1、高中數學資料共享群284110736第四章指數函數與對數函數4.4.3不同增長函數的差異教材分析本節課是新版教材人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學必修1第四章第4,4.3節不同 增長函數的差異是在學習了指數函數、對數函數和黑函數之后的對函數學習的一次梳理和總結。 本節提出函數增長快慢的問題，通過函數圖像及三個函數的性質.完成函數增長快慢的認識。既是 對三種函數學習的總結，也為后續導數的學習做了鋪墊。培養和發展學生數學直觀、數學抽象、邏 輯推理和數學建模的核心素養。教學目標與核心素養課程目標學科素養L了解指數函數、對數函數、粒函數（一次 函數）的增長差異.2、經過探究對函數的圖像觀察，理解對

2、數增 長、直線上升、指數爆炸。培養學生觀察問題、 分析問題和歸納問題的思維能力以及數學交 流能力；3、在認識函數增長差異的過程中，使學生學 會認識事物的特殊性與一般性之間的關系， 培養數學應用的意識，探索數學。a.數學抽象：函數增長快慢的認識：b.邏輯推理：由特殊到一般的推理；C.數學運算：運用指數和對數運算分析問題：d.直觀想象：指數、對數函數的圖像：e.數學建模：運用函數增長差異解決實際問題：教學重難點教學重點：函數增長快慢比較的常用方法;教學難點：了解影響函數增長快慢的因素;課前準備多媒體教學遼程教學過程' =lo 耿x(a>l)y = f(">0)在（0,

3、 + 8）上 的增減 性增函數增函數增函數圖象的 變化趨 勢隨X增大逐漸近 似與），軸;平行隨X增大逐 漸近似與X 軸_平行隨n值而不同增長速 度二"（心1）：隨著X的增大，田 會遠遠大于y - f （>0）的增長速保 長速度越來越慢存在一個X0,當x>xo時，有/嚕長速度越來越快， t = 1。軻（。>1）的增XMogaX（一）、溫故知新三種函數模型的性質（二）問題探究我們看到，一次函數與指數函數的增長方式存在很大差異.事實 上，這種差異正是不同類型現實問題具有不同增長規律的反映.因此， 如果把握了不同函數增長方式的差異，那么就可以根據現實問題的增長 情況，選擇合

4、適的函數模型刻畫其變化規律.下面就來研究一次函數、 指數函數和對數函數增長方式的差異.提出問題雖然它們都是增函數，但增長方式存在很大差異，這種差異正是不 同類型現實問題具有不同增長規律的反映.我們仍然采用由特殊到一般，由具體到抽象的研究方法.下而就來研究一次函數貝從攵>0 ,指數函數g（x）=/m>i）,對數函數在定義域內增長方式的差異.問題探究以函數尸2、與尸2x為例研究指數函數、一次函數增長方式的差異.設計意圖 核心教學素養目 標溫故知新，通過 對上節指數、對 數和取函數問題 的回顧，提出新 的問題，提出研 究函數增長差異 的問題及研究方 法。培養和發展 邏輯推理和數學 抽象的

5、核心素 養。分析：在區間（a,0）上，指數函數產：2、值恒大于0, 一次函數尸2r 值恒小于0,所以我們重點研究在區間（0,收）上它們的增長差異.（2）借助信息技術，在同一直角坐標系內列表、描點作圖如下：XX尸2y=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386 (3)觀察兩個函數圖象及其增長方式：結論1：函數尸2”與產2x有兩個交點(1,2)和(2,4)結論2：在區間(0,1)上，函數尸2、的圖象位于尸2x之上結論3：在區間(1,2)上，函數尸2、的圖象位于尸2x之下結論4：在區間(2,3)上，函數尸2、的圖象位于尸2x之上通過畫出特 殊的指數函數和 底函

6、數的圖形， 觀察歸納出兩類 函數增長的差異 和特點，發展學 生邏輯推理，數 學抽象、數學運 算等核心素養;綜上：雖然函數尸2、與尸都是增函數，但是它們的增長速度不同, 函數的增長速度不變，但是3=2、的增長速度改變，先慢后快.11請大家想象一下，取更大的、值，在更大的范圍內兩個函數圖象的關系?思考：隨著自變量取值越來越大，函數尸2、的圖象幾乎與、軸垂直，函 數值快速增長，函數戶的增長速度保持不變，和尸2、的增長相比幾乎 微不足道一歸納總結總結一：函數產2r與產=2、在0,+8)上增長 快慢的不同如下：雖然函數y=2x與y=2在0,+oc)上都是單 調遞增，但它們的增長速度不同.隨著x的增大，產

7、2、的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于的 增長速度.盡管在x的一定范圍內，2<2x,但由于產2、的增長最終會快于尸2x的增長，因此，總會存在一個x ,當時，恒有2 >2x. 00總結二：一般地指數函數尸與一次函數戶h(A>0)的增長都與上 述類似.即使k值遠遠大于。值，指數函數雖然有一段區間會小于y=kx(k>0),但總會存在一個x ,當時，=« S>1)的增長速度會大 00大超過yMx(bO)的增長速度.跟蹤訓練1.四個變量”，”，然，以隨變量X變化的數據如表:X151015202530VI2261012264016269012321 0243776

8、81.05x1063.36x1071.07x1 09V32102030405060V424.3225.3225.90 76.3226.6446.907關于X呈指數函數變化的變量是答案：y2以爆炸式增長的變量呈指數函數變化.從表格中可以看出，四個變量yJ勻是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長速度不同，其 中變量%的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量先關于x 呈指數型函數變化.故填發.分析：(1)在區間(-8,0)上，對數函數尸Igx沒意義，一次函數值恒 小于0.所以研究在區間(0, +8)上它們的增長差異.(2)借助信息技術，在同一直角坐標系內列表、描點作圖如下：X尸吟0不存在0

9、1011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786 通過對對數的 數的圖像與底函 數圖像的觀察分 析歸納總結出兩 類的增長性的差 異和特點，發展 學生數學運算、 邏輯推理的核心 素養：以函數產Igx與1為例研究對數函數、一次函數增長方式的差異.V =X10(3)觀察兩個函數圖象及其增長方式：總結一：運1然函數產在他+8)上都是單調遞增，但它們 的增長速度存在明顯差異.在(0, +8)上增長速度不變，產Igx在 (0, +8)上的增長速度在變化.隨著”的增大，y=lX的圖象離X軸越來越遠，而函數產IgX的圖 象越來越平緩，就像耳x軸平行一樣.例如：例如=1,

10、 lgl00=2,例1000=3, lgl0000=4：xlO = Lxl00 = 10, x 1000 = 100, x 10000 = 1000, 10101010這表明，當心10,即產:*比而'相比增長得就很慢了.思考：將產Igx放大1000倍，將函數產loooigk與比較，仍有上而規 律嗎？先想象一下，仍然有.總結二：一般地，雖然對數函數)，=嚏/(4>1戶一次函數產H(£>0) 在(0,上都是單調遞增，但它們的增長速笈不同.隨著X的增大，一次函 數產豆(冷0)保持固定的增長速度，而對數函數1。%”的增長速度越來越 慢.不論a值比A值大多少，在一定范闈內，

11、log/可能會大于施，但由于2。%”的增長會慢于癡的增長，因此總存在一個X，當分x時，恒有。0logax <kx 跟蹤訓練1.函數f(x)=lgx, g(x)=0,3x-l的圖象如圖所示.通過練習鞏固本 節所學知識，鞏 固對函數增長差 異性的認識，增(1)試根據函數的增長差異指出曲線G, C分別對應的函數；(2)比較兩函數的增長差異(以兩圖象交點為分界點，對f(x), g(x)的 大小進行比較).解(1)0對應的函數為式x)=0.3x-L C2對應的函數為兀0=lgx.(2)當 X<X1 時，g(.x)次x)：時，y(x)>g(x)：當 X>X2 時，g(x巨/(X)：

12、 當 X=X1 或 X=X2 時，«v)=g(x).三、當堂達標1 .下列函數中隨X的增大而增大且速度最快的是()A. y=ev B. y=lnx C. y=x2 D. y=e x【出案】A 結合指數函數，對數函數及一次函數的圖象變化趨勢可知 11 確2 .能使不等式log2XV/v2X一定成立的X的取值區間是()A. (0， +oc)B. (2， +oo)C. (-co, 2)D. (4, +oo)【答案】D 當x>4時，log><x2v2L故選D 3.某工廠8年來某種產品總產量C與時間年)的函數關系如圖所示.強學生的直觀想象、數學抽象、數學運算、邏輯推理的核心素養。以下四種說法:前三年產量增長的速度越來越快：前三年產量增長的速度越來越慢： 第三年后這種產品停止生產：第三年后產量保持不變.其中說法正確的序號是.【答案】結合圖象可知正確，故填.4.某人投資x元，獲利y元，有以下三種方案.甲：y=0.2x,乙：y= logir+100,丙：y= 1.005。則投資 500 元，1000 元，1 500 元時，應分 別選擇療案.【答案】乙、甲、丙將投 k分別代入甲、乙、丙的函數關系式幡 較y值的大小即可求出.四、小結L由特殊到一般，由具體到抽象研究了一次函數八#二壯+力，指數函