路的 1”所以，小路面積是單位 1,花壇，草地是相關量，因 而草地與花壇的差 (36平方米)也是相關量：36 + (7-4 ) 就是小路的面積。本例放在這里可能不是太合適，不過我就是想告訴大 家，倍數問題和分數問題是一回事， 他們是一個事物的

14、兩 個不同的名字，明白之后，完全可以互化。下面看一個難一點的。例3:學校組織學生郊游，中午吃飯時用了 55個碗， 其中一人一個飯碗，兩人一個湯碗， 3人一個菜碗，問你 能算由共有多少學生嗎？分析：問法“你能算由共有多少學生嗎?考慮與學生人數有關的條件：“其中一人一個飯碗，兩人一個湯 碗，3人一個菜碗”。這里換個角度來理解，一人一個飯 碗理解為飯碗是人數的1,兩人一個湯碗理解為湯碗是人數的1, 3人一個菜碗理解為菜碗是人數的1。23方法一：要求的人數在條件中是單位1,用除法，但飯碗，湯碗，菜碗這三個相關量的實際大小都不知道，怎 么辦？還記得嗎”同一個單位1的兩個相關量的和，仍是 這個單位1的相關

15、量”，所以飯碗，湯碗，菜碗這三個相關量的和仍是相關量， 而這個相關量的實際大小我們是已知的55!所以有：55 + (1+ 1+1) 23這種特殊的相關量，使我們用算術法求解一些難題時 常用到的！方法2 :有條件易得相等關系飯碗+菜碗+湯碗=55 ,而飯碗，湯碗，菜碗是三個相關量，求相關量用乘 法，因此設共x人，則飯碗=x ,湯碗= 1x,菜碗=Jx,代23入相等關系中得到：x+!x+：x = 5 523例4:第28屆奧運會上中國健兒獲得了32枚金牌, 比第27屆多7 ,第27屆中國獲得了多少塊金牌？分析：從問法知，要考慮第27屆的情況，“比第27 屆多7”，所以第27屆的金牌數是單位1用除法，

16、而第二 十八屆的是相關量，其實際大小是32,占單位1的（1+）（此處可以這樣理解，既然第 27屆的金牌數是單位1 , 比第27屆多J就可以理解為“比單位 1多7”，當然占單 位 1 的 1+ 7 了）。所以：32+（1+；）自己考慮為何要加括號？例5、小明下載了 30首古詩，小紅下載的比小明的:3多3首，小紅下載了多少首？分析：問法“小紅下載了多少首”，考慮與小紅有關的條件“小紅下載的比小明的 2多3首”，小明下載的是3單位1,小紅下載的是相關量。但這個相關量占單位1的分數不知道，再看多 3首這個差額，顯然也是相關量，可這個相關量占單位 1的分數也不知道！用這個方 法似乎無解了！且慢，“同一個

17、單位1的兩個相關量的和，仍是這個單位1的相關量”！ “小紅下載的比小明的 :多3首”這 3句話我們換個角度來理解： 小紅下載的去掉三首后是小明的!而“小紅下載的去掉三首后”這個相關量，恰恰是以上兩個相關量的差！而這個相關量的占單位1的分數為：2 I所以“小紅下載的去掉三首后” 這個相關量的實際大 .2小為：30 X- 3小紅下載的這一相關量就應為：30 X-+33關于這種題型的分數除法見下例：例5、小紅下載了 30首古詩，小紅下載的比小明的 -3多3首，小明下載了多少首？列式為：（30-3 ） +2 3簡析如下：“小紅下載的比小明的-多3首”這句話 3我們換個角度來理解：小紅下載的去掉三首后是小明的-I 3例6:已知甲是8,乙是6,求甲是乙的幾分之幾?分析：有公式3知，這種題用除法。看問法甲是乙的 幾分之幾，乙是單位1,是除數，甲是相關量，是被除數， 所以8+6例7:已知甲是8,乙是6,求甲比乙大幾分之幾？ 乙比甲小幾分之幾？分析：“求甲比乙大幾分之幾？”實際上是說，甲比 乙大的相關量（即差）是乙的幾分之幾，由于問法中的乙是單位1,所以是除數，差是相關量是被除