1、第4章控制系統的能控性和能觀性第1節能控性和能觀性的定義設線性連續時變系統為X=A(t)xB(t)uy=C(t)x如在to,tf上，對任意x(t0)=x。，必能找到控制作用u(t),使X(t)由X。轉移到X(tf)=0,則稱系統在t。時刻是狀態完全能控的(能控)。如果由to,t上的y(t),能惟一地確定x(t0)=x。，則稱系統在t。時刻是狀態完全能觀(能觀)。能控性描述入u(t)支配狀態x(t)的能力，能觀性描述Y(t)反映x(t)的能力。線性定常連續系統X=AxBuy=Cx的能控性和能觀性與L無關。對線性定常系統，能控性實質上是描述u(t)支配模態e,%、1,2,III,n)的能力，若有任

2、一模態不受輸入的控制，系統便不能控；能觀性實質上是y(t)反映模態e”(i=1,2,|,n)的能力，若有任一模態在輸出中得不到反映，系統便不能觀。第2節線性時變系統的能控性能觀性判據1、格拉姆(Gramian)矩陣判據n階線性時變連續系統S(A(t),B(t),C(t)在to時刻能控的充要條件是能控性格拉姆矩陣tfWc(t0,tf)=(t°,t)B(t)Bt(t)：t(t0,t)dtto滿秩；在to時刻能觀的充要條件是能觀性格拉姆矩陣tfWo(to，tf)=t(t,to)Ct(t)C(t)(t,to)dtto滿秩。證明：以能控性判據證明為例。充分性證明。假設Wc(to，tf)滿秩，則

3、W(to，tf)存在。用構造法。對任意x(t。)，系統的狀態解為x(t)=-(t,to)x(to)(t,)B()u()dtot=(t,to)x(to)+a(t0L)B()U。)d7to選擇U(t)B%一(to,t)Wc1(to,tf)x(to)代入系統狀態解式并令tMf,則有tfx(tf)-:(tf,to)x(to)-:(to,t)B(t)Bt(t)t(to,t)Wc1(to,tf)x(to)dtto(tf，to)I-Wc(to，tf)WC1(to，tf)x(t0)(tf上)1-Ix(t0)=0充分性得證。必要性證明。用反證法。設Wc(to，tf)奇異，則必有某x(t。)#0使XT(t0)Wc

4、(t0,tf)X(to)=0將Wc(to，tf)表達式代入(過程略)，又可推知x(to)=0,這與x(to尸0的前提相矛盾，故Wc(to，tf)必為非奇異矩陣。必要性得證。證畢。*格拉姆矩陣判據需要計算6(t,to),使用不便。2、能控能觀性矩陣判據設A(t)、B(t)和C(t)在時間域to,tf上對t(n-1)階連續可微，則時變系統在時刻to能控的充分條件是能控性矩陣Qc(t)滿秩，即rankQc(t);rankBo(t)Bi(t)IIIBn乂t)"一一n時變系統在時刻to能觀的充分條件是能觀性矩陣Qo(t)滿秩，即Co(t)IzICi(t)rankQO(t)=rank.I'

5、;Imn n式中，Bo(t)= B(t), B)A(t)B*t) +i-1(t)-Cn-l(t)C0(t)=C(t),Ci(t)=Ci(t)A(t)+Ci-i(t)(i=1,2,|,n-1)例：試判斷如下時變系統在to=0的能控性和能觀性。(t0)y='101x解：自學(1)用格拉姆矩陣判斷該系統的系統矩陣滿足A(ti)A(t2)=A(t2)A(ti)=0故狀態轉移矩陣o 0t_01.00 (2! t 0)2III20t2I2-1tf t4 2t21 3t510t3 dt34 0 - 2t2460 - 10t360tf/2I0能控性格拉姆矩陣tfWc(0,tf)=：(0,t)B(t)B

6、(t)t：t(0,t)dt01tf2t20120012dt40021-12顯然ranWctQ,=)n2所以，系統在卜=0時是能控的。(t,0)二 It 0001t020 t2/2T0 III1 2 t2一i i20 2能觀性格拉姆矩陣Wo(0,tf)tft(t,0)Ct(t)C(t) (t,0)d t01 f 2一 24 0 t20 1 '12 0201 20t21dtd(d)III02!000顯然由于A(t)、B(t)和C(t)在0,tf上對t高階連續可微，控能觀矩陣判斷。0B0(t)=B(t)1I0t00tBi(t)A(t)Bo(t)B0(t)二0010_010-1Qc(t)=B(

7、t)Bi(t)'=10顯然，當t>0時，rankQc=2=n。所以，系統在能控的。C0(t)=C(t)101可采用能t0= 0時是10t0 00t1Ci(t)=C0(t)A(t)C0(。1。0Qo(t)="(t)Ci(t)顯然，當t。時,rankQo(t)=2=n。所以，系統在b0時是能觀的。說明:tt1u(t)-Bt(t0t(0,t)Wc1(0,tf)(0)提供了使X(0)Tx(tf)的控制量其中一個的計算辦法。120(0,t)二2tWj(0,tf)二tf3t460-10t2_110t2601604800t310ti0t23t41設*=1，則u(t)一20601012

8、 4800012c“ct22103124800270t21370t2269600第3節線性定常系統的能控性能觀性判據1、能控能觀性矩陣判據(1)能控性能觀性判據n階線性定常連續系統S(A,B,C)能控的充要條件是能控性矩QcBABA2BAn1Bnrn滿秩；能觀的充要條件是能觀性矩陣CICAICAQO=-CAn-1mnn滿秩。注意:能控性與C陣及輸出無關，能觀性與B陣及輸入無關。(2)判據證明(略)(3)能控能觀性的對偶原理若線性定常連續系統S(A,Bi,Ci)與&(A2,B2,C2)互為對偶,即ArAitB2 = C1 C2 = B；則S,的能控（觀）性與S2的能觀（控）性等價。證明：

9、易知Qc2=QOi,QO2=Qcl從而rankQc2=rankQo1,rankQo2=rankQ得證。線性時變連續系統的能控性和能觀性也具有對偶性。2、基于約旦規范型的判據（1）能控性和能觀性的不變性設系統S（A,B,C）經？P1X變換為S（A,成6）:A=P1AP?P1BOCP可以證明，線性非奇異變換不改變線性系統的能控性和能觀性。(自學)(2)基于對角線規范型的能控性能觀性判楣設n階系統S(A,B,C)特征值兩兩互異，經非奇異變換Xa= P -1 X所得對角線規范型為Sa(A,Ba,C),其中:b,b1bt2,C.' cic2則系統能控的充要條件是Ba陣沒有全。行；系統能觀的充要條

10、件是Ca陣沒有全0列。注意:在對角線規范型下，狀態的能控（觀）性與模態的能控（觀）性一一對應。證明:系統Sa（Aa,Ba,Ca）的能控性矩陣Qc. = BA2BIII An1B.bliblIIIb；二b22bt2川21Tb2*I«.t.,tn-1,tbnnbnnbn因，2,III,n互異，故當且僅當b；=0；(i=1,2,III,n)rankQC才能成立。再由S與S能控性的等價性，基于對角規范型的能控性判據得證。類似，可證基于對角規范型的能觀性判據。證畢。直觀性說明：設系統為單變量系統，記其對角線規范型的信號流圖可表為顯然，當且僅當bi，0(i=1,2,111,n)/0(i=1,2川

11、,n)時，系統能控/能觀。(3)基于約旦規范型的能控性能觀性判據設n階系統S(AB,C)的特征值“i(i=1,2,111,1)重數為1(工n=n),經非奇異變換變換為約旦規范型SJ(AJ,BJ,CJ)，其中1 =1AJ=diagJ1J2IIIJl其中Ji(iT,2,|,1)為對應于'的約旦塊。情況A、Aj陣1個約旦塊的形式均為Ji1I九. Ji r ri(i = 1,21ll,l)與Aj陣1個約旦塊相對應，Bj陣和Cj陣均劃分為l個塊。則有判據:具有上述形態的的n階系統能控（能觀）的充要條件是與A陣l個約旦塊對應的Bj陣各塊末行行向量（Cj陣各塊首列列向量）為非0向量。說明：*上述結構

12、的約旦規范型對應于各特征值只有一個獨立的特征向量。*基于對角線規范型的能控能觀性判據是該判據的特例（各n=1）。情況B、（略）例：判斷所給系統的能控性和能觀性。co寸。I8*義舟II_-1OOoco寸OCMCO(5)X1 y10 0 11.11 x2y20 3 0 2X3-210x112u1二020X200u2001X3012(6)2011二02-000X11IIII0X24U1u2X1y1401=X2y2030X3X1200X1i1二一J1(7)X2-020X2X3_001,x311402U18u212X1y1001=x2y2030X33、基于傳遞函數(矩陣)的判據單變量系統判據單變量系統能

13、控的充要條件是傳遞函數Gux(s)=(sI-A)1B沒有零極點對消；能觀的充要條件是傳遞函數Gxy(s)=C(sI-A)-1沒有零極點對消；能控且能觀的充要條件是傳遞函數Guxy(s)=C(sIA)-1B沒有零極點對消。多變量系統判據在預解矩陣(sI A) 1adj(sI A)det(sI - A)中，將adj(sI-A)中各元的最大公因子與det(sI-A)相消后，記其為(sI-勾-1而，且定義傳函矩陣的零點為其分子多項式矩陣各元的公因子，則多變量系統能控的必要條件是矩陣(sI-A)-1minB沒有零極點對消；能觀的必要條件是矩陣C(sI-A)-1min沒有零極點對消；能控且能觀的必要條件是

14、矩陣C(SLA)"minB沒有零極點對消。例：X1132x101x1iu1yl100x2=040x200X2i一u2y2一001X3001x3102x3容易驗證其能控且能觀。A陣之det(sI-A)=(s-1)2(s-4)(s-1)(s-4)3(s-1)2(s-1)、2adj(sIA廣0(s1)22(s1)00(s1)(s4)adj(sI-A)的零點為(s-1),與det(sA)的極點1)相同,抵消后，得、-i12C(SIA)minB=(S54)S4其沒有進一步的零極點對消，滿足系統能控且能觀的必要條件。第4節能控規范型與能觀規范型1、能控規范型1）單輸入系統的能控規范型定理：若線性

15、定常單輸入系統（A,b,C）能控，則存在線性非奇異變換Tjx,使其變換為能控規范型（Ac,bc,Cc）Acbca。Tb=0 川40 1t0IIIan-2一 an-1CcCTc （無特定形式行向量：）式中，a0,a2,lll,an_1為系統特征多項式s| - A= sn+ an_1sn1" II卜 a1s* a0的系數；變換矩陣Tc1it1 t AItAn1其中，III01Qc1,Q=bAbIIIAn1b即L1是能控性矩陣逆矩陣的最后一行。證明：略*該能控規范型有的文獻稱為能控規范I型。2)多輸入系統的能控規范型多輸入系統的能控規范型有多種。龍伯格(Luenberger)能控規范型應用

16、較多。龍伯格能控規范型由r個互相耦合的子系統組成，第i個輸入變量只直接作用于第i個子系統的最后1個狀態變量。線性定常系統S(A,B,C)的能控性矩陣Qc=BABA2BIIIAn1Bnrn不失一般性,設B=0IDbiHIb,且其各列線性無n關，即rankB=r。將Qc陣按列順序展開，即nr個列向量按如下形式排列：bi,Hl,br；AbiJII,AbrJII;An-1bi,lll,An1br從左到右逐個檢驗列向量，若其與左邊各列向量線性相關則予以剔除，否則保留，直到得到n個線性無關的列向量為止(行搜索法)。然后將它們按如下形式排列構成方陣心IIIAAilb2IIIA2%IllibrIIIACbr其

17、中，1(i=1,2,111,r)稱為系統的能控性指數。對能控系統，r£仃=cinoi=1表二的逆陣為cLi止11l t r-1L、ii=1一i=n-i1將r；陣按能控性指數劃分為個子陣，各子陣的末行向量為Piti二L”-。取的每個子陣的末行向量，按如下方式構造可控j=ij型變換矩陣TcItI-仃1ll1ALtA111lt102T 1c*It-A21'12*JtnAr1定理：通過非奇異變換J?=Tx,可將能控系統S(A,B,C)變換成龍伯格能控規范型&(A,Bc,Cc),其系數矩陣為A11IIIAc=T；1ATCAcriHIBciTBc=TjB=:BcrnrCc=CTc

18、(mxn)(無特定形式)01I*:IA_I,!Acii一一ai,0一ai,1Ac,00.00*011V1,|0,.0000.10*««01弟1弟1i,i+11i，rQ，ri1-pi,0P.3j-1.xcr.ijBci(i=1,2,111,rji)其中，%的末行元素等于第i個子系統特征多項式的系數，%的末行所有元素和Bci末行元素，可能不等于0。證明：略*單輸入變量系統的能控規范型其實就是多變量系統r=1時龍伯格能控規范型。2、能觀規范型1）單輸出系統的能觀規范型定理：若線性定常單輸出系統為（A,B,C）能觀，則存在線性非奇異變換父=二十，使其變換為能觀規范型（A,B0,Co

19、）:AFat。000a0I1 0，：-a110I.!0：,0an210 01卜an1.b-tJb（無特定形式列向量）Co二CTo=0III01式中，a。,a2,111,an一i為系統特征多項式sIA=sn+an_1sn1+lll+a1s+a0的系數；變換矩陣To1=1ALIIIAn_1J_0C其中，I,QoJCApAn1一1nlCAmnn即L是變換前系統能觀性矩陣逆矩陣的最后1歹IJ。說明：該能觀規范型有的文獻稱為能觀規范II型。2)多輸出系統的能觀規范型多輸出系統的能觀規范型有多種。其中龍伯格能觀規范型應用較多。龍伯格能觀規范型由m個互相耦合的子系統組成。線性定常系統S(A,B,C)的能觀性矩陣CCAQo二："mnnctt設C=；。2,且其各行線性無關，即rankC二m。定義能觀性指數ctitciAi二maxrank.二j(i=1,2,|,m)jl；ctAj"Jm對能觀系統，z=n。i=1構造非奇異方陣Ctt1-1ciA1-CmAmT。實際上是由Qo陣中的n個線性無關的行向量所構成。其逆矩陣ro=1|-l-1I"-L-11Y1+1III-LY1+Y2III-Lmf1ri+1IIIL=£yi1-i=1i=1根據能觀性指數把。1陣劃分為m個子陣。取ro1的每個子陣的最后1列向量，按如下方式構造可觀性變換矩陣Tot°t=LAL-/