1、乘法公式的復習一、復習：(a+b) (a_b)=a2_b2(a+b) 2=a2+2ab+b2(a-b) 2=a2-2ab+b2(a+b) (a2-ab+b2) =a3+b3(a-b) (a2+ab+b2)=a3b3歸納小結公式的變式，準確靈活運用公式：位置變化，(x+j)(- 符號變化，(-x+y)(-x-y)=(-x)?-= £-y指數變化，(系+力心/)=4-/系數變化，(2升力(2.6)=4/一4 換式變化，孫+<z+助 dz+妨=(勸 2-(2+9)2=x y-(z+ni)(z+ni)-X yz +Z2ZH力什瞽)-xy-z-2 zm-in 增項變化，(Aj+z)(r尸

2、z)-x-xy-xyVy-z=x-2xy+y-z連用公式變化，（x+力力（系+力=(/-/)(/+/) 逆用公式變化，O丹Z)2-<Z+尸Z)2=(乃丹 z)+a+尸 z)o-t+z)-(葉尸幻=2 式一2 丹 2z)=-4xj-4xz例1.已知。+ = 2 , ab = , 解：V (a + b)2 =a2 + lab + b2": a + b = 2 , ab = 1例 2.已知c/ + = 8, ab = 2, 解：(a + lab + b-/ (a+ b)2 一 (a _ b)2 = 4ab< a + = 8, ab = 2求。2+8的值。： a2 +b2 = (

3、a + b)2 - lab:.a2 +b2 = 22-2x = 2求3-6)2的值。(a-b) = a1 -2ab + b2二(a + b)2 - 4ah = (a-b)2，(a b)2 =8?-4x2 = 56例 3：計算 19992-2000X1998K解析此題中2000=1999+1, 1998=1999-1,正好符合平方差 公式。解：1999-2000X1998 =1999- (1999+1) X (1999-1)=1999 - (1999-12) =19992-19992+1 =1例 4：已知 a+b=2, ab=l,求 l+b,和(a-b)?的值。工解析此題可用完全平方公式的變形得

4、解。解：a2+b2= (a+b) 2-2ab=4-2=2(a-b) J (a+b) 2-4ab=4-4=0例 5：已知 x-y=2, y-z=2, x+z=14o 求 x2-z?的值。K解析此題若想根據現有條件求出x、y、z的值，比較麻煩, 考慮到x22是由x+z和x-z的積得來的，所以只要求出x-z的值即 可。解：因為x-y=2, y-z=2,將兩式相加得x-z=4,所以x'-z?= (x+z) (x-z)=14X4=56o例 6：判斷(2+1) (22+1) (24+1) (22048+1) +1 的個位數字是幾？K解析1此題直接計算是不可能計算出一個數字的答案，故有一 定的規律可

5、循。觀察到1= (2-1)和上式可構成循環平方差。解：(2+1) (22+1) (24+1)(22048+1) +1=(2-1) (22+1) (24+1) (22048+1) +1=24096=161024因為當一個數的個位數字是6的時候，這個數的任意正整數舞的 個位數字都是6,所以上式的個位數字必為6。例7.運用公式簡便計算(1) 1032(2)1982解：(1 ) 1032=(100+3)2=1002+2x100x3+32 =10000+600+9=10609(2 ) 1982=(200-2)2=200-2x200x2+22 =40000-800+4=39204例8.計算(1)(外4人3

6、c)(企4人3c)(2) (3任尸2)(3a丹2)解 ：(1) 原 式=(a-3c)+4A(a-3c)-4A=(a-3c)2-(42>)2=a2-6a6H-9c2-16A2(2)原式=3稈(尸2)3a(尸2)=9，-( -4丹4)=9-+4尸4例9.解下列各式(1)已知才+斤=?, ab=6,求(a+6)2, (a-b),的值。(2)已知(a+b)2=7, (a-A)2=4,求 輸召,ab 的值。(3)已知破24)(描-8)=2,求41-帥的值。(4)已知x=3,求一+4的值。 XX分析：在公式(外力戶撲火以方中，如果把創接函和必分別 看作是一個整體，則公式中有三個未知數，知道了兩個就可

7、以求出第解：(1) V a2+Z>2=13, ab=6.(葉濟=才+冰丹丘13+2x6=25(aZ>)2=a2+Z>22al32x6=1(2) V(a+Z?)2=7, (a-b)2=4a2+2a/H-Z?2=7a-2ab-l)=4+®得 2(a2+Z>2)=ll，即-得4aA=3,即帥=2 4(3)由貝5-1)-(3-3=2 得 a-b=-2二ab =+b2 2ab) =g(" -)- = x(2)i = 2(4)由 x = 3,得BP.r+4-2 = 9-+1 = 11xk X)廠廠/.fx2+-l I =121即 /+4 + 2 = 121x4+

8、-i- = 119I X- )fJr4例10.四個連續自然數的乘積加上1, 一定是平方數嗎？為什 么？分析：由于 1x2x3x4+1=25=5?2x3x4x5+l=121=ll23x4x5x6+l=361=192 得猜想：任意四個連續自然數的乘積加上1, 都是平方數。解：設刀，ml,加2, m3是四個連續自然數貝！I成小4）（小2）（93）+1=«/3）（小4）（閉2）+1=(才+3刀)2+2(才+30+1=(/?2+3/?)(j72+32)4-1=(/22+3zM-1)2F是整數，3 3/7都是整數 .4+3小4 一定是整數.（/+3冰1）是一個平方數四個連續整數的積與1的和必是一

9、個完全平方數。例 11.計算 (1)(y-4-1)2(2)心臉n-講解： (1)(六一料1)2=(座)”(-4+12+2/(一獷 2$1+2<-01=f+"+1 - 2/+2f-2x=x-2x+3x-2x+l(2)(3nH-n-pf=(3nif+i/+(一。)2+23力加23 力(一0)+24(一M=92z/+z/+02+/nn_nj p-2np分析：兩數和的平方的推廣(卅加c)2=(a+Z?)+c2=(a+Z?)2+2(a+i)- c+c2=a2+2a/H-Z>2+2ac+28c+，=a2+A2+<?24-2aZH-2 bc+2 ac即(d4-2H-c)2=a2+

10、Z?2+c +2abv2bc-2ac幾個數的和的平方，等于它們的平方和加上每兩個數的積的2 倍。二、乘法公式的用法(一)、套用：這是最初的公式運用階段，在這個環節中，應弄清 乘法公式的來龍去脈，準確地掌握其特征，為辨認和運用公式打下基 礎，同時能提高學生的觀察能力。例 L 計算：(5x2+3/X5x2-3y2) 解：原式 =(5x2)2-(3y2)2 =25x4-9/(二)、連用：連續使用同一公式或連用兩個以上公式解題。例 2.計算：(1-項“ + 山2 + 1)(1 + 1)解：原式=(1-吸1 +*0 +心=(1-)(1 + /)=1一/例 3. vf*算:(3x + 2y - 5z +

11、1)(3x + 2y 5z 1)解：原式=(2y - 5z) + (3x + l)(2y - 5z) - (3x + 1)=，- 5好 一(3x + l)2=4y2 - 9a2 + 25z2 - 20yz - 6x - 1三、逆用：學習公式不能只會正向運用，有時還需要將公式左、 右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運用其解決問題。例 4.計算：(5 + lb-8cy-(5/-7b + 8c)2解：原式=(5a + lb-8c) + (5«-lh + 8c)(5d + lb-8c)-(5-7b + 8c)=10(14/? 16c)=140h 160ac四、變用：題目變形后運用公式解題

12、。例 5.計算：(% + y - 2z)(x + y + 6z)解：原式=(x + y + 2z) - 4z(x + y + 2z) + 4z=(x + y + 2z)2 -(4z)2=a2 +y22z2 + 2xy + 4xz + 4yz五、活用：把公式本身適當變形后再用于解題。這里以完全平 方公式為例，經過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公 式：1. (a + b)2-2ab = a2 +b22. (ci - b'y + 2ah = a +h23. (a + by + (a - b)2 =+ 4. (a + b) - (ci - b) = 4ab靈活運用這些公式，往往可以

13、處理一些特殊的計算問題，培養綜 合運用知識的能力。例6.已知”-5 = 4,帥=5,求/+人的值。解：ci +b2 =(a- b)2 + 2ab = 42 + 2 x 5 = 26例 7.計算：(a + b + c- J)2 + (/? + c + J -解：原式=(/? + c) + (a - J)" + (Z? + c)-(a-J)2= 2(Z? + c)2+(«-6/)2=la2 + lb2 + 2c2 + 2" 2 + 4/?c - 4ad例8.已知實數X、y、Z滿足x + y = 5, z?=個+-9 ,那么x + 2y + 3z =解：由兩個完全平方公

14、式得：，而=：(4+- q l從而 Z2 =: 5? _(工_)')_ +y-9=弓_；(5_2疔 +y _ 9=_)； + 6y 9=-(y2 - 6y + 9)=_6 _ 3)2靖+()，-3)2=0/Z = 0, y = 3.X = 2，x + 2y + 3z = 2 + 2x 3 + 0 = 8三、學習乘法公式應注意的問題(一)、注意掌握公式的特征，認清公式中的“兩數”.例1計算例25) (24-5)分析：本題兩個因式中“-5”相同，“2V”符號相反，因而“-5” 是公式(我扮(年6)中的而“2V”則是公式中的b,解：原式二(-5-2/) (-5+2/) = (-5)2-(2x

15、)2=25-4x.例2計算(-才+4吩2分析：運用公式(卅8)2=q2+2石94時，“-，”就是公式中的& “48”就是公式中的6；若將題目變形為(4y時，則“4夕是公 式中的&而“才”就是公式中的兒(解略)(二)、注意為使用公式創造條件例3計算(2戶尸K5) (2.戶"2+5).分析：粗看不能運用公式計算，但注意觀察，兩個因式中的“27、 “5”兩項同號，“/、“z”兩項異號，因而，可運用添括號的技 巧使原式變形為符合平方差公式的形式.解:原式=(2z+5) + (廠z) (2戶5)-(廠z)=(2戶5)2-(廠力2 =4 V+20 戶 25-產 2y”.例4計算(

16、丈1)2(才+91)2(.+才+1)2分析：若先用完全平方公式展開，運算十分繁冗，但注意逆用邪 的運算法則，則可利用乘法公式，使運算簡便.解:原式=(廿1)(3+K1)(3+才+1)丁= (a3-l) (aW+1)2= (a9-l)2=a18-2a9+l例 5 計算(2+1) Q2+1) (24+1)您+1).分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(2-1), 則可運用公式，使問題化繁為簡.解：原式=(2-1)式+1) (2?+1) (2，+1) (241)= (2 -1) (22+1) (24+1) (28+1)=(24-1) (24+1) (28+1)=(2-1) (28+1

17、)=216-1(三)、注意公式的推廣計算多項式的平方，由(a+6)2=，+2a"次可推廣得到:(小加2 二3+/+02+2 曲 2ac+2A.可敘述為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積 的2倍.例6計算(2戶廣3) 2解：原式=(24+y+(-3)2+2 2x j+2 2x(-3)+2 y(-3)=4x + 六 9+4 孫 12x->y.(四)、注意公式的變換，靈活運用變形公式例7 (1)已知戶產10, y+/=100,求/+/的值； 巳知：a+2j=7,孫=6,求(尸2力的值.分析：粗看似乎無從下手，但注意到乘法公式的下列變形： x +/=(廣力2-2xy9 x

18、+y=(廣力乙3寸(戶力,(廣02- x-y) 2=4xy9問 題則十分簡單.解：(1)，+/=(廣力燈(廣力，將已知條件代入得 100=103-3Ay 10,/. xy=30 故 +y= (a+y) 2-2xy=.(-2 X 30=40.(2) (.2。2= 0+2。28x7=72-8 X6=l.例 8 計算(a+加。) 2+(a+Z?-c) 2+(a-/y+c)+ (Z?-Kc)2.分析：直接展開，運算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式 可變換出(廣吩斗(的垃2=2 G+6),因而問題容易解決.解：原式=(a+8) +cF+ (/6) -c2+c+(a-8) 2+c-(a-6) 了 =2

19、()2+c2+2c2+(a-A)2=2 36)2+(w»2 +4c2=4才+4爐+402(五)、注意乘法公式的逆運用例 9 計算(a-2/H"3c)- (a+2/？-3c)，分析：若按完全平方公式展開，再相減，運算繁雜，但逆用平方 差公式，則能使運算簡便得多.解：原式=+(a-22H_BcXa+Z6Bc)=2a(-42H-6c)=-8aZH-12ac.例 10 計算(2卅36)2-2(2升36)(5644 + (4.56)2分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算，但逆 用完全平方公式，則運算更為簡便.解：原式=(2a+38)2+2(2>36) (4a-56

20、) + (4a-56)2= (2a+36) + (4w56)產=(6a-26) 2=36 5-24 孫4 次四、怎樣熟練運用公式：(一)、明確公式的結構特征這是正確運用公式的前提，如平方差公式的結構特征是：符號左 邊是兩個二項式相乘，且在這四項中有兩項完全相同，另兩項是互為 相反數；等號右邊是乘式中兩項的平方差，且是相同項的平方減去相 反項的平方.明確了公式的結構特征就能在各種情況下正確運用公 式.(二，理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、6可以是具體的數，也可以是單項式或多項式.理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的圍正確運用公式.如 計算（戶2y3z） 2,若視外2y為公式中的a 3z為

21、瓦則就可用（a -b） 2=，-2a94來解了。（三）、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標準形式不相一致或不能直接用公式計 算，此時要根據公式特征，合理調整變化，使其滿足公式特點.常見的幾種變化是：1、位置變化 如（3+5y） （5y3x）交換3x和5y的位置后即 可用平方差公式計算了.2、符號變化 如（一2必一7）（2/27-7/?）變為一（27加（2卬 一7加后就可用平方差公式求解了（思考:不變或不這樣變，可以嗎？）3、數字變化 如98X102, 992, 9Y等分別變為（100-2） （100+2）, （100-1） 2, （90+1） 2后就能夠用乘法公式加以解答了.4、系數變化

22、如（4）（2-p變為2 （2） （2時 后即可用平方差公式進行計算了.5、項數變化 如（戶3產2z） （k3尹6z）變為（廣3/4z-2z） （x-3尸4K2z）后再適當分組就可以用乘法公式來解了.（四）、注意公式的靈活運用有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當的公式以 使計算更簡便.如計算（4+1） 2 （3-1） 2,若分別展開后再相乘， 則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進一步計算，則非常簡便.即 原式式（+1）（/_） 2= «4-1） 2=._23+1.對數學公式只會順向(從左到右)運用是遠遠不夠的，還要注意 逆向(從右到左)運用.如計算(1一%) (1-*) (

23、1-*)(1Z34-p(l-_L),若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計算繁難, 而且容易出錯.若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公 式，則可巧解本題.即原式=(1-1) (1+1) (1-1) (1+1) XX (1-1) (1+1) 乙乙，1U1 VZ= lx2XrXiX - X-XH =1X11=11.2233101021020有時有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變 式，乘法公式的變式主要有：3+6=(8心22ab, a2+A2= (aA) 2+2aA 等.用這些變式解有關問題常能收到事半功倍之效.如已知研zf7,皿=18,求方+/,皿葉丹的值.面對這樣的問題

24、就可用上述變式來解，即瞽+4=(加加 2-2mn=72-2X (-18) =49+36=85, limnir z?2=(毗n) 232zzr?=723X ( - 18) =103.下列各題，難不倒你吧？ ！1、若 a+，=5,求(1) a2+±, (2) (a-1)的值. aa'a2、求(2+1) (22+l) (24+l) (28+l) (2l6+l) (232+l) (2“+l) +1 的末位數字.(答案：1. (1) 23; (2) 21. 2. 6 )五、乘法公式應用的五個層次乘法公式：(a+b) (ab)=a2b2, (a±b) =a2±2ab+

25、b2,(a±b) (a2±ab+b2)=a3±b3.第一層次正用即根據所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用.例1計算(2) (2xy) (2xy).(2)原式二(y) 2x (y) +2x=y?一4x?.第二層次逆用，即將這些公式反過來進行逆向使用.例2計算(1)19982-1998 3994+19972；用卜卯TH1卜焉)解(1)原式=19982 - 2 1998 1997+19972 = (1998-1997)2=1原式=,撲+勺卜$1+3(5+L卜+目132 4810911 11=_ _ _ * _ _ * =223 3991010 20-第三層次活用

26、：根據待求式的結構特征，探尋規律，連續反復使用乘法公式；有時根據需要創造條件，靈活應用公式.例 3 化簡：(2+1) (22+1) (24+1) (28+1)+1.分析直接計算繁瑣易錯，注意到這四個因式很有規律，如果再增 添一個因式"2-1"便可連續應用平方差公式，從而問題迎刃而解.解原式二(21) (2+1) (2?+1) (24+1) Q8+D+1=(22-1) (22+1) (24+1) (28+1)+1=216.例 4 計算：(2x3y1) (2x3y+5)分析仔細觀察，易見兩個因式的字母部分與平方差公式相近，但 常數不符.于是可創造條件一“拆”數：-1二23, 5

27、=2+3,使用公 式巧解.解原式二(2x3y3+2) (2x3y+3+2)= (23y) + (2x3) (23y) (2x3)= (2-3y)2-(2x-3)2=9y2-4x2+12x-12y-5.第四層次變用：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式 的一些恒等變形式，如 a+b'S+b)?2ab, a3+b3= (a+b)33ab(a +b)等，則求解十分簡單、明快.例 5 已知 a+b=9, ab=14,求 2a2+2b?和 a?+b3 的值.解： Va+b=9, ab=14, A2a2+2b2=2(a+b)2-2ab=2(92 -2 14)=106,a3+b3= (a+b)3-3

28、ab (a+b) =93-3 14 9=351第五層次綜合后用：將(a+bT=a?+2ab+b2和(a-b)?"a?2ab+b?綜合，可得(a+b)2+ (ab)2=2 (a2+b2) ； (a+b)2(ab) 2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷.例 6 計算：(2x+yz+5) (2xy+z+5).解：原式=-(2x+y-z+5) + (2x-y+z+5) 2- (2x+y-z+5) - (2x-y+z+5) 2 44= (2x+5)2 (yz) 2=4x2+20x+25y2+2y z z2六、正確認識和使用乘法公式1、數形結合的數學思想認識乘法公式：對于

29、學習的兩種(三個)乘法公式：平方差公式： (a+b) (a_b)=a2_b2 > 完全平方公式：(a+b) Ja+Zab+b?； (a-b)2=a2-2ab+b2,可以運用數形結合的數學思想方法來區分它們。 假設a、b都是正數，那么可以用以下圖形所示意的面積來認識乘法 公式。如圖1,兩個矩形的面積之和(即陰影部分的面積)為(a+b) (a-b), 通過左右兩圖的對照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；圖2 中的兩個圖陰影部分面積分別為(a+bV與(a-bT,通過面積的計算方 法，即可得到兩個完全平方公式：(a+b)2=£+2ab+b2與 (a-b) 2=a2-

30、2ab+b2o圖22、乘法公式的使用技巧:提出負號：對于含負號較多的因式，通常先提出負號，以避免 負號多帶來的麻煩。例1、運用乘法公式計算：(1) (-l+3x)(-l-3x) ；(2) (-2m-l)2解：(1)(-l+3x) (-l-3x) = -(l-3x) - (l+3x) = (l-3x) (l+3x) =12" (3x) 2= l-9x2.(2) (-2m-l) 2=-(2m+l)2= (2m+l) 2= 4m2+4m+l.改變順序：運用交換律、結合律，調整因式或因式中各項的排 列順序，可以使公式的特征更加明顯.例2、運用乘法公式計算：(2) (x-1/2) (x2+1/

31、4) (x+1/2)(1)("% ) (一3 -| )； 解z r 1 w r i 、=(產鏟)(/+葭 )=(x-1/2) (x+1/4) (x+l/2)= (x-1/2) ) (x+1/2) (x2+l/4)= (x2-l/4) (x2+l/4)= x2-l/16.逆用公式將募的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得 a2-b2 = (a+b) (a-b),逆用積的乘方公式，得三®),等等,在解 題時常會收到事半功倍的效果。例3、計算：(1) (x/2+5)2-(x/2-5)2 ;(2) (a-l/2)2(a2+l/4)2(a+l/2)2解：(1 )(x/2+

32、5)2-(x/2-5)2=(x/2+5) + (x/2-5)(x/2+5)-(x/2-5)=(x/2+5+x/2-5) ( x/2+5-x/2+5)=x 10=1 Ox.(a-l/2)2(a2+l/4) 2(a+l/2) =(a-l/2) (a2+l/4) (a+1/2) 2 =(a-l/2 ) (a+1/2)3+1/4) 2= (a-l/4) (a2+l/4) 2 = (a4-l/16) 2 =a8-a4/8+l/256.合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘，一般先將完 全相同的項調到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面， 視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進行計算。

33、計算：(1) (x+y+1) (1-x-y) ；(2) (2x+y-z+5) (2x-y+z+5).解： (1)(x+y+1)(1-x-y)=(l+x+y)(1-x-y)=1+ (x+y) 1- (x+y) =12- (x+y)2=l-(x2+2xy+y2)= l-x2-2xy-y2.(2) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)=(2x+5) + (y-z) (2x+5) - (y-z )=(2x+5)2- (y-z)2=(4x2+20x+25) - (y2-2yz+z2)=4x2+20x+25-y2+2yz-z2=4x2-y2-z2+2yz +2

34、0x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數學的重要容，是今后學習的基礎，應用極為廣 泛。尤其多項式乘多項式，運算過程復雜，在解答中，要仔細觀察， 認真分析題目中各多項式的結構特征，將其適當變化，找出規律，用 乘法公式將其展開，運算就顯得簡便易行。一.先分組，再用公式例 1.計算：(ab + c b c d)簡析：本題若以多項式乘多項式的方法展開，則顯得非常繁雜。通過觀察，將整式(，- + c-")運用加法交換律和結合律變形為 (-b-d) + (a+c);將另一個整式(一。一人一。一4)變形為(一人一")一( +。)，則 從其中找出了特點，從而利用平方差公式即可將

35、其展開。解：原式=(-b -") + ( + c)(-Z?-£/)-(« + c)=(-b-dy (a + c)2=h2 + 2bd +d2 - a1 - lac - c1二.先提公因式，再用公式例2.計算:(8丹現4、一號簡析：通過觀察、比較，不難發現，兩個多項式中的X的系數成 倍數，y的系數也成倍數，而且存在相同的倍數關系，若將第一個多 項式中各項提公因數2出來，變為2田十號，則可利用乘法公式。解：原式=2(4+3以-2= 2(4x)2-(J= 32x2- -8三.先分項，再用公式例 3.計算：(2x + 3)，+ 2)(2x-3y + 6)簡析：兩個多項中似

36、乎沒多大聯系，但先從相同未知數的系數著 手觀察，不難發現，X的系數相同，y的系數互為相反數，符合乘法 公式。進而分析如何將常數進行變化。若將2分解成4與-2的和， 將6分解成4與2的和，再分組，則可應用公式展開。解:原式=(2% + 4)-(2-3y)(2x + 4) + (2-3)，)= (2x + 4)2 - (2 - 3y)2=4.r2 + 16x+ 12 + 12y-9y24 .先整體展開，再用公式例 4.計算：( +2/2)(-2/2+1)簡析：乍看兩個多項式無聯系，但把第二個整式分成兩部分，即 3-22) + 1,再將第一個整式與之相乘，利用平方差公式即可展開。解：原式=(4 +

37、2)3-2勿 + 1=(a + 2b)(a - 2b) + (a + 2b) =a2 -4b2 +a + 2b5 .先補項，再用公式例 5.計算：3 + (38 +1)(34 +1)(32 +1)(3 + 1)簡析：由觀察整式(3+1),不難發現，若先補上一項(3-1),則可 滿足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展開，使運算變得簡便易 行。原式=3+(3、1)(+1)(3； + 1)(3+1)(3-1)(38 +1)(34 +1)(32 +1)(32 -1) =342(3s+ 1)(34 + 1)(34 - 1) =3 42_(3s + 1)(38 - 1)-0十2 a (316-1)=3

38、425 3,6 =I22六.先用公式,再展開例6.計算：-擬簡析：第一個整式(1-5)可表示為，由簡單的變化，可看出整式符合平方差公式，其它因式類似變化，進一步變換成分數 的積，化簡即可。解:原式=(1+3(1-加+目(1-?(1+婢？(1+頡4)3 14 2 5 311 9 11=XX X X X X X =一2 2 3 3 4 410 10 20七.乘法公式交替用例7.計算： (x + z)(x2 - 2xz + z2 )(X - z)(x2 + 2xz + z2)簡析:利用乘法交換律,把第一個整式和第四個整式結合在一起, 把第二個整式與第三個整式結合，則可利用乘法公式展開。解：原式= (x + z)(+2XZ + Z?)(X2 -2a7 + z2)(x-z)=(x + z)(x + Z)? (x . Z): (x - Z)=(工+ 2)3(工-靖= (a+z)(x-z)'= U2-?)3=x6 - 3x4z2 + 3x2z4 z6八、中考與乘法公式1 .結論開放例1. (02年中考)請你觀察圖1中的圖形，依據圖形面積 的關系，不需要添加輔助線，便可得到一個你非常熟悉的公式， 這個公式是 o分析：利用