1、勾股定理講義baAa22D直角三角形兩直角邊a、b 的平方和等于斜邊c 的平方。（即： a +ba c2）ccbcb其主要應(yīng)用：cEccbaa（ 1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在ABC 中，C 90，則abBbCca2b2 ， bc2a2 ， ac2b2 ）（ 2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊2：勾股定理的逆定理222如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，則有關(guān)系a +b c ，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：（ 1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；222222角形（若 c2>a2+b2，則 ABC是以C 為鈍角的鈍角三角形；若 c2<a2+b

2、2，則 ABC為銳角三角形） 。（定理中 a ， b ， c 及a2b2c2 只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng) a ， b ， c 滿足 a 2c2b2 ，那么以 a ， b ， c 為三邊的三角形是直角三角形，但是b 為斜邊）4：勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即 a 2b 2c2 中， a ，b ，c為正整數(shù)時(shí)，稱 a ， b ， c 為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25等用含字母的代數(shù)式表示n 組勾股數(shù)： n 21,2n, n2 1 （ n 2, n 為正整數(shù)）；2

3、n 1,2n 22n,2 n22n 1（ n 為正整數(shù)） m2n2 ,2mn, m2n 2 （ mn, m ， n為正整數(shù)）題型一 ：直接考查勾股定理在ABC 中，C90 . 已知AC6 ，BC8 求AB 的長(zhǎng)已知AB17 ，AC15 ，求BC 的長(zhǎng)1. 在 Rt ABC中， a=3， b=4，則 c 邊長(zhǎng)為 _2. 在 ABC中， C=90°， AB 5，則 AB 2 + AC 2 + BC 2 =_題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程在ABC 中，ACB90 ， AB5 cm ， BC3 cm ， CDAB 于 D ， CD 已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)之比為3: 4 ，斜邊長(zhǎng)為 15 ，

4、則這個(gè)三角形的面積為已知直角三角形的周長(zhǎng)為30 cm ，斜邊長(zhǎng)為 13 cm ，則這個(gè)三角形的面積為1. 已知 : 如圖 13, ABC中 ,AB=10,BC=9,AC=17. 求 BC邊上的高 .ABC2. 如圖 RtABC， C90 AC 3,BC 4 , 分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積CAB題型三：實(shí)際問題中應(yīng)用勾股定理如圖有兩棵樹，一棵高8 cm ，另一棵高2 cm ，兩樹相距8 cm ，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了mA1EDCBC6ABA81.如圖，一根12 米高的電線桿兩側(cè)各用15 米的鐵絲固定，兩個(gè)固定點(diǎn)AB之間的距離是（）A13B9C18D102.

5、 假期中，小明和同學(xué)們到某海島上去探寶旅游，按照探寶圖，他們登陸后先往東走8 千米，又往北走2 千米，遇到障礙后又往西走了3 千米，再折向北走了6 千米處往東一拐，僅走了 1 千米就找到寶藏，問登陸點(diǎn)A 到寶藏埋藏點(diǎn)B 的距離是多少千米？3. 有一根 70 cm 的木棒，要放在長(zhǎng)、寬、高分別是50 cm， 40 cm ， 30 cm 的木箱中，能放進(jìn)去嗎？題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形已知三角形的三邊長(zhǎng)為 a ， b ， c ，判定 ABC 是否為 Rt a 1.5 ， b2 ， c 2.5 a5 ， b1， c243三邊長(zhǎng)為 a ， b ， c 滿足 ab10 ，

6、 ab18 ， c8 的三角形是什么形狀？ApB題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用已知ABC 中， AB13 cm ，BC10 cm ，BC 邊上的中線AD12 cm ，求證： ABACE1如圖， ABC中， B=90°，兩直角邊AB=7，BC=24，三角形內(nèi)有一點(diǎn)P 到各邊的距離相等，則這個(gè)距離為（）A1B3C4D52. 如圖所示，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB=6， BC=8，將三角形ABC折疊 , 使AB落在斜邊A 3AC上, 折痕為 AD,則B4C5BD的長(zhǎng)為（D 6）題型六：最短問題如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)6 厘米的立方體ABCD - EFGH， 一只甲蟲在棱EF 上且距

7、F點(diǎn)1厘米的 P處.它要爬到頂點(diǎn)D ，需要爬行的最近距離是_ 厘米 .D CABGHEP F有一圓柱體高為10cm，底面圓的半徑為 4cm， AA1、 BB1 為相對(duì)的兩條母線。在AA1 上有一個(gè)蜘蛛Q，QA=4cm；在 BB 1 上有一只蒼蠅 P， PB1=3 cm。蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點(diǎn)吃蒼蠅，最短的路徑是cm.（結(jié)果用帶 和根號(hào)的式子表示）A1B1PQAB一、選擇題（每小題3 分，共 30 分）1. 直角三角形一直角邊長(zhǎng)為12，另兩條邊長(zhǎng)均為自然數(shù)，則其周長(zhǎng)為().（ A） 30（ B） 28（ C） 56（D ）不能確定2.直角三角形的斜邊比一直角邊長(zhǎng)2 cm，另一直角邊長(zhǎng)為6 cm

8、，則它的斜邊長(zhǎng)（ A ）4 cm（ B） 8 cm（ C） 10 cm（ D） 12 cm3.已知一個(gè) Rt的兩邊長(zhǎng)分別為3 和 4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（）（A） 25（B）14（C）7（D）7 或 254.等腰三角形的腰長(zhǎng)為 10, 底長(zhǎng)為 12, 則其底邊上的高為 ( )（ A）13（B） 8（C） 25（D） 645. 五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為 7，15，20，24， 25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（）725202520242424252024157201571571525(B)(A)(C)(D)6. 將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù), 得到的三角形是 ( )（ A

9、） 鈍角三角形（ B） 銳角三角形（ C） 直角三角形（D） 等腰三角形 .7直角三角形邊長(zhǎng)為a, b ，斜邊上高為 h ，則下列各式總能成立的是（）A、 ab h2B a 2b22h 2C 111D 111abha2b 2h 28. 三角形的三邊長(zhǎng)為(a b) 2c22ab , 則這個(gè)三角形是 ( )（ A） 等邊三角形（ B） 鈍角三角形（ C） 直角三角形（ D） 銳角三角形 .9. ABC是某市在拆除違章建筑后的一塊三角形空地. 已知 C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在這塊空地上種植草皮，按每平方米草皮a 元計(jì)算，那么共需要資金（）.（ A） 50 a 元（ B

10、） 600 a 元（ C）1200 a 元（ D）1500 a 元10.如圖， A B CD于 B， ABD和 BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17， BE=5，那么 AC的長(zhǎng)為（） .（ A）12（B）7（C）5（D）13AEDC5 米3 米B（第 10 題）（第 11 題）（第 14 題）二、填空題（每小題3 分，24分）11. 如圖為某樓梯 , 測(cè)得樓梯的長(zhǎng)為 5米 , 高 3米 , 計(jì)劃在樓梯表面鋪地毯 , 地毯的長(zhǎng)度至少需要 _ 米.12.在直角三角形 ABC 中，斜邊 AB =2，則 AB2AC 2BC 2 =_.13.直角三角形的三邊長(zhǎng)為連續(xù)偶數(shù)，則其周長(zhǎng)為.14. 如圖，在

11、 ABC 中， C=90°， BC=3， AC=4.以斜邊 AB 為直徑作半圓，則這個(gè)半圓的面積是 _.ADEBC（第 15 題）（第 16 題）（第17 題）15. 如圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距12 米，一棵樹高 13 米，另一棵樹高 8 米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛_米 .16. 如圖， ABC 中， C=90°， AB 垂直平分線交 BC 于 D ，若 BC=8， AD=5，則 AC 等于 _.17. 如圖，四邊形 ABCD 是正方形， AE 垂直于 BE ，且 AE =3， BE =4，陰影部分的面積是 _.18. 如圖，所有的四邊形都是

12、正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊和長(zhǎng)為 7cm,則正方形 A ， B， C， D 的面積之和為 _cm 2.CBDA第187cm題圖A202B319. 如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為20dm、 3dm、2dm， A 和 B 是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A 點(diǎn)有只螞蟻，想到B 點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B 點(diǎn)最短路程是 _.三、解答題（每小題8 分，共 40 分）20.P 為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將ABP繞 B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到 CBE的位置，若BP8. 求：以 PE 為邊長(zhǎng)的正方形的面積 .ADp21. 如圖， A、B 兩個(gè)小集鎮(zhèn)在

13、河流CD的同側(cè)， 分別到河的距離為AC=10千米， BD=30千米，B 且 CD=30千米C，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、 B 兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千E米 3 萬，請(qǐng)你在河流 CD上選擇水廠的位置 M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？BALCD22. 如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接 PA，PB，PC，以 BP為邊作 PBQ=60°，且 BQ=BP， 連 接 CQ（ 1）觀察并猜想 AP與 CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（ 2）若 PA：PB：PC=3：4：5，連 接 PQ，試判斷 PQC的形狀，并說明理由 贈(zèng)送以下學(xué)習(xí)資料和倍差倍問題學(xué)習(xí)目標(biāo)

14、通過和倍、差倍問題的學(xué)習(xí)，除了掌握這類問題的解決方法以外，其重點(diǎn)要學(xué)習(xí)畫線段圖。二、基礎(chǔ)知識(shí)1. 和倍問題是已知兩個(gè)數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系而求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。基本的數(shù)量關(guān)系： 和÷ ( 倍數(shù) +1)=較小數(shù) ( 即 1 倍數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù) )2. 差倍問題是已知兩個(gè)數(shù)的差及它們之間的倍數(shù)關(guān)系而求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。基本公式： 差÷ ( 倍數(shù)的差 ) 標(biāo)準(zhǔn)數(shù) ( 一倍數(shù) )例題解析一、和倍問題例 1：某班為“希望工程”捐款，兩組少先隊(duì)員共交廢報(bào)紙 240 千克，第一組交的廢報(bào)紙是第二組的 3 倍，問兩組各交廢報(bào)紙多少千克？小結(jié)：解答基本的和倍問題，先確定其中一個(gè)

15、數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù) (1 倍數(shù) ) ，再找出兩數(shù)的和，及其相對(duì)應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系， 這樣就可以求出標(biāo)準(zhǔn)數(shù)， 也就可求出另一個(gè)數(shù)(較大數(shù))。基本的數(shù)量關(guān)系： 和÷ ( 倍數(shù) +1)=較小數(shù) ( 即 1 倍數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù) )練一練： NBA球星姚明到底有多高？現(xiàn)在已知小明和姚明的身高和是 339 厘米，姚明的身高大約是小明身高的 2 倍。你能夠算出來嗎？例 2：哥哥原有 108 元，弟弟有 60 元，如果現(xiàn)在想把哥哥的錢調(diào)整到弟弟的 5 倍，弟弟應(yīng)給哥哥多少錢？練一練：妹妹有課外書 20 本，姐姐有課外書 25 本，姐姐給妹妹多少本后，妹妹課外書是姐姐的 2 倍？例 3：二個(gè)同學(xué)共做了 23 道題。如果

16、乙同學(xué)再多做 1 題，將是甲同學(xué)做的 2 倍，二個(gè)同學(xué)各做了幾題？例 4：熊貓水果店運(yùn)來水果 380 千克，其中蘋果比梨的 3 倍還少 40 千克，水果店運(yùn)來蘋果和梨各多少千克 ?練一練： 果園里種桃樹和梨樹共 340 棵 , 其中桃樹的棵數(shù)比梨樹的 3 倍多 20 棵，梨樹種了多少棵？例 5：三捆電線共長(zhǎng) 273 米，其中第二根的長(zhǎng)度是第一根長(zhǎng)度的 2 倍，第三根的長(zhǎng)度是第二根長(zhǎng)度的 2 倍。三根電線各多少米？練一練： 甲、乙、丙三數(shù)的和是 78，甲數(shù)比乙數(shù)的 2 倍多 4，乙數(shù)比丙數(shù)的 3 倍少 2。求這三個(gè)數(shù)。例 6：某小學(xué)有學(xué)生 975 人 . 全校男生人數(shù)是六年級(jí)學(xué)生人數(shù)的 4 倍少

17、 23 人，全校女生人數(shù)是六年級(jí)學(xué)生人數(shù)的 3 倍多 11 人. 問全校有男、女生各多少人？二、差倍問題例 1：某小學(xué)參觀科普展覽，第一天參觀的人數(shù)比第二天多 200 人。已知第一天參觀的人數(shù)是第二天的 3 倍，兩天參觀的各是多少人？練一練：已知甲、乙兩個(gè)數(shù)的商是 4，而這兩個(gè)數(shù)的差是 30，那么這兩個(gè)數(shù)中較小的一個(gè)是多少？例 2：甲、乙兩車間原來人數(shù)相等，因工作需要，從甲車間調(diào)24 人到乙車間. 這時(shí)乙車間人數(shù)是甲車間的4 倍. 甲、乙兩個(gè)車間原來各有多少人例 3：四（ 1）班與四（ 2）班原有圖書的本數(shù)一樣多。后來，四（ 1）班又買來新書 118 本，四（2）班從本班原有書中取出 70 本

18、送給一年級(jí)同學(xué)。 這時(shí)，四（1）班的圖書是四（ 2）班的 3 倍。求兩班原有圖書各多少本例 4：有大、小兩猴都有一些桃子。小猴比大猴少 13 個(gè)，如果小猴再給大猴 6 個(gè)，這時(shí)小猴的桃子相當(dāng)于大猴的 1 半，求大、小兩猴原來各有多少個(gè)？練一練：有兩塊布料，第一塊 148 米，第二塊 100 米，兩塊布各剪去同樣的一段后，剩下的米數(shù)第一塊是第二塊的 3 倍。兩塊布各剪去多長(zhǎng)？例 5：豬、牛、羊跑步，如果，牛為豬跑得 2 倍，羊?yàn)榕Ｅ艿?4 倍，羊比豬多跑56，那么三動(dòng)物共跑了多少路？試一試：兩個(gè)自然數(shù)相除商是 15，余數(shù)是 7，并且被除數(shù)比除數(shù)大 735。求這兩個(gè)數(shù)。例 6：某工廠有兩堆煤，第一堆比第二堆多 50 噸，兩堆煤各用去 75 噸后，剩下的第一堆煤是第二堆煤的 3 倍。求兩堆煤原來各有多少噸？試一試： 用中國(guó)象棋的車，馬，炮分別表示不同的自然數(shù)。如果：車÷馬2，炮÷車 4，炮馬 56，那么“車馬炮”等于多少？課后作業(yè) ：1. 小華和小瓜分別栽花和種瓜，一共 88 棵，小華栽花的棵數(shù)是小瓜種瓜棵數(shù)的 3 倍 . 小華栽了多少花？小瓜種了多少瓜？2. 學(xué)校圖書館買來故事書、 科技書共 1000 本，科技書比故